甘肃省武威市凉州区2024届高三第三次诊断考试数学试题及答案

2023-2024学年度第一学期高三第三次模拟考试数学试卷第I卷（选择题）一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.复数z满足，则（）A. B. C. D.3.内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则一定是（）A.等腰三角形 B.等边三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形4.函数在区间内的图象大致为（）A. B. C. D.5.已知，则最小值是（）A.1 B. C. D.106.若，则等于（）.A. B. C. D.7.点A是曲线上任意一点，则点A到直线的最小距离为（）A B. C. D.8.定义在R上的偶函数满足：对任意的，都有，则满足的的取值范围是（）A. B.C. D.二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题是真命题的是（）A， B.，C.， D.方程的实根有三个10.下列等式中正确的是（）A. B.C. D.11.若函数恰有两个零点，则实数a的取值可能是（）A.1 B.2 C.3 D.412.若函数的部分图像如图所示，则下列叙述正确的是（）A.是函数图象的一个对称中心B.函数图象关于直线对称C.函数在区间上单调递增D.函数的图像可由的图象向左平移个单位得到第II卷（非选择题）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若直线与曲线相切，则_________．14.若，则______．15.△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若△ABC的面积为，则______．16.已知是定义在上的奇函数，当时，，若，则不等式的解集为________.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知函数．（Ⅰ）求函数的单调递增区间和最小正周期；（Ⅱ）若当时，关于的不等式______，求实数的取值范围．请选择①和②中的一个条件，补全问题（Ⅱ），并求解．其中，①有解；②恒成立．18.如图，在△ABC中，∠A=30°，D是边AB上的点，CD=5，CB=7，DB=3（1）求△CBD的面积；（2）求边AC的长.19.已知公差不为零的等差数列的前n项和为，若,且成等比数列（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列满足，若数列前n项和，证明.20.已知等比数列中，，且成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）当数列为正项数列时，若数列满足，记数列的前项和为，试比较与的大小．21.若函数，当时，函数有极值．（1）求函数的解析式；（2）判断函数的极值点并求出函数的极值.22.已知函数，其中．（1）讨论单调性；（2）若，，求的最大值．2023-2024学年度第一学期高三第三次模拟考试数学试卷第I卷（选择题）一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据集合的运算求解即可.【详解】由解得：，得集合，又，，从而.故选:B．2.复数z满足，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出等式右侧复数的模，然后表示出复数z，再化简变形求得结果.【详解】由已知，可得，∴.故选：C．3.内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则一定是（）A.等腰三角形 B.等边三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】利用余弦定理角化边整理可得.【详解】由余弦定理有，整理得，故一定是直角三角形.故选：C4.函数在区间内的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】判断函数的奇偶性，结合特殊值的求解进行判断即可.【详解】，，则故为偶函数，排除C、D；又时，，排除A故选：B5.已知，则的最小值是（）A.1 B. C. D.10【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【详解】解：，即且，，当且仅当时取等号，故选：【点睛】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．6.若，则等于（）.A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据，利用诱导公式得到，再由，利用二倍角公式求解.【详解】因为，所以，所以，故选：A7.点A是曲线上任意一点，则点A到直线的最小距离为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】动点在曲线，则找出曲线上某点的斜率与直线的斜率相等的点为距离最小的点，利用导数的几何意义即可【详解】不妨设，定义域为：对求导可得：令解得：（其中舍去）当时，，则此时该点到直线的距离为最小根据点到直线的距离公式可得：解得：故选：A8.定义在R上的偶函数满足：对任意的，都有，则满足的的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由函数偶函数可得原不等式等价于，再根据单调性解不等式.【详解】因为是偶函数，且在上单调递减，所以不等式等价于，即，解得或，所以满足的x的取值范围是．故选：B．二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题是真命题的是（）A.， B.，C.， D.方程的实根有三个【答案】CD【解析】【分析】利用命题的定义，结合函数图象的性质求解即可.【详解】对于A，当时，，因为，所以，所以，故A错误；对于B，由反函数的性质可知，由于与的图象关于对称，且的图象恒在图象的下方，所以恒成立，故B错误；对于C，，，即恒成立，故C正确；对于D，与有且仅有三个交点，故D正确.故选:CD.10.下列等式中正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】A选项，逆用正弦倍角公式进行求解；B选项，逆用余弦二倍角公式计算；C选项，逆用正切差角公式进行求解；D选项，逆用正弦和角公式计算.【详解】A选项，，A正确；B选项，，B正确；C选项，，C正确；D选项，，D错误.故选：ABC11.若函数恰有两个零点，则实数a的取值可能是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】BCD【解析】【分析】分离参数，函数有2个零点等价于在时，有两个解，判断函数的图像即可.