考点13矩形-2022四川中考数学试题分类汇编(原卷版+解析)

考点13：矩形1.(2023达州）如图，点E在矩形的边上，将沿翻折，点A恰好落在边上的点F处，若，，则的长为（）A.9 B.12 C.15 D.182.(2023乐山）如图，等腰△ABC的面积为2，AB=AC，BC=2．作AE∥BC且AE=BC．点P是线段AB上一动点，连接PE，过点E作PE的垂线交BC的延长线于点F，M是线段EF的中点．那么，当点P从A点运动到B点时，点M的运动路径长为（）

A. B.3 C. D.43.(2023绵阳）如图，E、F、G、H分别是矩形的边AB、BC、CD、AD上的点，AH＝CF，AE＝CG，∠EHF＝60°，∠GHF＝45°．若AH＝2，AD＝5＋．则四边形EFGH的周长为（） B. C. D.4.(2023宜宾）如图，在矩形纸片ABCD中，，，将沿BD折叠到位置，DE交AB于点F，则的值为（）

A. B. C. D.5．(2023内江）（6分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是．6.(2023雅安）如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，若BC＝9，CD＝3，那么阴影部分的面积为_____．7.(2023眉山）如图，点为矩形的对角线上一动点，点为的中点，连接，，若，，则的最小值为________．8.(2023自贡）如图，矩形中，，是的中点，线段在边上左右滑动；若，则的最小值为____________．9.(2023成都）如图，在矩形中，，点是边上一动点（点不与，重合），连接，以为边在直线的右侧作矩形，使得矩形矩形，交直线于点．

（1）【尝试初探】在点的运动过程中，与始终保持相似关系，请说明理由．（2）【深入探究】若，随着点位置的变化，点的位置随之发生变化，当是线段中点时，求的值．（3）【拓展延伸】连接，，当是以为腰的等腰三角形时，求的值（用含的代数式表示）．10.(2023南充）如图，在矩形中，点O是的中点，点M是射线上动点，点P在线段上（不与点A重合），．

（1）判断的形状，并说明理由．（2）当点M为边中点时，连接并延长交于点N．求证：．（3）点Q在边上，，当时，求的长．11.(2023自贡）如图，用四根木条钉成矩形框，把边固定在地面上，向右推动矩形框，矩形框的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．（1）通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段由旋转得到，所以．我们还可以得到＝，＝；（2）进一步观察，我们还会发现∥，请证明这一结论；（3）已知，若恰好经过原矩形边的中点，求与之间的距离．考点13：矩形1.(2023达州）如图，点E在矩形的边上，将沿翻折，点A恰好落在边上的点F处，若，，则的长为（）A.9 B.12 C.15 D.18答案:C解析：分析：根据折叠的性质可得，设，则，则，在中勾股定理建列方程，求得，进而求得，根据，可得，即，求得，在中，勾股定理即可求解．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，将沿翻折，点A恰好落在边上的点F处，,，，，设，则，，在中，即，解得，，，，，，，，，在中，，．故选C．【点睛】本题考查了矩形与折叠的性质，正切的定义，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键．2.(2023乐山）如图，等腰△ABC的面积为2，AB=AC，BC=2．作AE∥BC且AE=BC．点P是线段AB上一动点，连接PE，过点E作PE的垂线交BC的延长线于点F，M是线段EF的中点．那么，当点P从A点运动到B点时，点M的运动路径长为（）

A. B.3 C. D.4答案:D解析：分析：当P与A重合时，点F与C重合，此时点M在N处，当点P与B重合时，如图，点M的运动轨迹是线段MN．求出CF的长即可解决问题．【详解】解：过点A作AD⊥BC于点D，连接CE，∵AB=AC，∴BD=DC=BC=1，∵AE=BC，∴AE=DC=1，∵AE∥BC，∴四边形AECD是矩形，∴S△ABC=BC×AD=×2×AD=2，∴AD=2，则CE=AD=2，当P与A重合时，点F与C重合，此时点M在CE的中点N处，当点P与B重合时，如图，点M的运动轨迹是线段MN．