【详解】函数有2个零点等价于在时，直线与有2个交点，，显然当时，，当时，，即在x=1处，取得最小值=1，图像如下：若与有2个交点，则；故选：BCD.12.若函数的部分图像如图所示，则下列叙述正确的是（）A.是函数图象的一个对称中心B.函数的图象关于直线对称C.函数在区间上单调递增D.函数的图像可由的图象向左平移个单位得到【答案】AD【解析】【分析】由题意利用函数的图象求出函数解析式，结合正弦函数的性质，即可得出结论．【详解】解：根据函数，的部分图像，可得，结合五点法作图可得，，故函数．令，求得，可得，是函数图象的一个对称中心，故A正确；令，求得，不是最值，可得不是函数图象的一条对称轴，故B错误；在区间，上，，，函数没有单调性，故C错误；由的图象向左平移个单位，可得的图象，故D正确，故选：AD．第II卷（非选择题）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若直线与曲线相切，则_________．【答案】【解析】【分析】设切点为，根据导数的几何意义可推导得到，根据切点坐标同时满足直线与曲线方程可构造方程求得，代入可得结果.详解】设直线与曲线相切于点，由得：，，，又，，解得：，.故答案为：.14.若，则______．【答案】【解析】【分析】利用二倍角的正余弦公式展开后，根据弦化切的思想求解.【详解】因为，所以．故答案为：15.△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若△ABC的面积为，则______．【答案】##【解析】【分析】因本题求角，则△ABC的面积，整理得，代入计算．【详解】由题意可得，则可得∴故答案为：．16.已知是定义在上的奇函数，当时，，若，则不等式的解集为________.【答案】【解析】【分析】令，对其求导，由时，，可知，从而在上单调递减，由奇偶性，可得是定义域上的偶函数，从而可得出在上的单调性，再结合，可求出的解集.【详解】由题意，令，则，因为时，，则，故在上单调递减，又是定义在上的奇函数，所以，所以，即是上的偶函数，根据偶函数的对称性，可知在上单调递增，且，所以时，.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查不等式的解集，解题关键是求出函数的单调性.本题通过构造函数，求导并结合当时，，可求出函数在上的单调性，再结合函数的奇偶性，可求出在定义域上的单调性.考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力，属于中档题．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知函数．（Ⅰ）求函数的单调递增区间和最小正周期；（Ⅱ）若当时，关于的不等式______，求实数的取值范围．请选择①和②中的一个条件，补全问题（Ⅱ），并求解．其中，①有解；②恒成立．【答案】（Ⅰ）单调递增区间为：，；；（Ⅱ）答案见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）先将函数整理，得到，利用正弦函数的周期性与单调性，即可求出其单调递增区间与最小正周期；（Ⅱ）若选①，可得，根据正弦函数的性质，求出函数在给定区间的最大值，即可得出结果；若选②，可得，根据正弦函数的性质，求出函数在给定区间的最小值，即可得出结果.【详解】（Ⅰ）解：因为．所以函数的最小正周期；因为函数的单调增区间为，，所以，，解得，，所以函数的单调增区间为，；（Ⅱ）解：若选择①由题意可知，不等式有解，即；因为，所以，故当，即时，取得最大值，且最大值为，所以；若选择②由题意可知，不等式恒成立，即．因为，所以．故当，即时，取得最小值，且最小值为．所以．【点睛】思路点睛：求解三角函数最值问题时，一般需要根据三角恒等变换将函数化简整理，化为正弦型函数或余弦型函数的形式，结合正弦函数或余弦函数的性质，即可求解.18.如图，在△ABC中，∠A=30°，D是边AB上的点，CD=5，CB=7，DB=3（1）求△CBD的面积；（2）求边AC的长.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理求得，即可得出，再由面积公式即可求解；（2）由正弦定理即可求解.【详解】（1）在中，由余弦定理可得，则，；（2）在中，由正弦定理得，即，解得.19.已知公差不为零的等差数列的前n项和为，若,且成等比数列（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列满足，若数列前n项和，证明.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.【解析】【详解】试题分析：(1)利用等比数列的基本性质及等差数列的前项和求出首项和公差,进而求出数列的通项公式;(2)利用裂项相消法求和,求得（Ⅰ）由题意知：解，故数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，则点睛：本题考查了数列求和，一般数列求和方法（1）分组转化法，一般适用于等差数列加等比数列，（2）裂项相消法求和，一般如等的形式，（3）错位相减法求和，一般适用于等差数列乘以等比数列，（4）倒序相加法求和，一般距首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和和倒着写和，两式相加除以2得到数列求和,(5)或是具有某些规律求和.20.已知等比数列中，，且成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）当数列为正项数列时，若数列满足，记数列的前项和为，试比较与的大小．【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）根据等比数列，，且成等差数列，利用“”求解；（2）由（1）题得，则，利用分组求和得到=，再利用作差法比较与的大小．【小问1详解】解：记的公比为，由可得，解得或，又由，可得，即，当时，可解得，此时有当时，可解得，此时有综上，数列的通项公式为或.【小问2详解】由（1）知：，则，从而，，由，故．21.若函数，当时，函数有极值．（1）求函数的解析式；（2）判断函数的极值点并求出函数的极值.【答案】（1）（2）当时，有极大值，当时，有极小值【解析】【分析】(1)先对函数进行求导,然后根据,可求出的值,进而确定函数的解析式.

(2)根据(1)中解析式然后求导,然后令导函数等于0，求出的值,然后根据函数的单调性与其导函数的正负之间的关系,确定出函数的单调性,进而得到函数的极值;【详解】(1)因为，由题意知，解得，

所以所求的解析式为;

(2)由(1)可得，

令,得或,则当或时,，在和单调递增；当时,，在单调递减,

因此,当时,有极大值,

当时,有极小值;所以当时，有极大值，当时，有极小值。【点睛】本题考查运用函数的导函数，研究函数的极值和函数的单调性等相关的性质，在求函数的极值，一定需得出在极值点两旁的单调性是不一致的，