∵BC=2，CE=2，由勾股定理得BE=4，cos∠EBC=，即，∴BF=8，∵点N是CE的中点，点M是EF的中点，∴MN=BF=4，∴点M的运动路径长为4，故选：D．【点睛】本题考查点的轨迹、矩形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找点M的运动轨迹，学会利用起始位置和终止位置寻找轨迹，属于中考填空题中的压轴题．3.(2023绵阳）如图，E、F、G、H分别是矩形的边AB、BC、CD、AD上的点，AH＝CF，AE＝CG，∠EHF＝60°，∠GHF＝45°．若AH＝2，AD＝5＋．则四边形EFGH的周长为（） B. C. D.答案:A解析：分析：证明四边形EFGH为平行四边形，作交于点P，交于点K，设，表示出，，，，进一步表示出，，，利用勾股定理即可求出a的值，进一步可求出边形EFGH的周长．【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，∴，，∵，，∴，，在和中，∴，∴，同理：，∴，∴四边形EFGH为平行四边形，作交于点P，交于点K，设，∵，，，，∴，，，，∴，，∴，∵，∴ABKH为矩形，即，∵，，∴，即，解得：，∴四边形EFGH的周长为：，故选：A.【点睛】本题考查矩形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，解题的关键是利用求出a的值．4.(2023宜宾）如图，在矩形纸片ABCD中，，，将沿BD折叠到位置，DE交AB于点F，则的值为（）

A. B. C. D.答案:C解析：分析：先根据矩形的性质和折叠的性质，利用“AAS”证明，得出，，设，则，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程得出x的值，最后根据余弦函数的定义求出结果即可．【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，∴CD=AB=5，AB=BC=3，，根据折叠可知，，，，∴在△AFD和△EFB中，∴（AAS），∴，，设，则，在中，，即，解得：，则，∴，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角函数的定义，根据题意证明，是解题的关键．5．(2023内江）（6分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是10．分析：延长BC到G，使CG＝EF，连接FG，则四边形EFGC是平行四边形，得CE＝FG，则AF+CE＝AF+FG，可知当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小为AG，利用勾股定理求出AG的长即可．【解答】解：延长BC到G，使CG＝EF，连接FG，∵EF∥CG，EF＝CG，∴四边形EFGC是平行四边形，∴CE＝FG，∴AF+CE＝AF+FG，∴当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小为AG，由勾股定理得，AG＝＝＝10，∴AF+CE的最小值为10，故答案为：10．【点评】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线将AF+CE的最小值转化为AG的长是解题的关键．6.(2023雅安）如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，若BC＝9，CD＝3，那么阴影部分的面积为_____．答案:解析：分析：利用矩形与轴对称的性质先证明再利用勾股定理求解再利用三角形的面积公式可得答案．【详解】解：把一张矩形纸片沿对角线折叠，BC＝9，CD＝3，解得：故答案为：【点睛】本题考查的是矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，证明是解本题的关键．7.(2023眉山）如图，点为矩形的对角线上一动点，点为的中点，连接，，若，，则的最小值为________．答案:6解析：分析：作点B关于AC的对称点，交AC于点F，连接交AC于点P，则的最小值为的长度；然后求出和BE的长度，再利用勾股定理即可求出答案．【详解】解：如图，作点B关于AC的对称点，交AC于点F，连接交AC于点P，则的最小值为的长度；∵AC是矩形的对角线，∴AB=CD=4，∠ABC=90°，在直角△ABC中，，，∴，∴，由对称的性质，得，，∴，∴∵，，∴△BEF是等边三角形，∴，∴是直角三角形，∴，∴的最小值为6；故答案为：6．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的找到点P使得有最小值．8.(2023自贡）如图，矩形中，，是的中点，线段在边上左右滑动；若，则的最小值为____________．答案:解析：分析：如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小，可得四边形EFCH是平行四边形，从而得到G'H=EG'+EH=EG+CF，再由勾股定理求出HG'的长，即可求解．【详解】解：如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小，∴G'E=GE，AG=AG'，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD=BC=2∴CH∥EF，∵CH=EF=1，∴四边形EFCH是平行四边形，∴EH=CF，∴G'H=EG'+EH=EG+CF，∵AB=4，BC=AD=2，G为边AD的中点，∴AG=AG'=1∴DG′=AD+AG'=2+1=3，DH=4-1=3，∴，即的最小值为．故答案为：【点睛】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题，矩形的性质，勾股定理等知识，确定GE+CF最小时E，F位置是解题关键．9.(2023成都）如图，在矩形中，，点是边上一动点（点不与，重合），连接，以为边在直线的右侧作矩形，使得矩形矩形，交直线于点．

（1）【尝试初探】在点的运动过程中，与始终保持相似关系，请说明理由．（2）【深入探究】若，随着点位置的变化，点的位置随之发生变化，当是线段中点时，求的值．（3）【拓展延伸】连接，，当是以为腰的等腰三角形时，求的值（用含的代数式表示）．答案:（1）见解析（2）或（3）或解析：分析：（1）根据题意可得∠A=∠D=∠BEG=90°，可得∠DEH=∠ABE，即可求证；（2）根据题意可得AB=2DH，AD=2AB，AD=4DH，设DH=x，AE=a，则AB=2x，AD=4x，可得DE=4x-a，再根据△ABE∽△DEH，可得或，即可求解；（3）根据题意可得EG=nBE，然后分两种情况：当FH=BH时，当FH=BF=nBE时，即可求解．【小问1详解】解：根据题意得：∠A=∠D=∠BEG=90°，∴∠AEB+∠DEH=90°，∠AEB+∠ABE=90°，∴∠DEH=∠ABE，∴△ABE∽△DEH；【小问2详解】解：根据题意得：AB=2DH，AD=2AB，∴AD=4DH，设DH=x，AE=a，则AB=2x，AD=4x，∴DE=4x-a，∵△ABE∽△DEH，∴，∴，解得：或，∴或，∴或；【小问3详解】解：∵矩形矩形，，∴EG=nBE，如图，当FH=BH时，

∵∠BEH=∠FGH=90°，BE=FG，∴Rt△BEH≌Rt△FGH，∴EH=GH=，∴，∵△ABE∽△DEH，∴，即，∴，∴；如图，当FH=BF=nBE时，

，∴，∵△ABE∽△DEH，∴，即，∴，∴；综上所述，的值为或．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识是解题的关键．10.(2023南充）如图，在矩形中，点O是的中点，点M是射线上动点，点P在线段上（不与点A重合），．

（1）判断的形状，并说明理由．（2）当点M为边中点时，连接并延长交于点N．求证：．（3）点Q在边上，，当时，求的长．答案:（1）为直角三角形，理由见解析（2）见解析（3）或12解析：分析：（1）由点O是的中点，可知，由等边对等角可以推出；（2）延长AM，BC交于点E，先证，结合（1）的结论得出PC是直角斜边的中线，推出，进而得到，再通过等量代换推出，即可证明；（3）过点P作AB的平行线，交AD于点F，交BC于点G，得到两个K型，证明，，利用相似三角形对应边成比例列等式求出QF，FP，再通过即可求出DM．【小问1详解】解：为直角三角形，理由如下：∵点O是的中点，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴为直角三角形；【小问2详解】证明：如图，延长AM，BC交于点E，

由矩形的性质知：，，∴，∵点M为边中点，∴，在和中，∴，∴，∵，∴，即C点为BE的中点，由（1）知，∴，即为直角三角形，∴，∴，又∵，，∴，∴；【小问3详解】解：如图，过点P作AB的平行线，交AD于点F，交BC于点G，

由已知条件，设，，则，，．∵，，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即，∴．同理，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即，∴．∴，解得，∴，将代入得，整理得，解得或．∵，，∴，∴，即，∴，∴当时，，当时，，此时点M在DC的延长线上，综上，的长为或12．【点睛】本题考查矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，相似三角形的判定与性质等，第3问有一定难度，解题关键是作辅助线构造K字模型．11.(2023自贡）如图，用四根木条钉成矩形框，把边固定在地面上，向右推动矩形框，矩形框的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．（1）通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段由旋转得到，所以．我们还可以得到＝，＝；（2）