高中数学第二章数列2-2-2等差数列的性质同步课件新人教A版必修5

第2课时

等差数列的性质

主题等差数列的性质1.已知等差数列{an},对于数列中的任意两项an,am存在怎样的关系?提示:由等差数列的通项公式可知an=a1+(n-1)d,am=a1+(m-1)d,两式相减,得an-am=(n-m)d,所以an=am+(n-m)d.2.观察等差数列{an}的项与项数,回答问题:

(1)3+6=4+5,a3+a6与a4+a5相等吗?提示:相等.(2)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq吗?提示:相等.因为am=3m,an=3n,ap=3p,aq=3q,am+an=3(m+n),ap+aq=3(p+q),因为m+n=p+q,故am+an=ap+aq.3.试想一下问题2中等差数列若换为一般的等差数列还成立吗?即对于任意的正整数m,n,p,q,若m+n=p+q,则在等差数列{an}中,am+an与ap+aq之间有怎样的关系?为什么?提示:am+an=ap+aq.因为am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(n+m-2)d,而ap+aq=a1+(p-1)d+a1+(q-1)d=2a1+(p+q-2)d,又因为m+n=p+q,所以am+an=ap+aq.结论:等差数列的性质:{an}是公差为d的等差数列,(1)若正整数m,n,p,q满足m+n=p+q,则am+an=_____.(2)an=am+________.ap+aq(n-m)d结论:等差数列的性质:{an}是公差为d的等差数列,(1)若正整数m,n,p,q满足m+n=p+q,则am+an=_____.(2)an=am+________.ap+aq(n-m)d【对点训练】1.在等差数列{an}中,若a1=2,a3+a5=10,则a7= (

)A.5 B.8 C.10 D.14【解析】选B.由等差数列的性质,得a1+a7=a3+a5.因为a1=2,a3+a5=10,所以a7=8.2.在等差数列{an}中,若a2=1,a6=-1,则a4= (

)A.-1 B.1C.0 D.【解析】选C.由2a4=a6+a2=-1+1=0,所以a4=0.3.等差数列{an}中,已知a100=120,a90=100,则公差d=________.

【解析】由等差数列的性质知d==2.答案:2类型一等差数列的性质及应用【典例1】(1)已知a3与a7是方程x2-8x+9=0的两根,则a3+a4+a5+a6+a7=________.

(2)已知等差数列{an}中a5+a6+a7=15,a5·a6·a7=45,求{an}的通项公式.【解题指南】(1)先利用根与系数的关系求出a3+a7的值,再利用等差数列的性质求解.(2)先利用性质求出a6,然后解a5与a7的方程组,进而求出a5与a7,最后再由性质求an.【解题指南】(1)先利用根与系数的关系求出a3+a7的值,再利用等差数列的性质求解.(2)先利用性质求出a6,然后解a5与a7的方程组,进而求出a5与a7,最后再由性质求an.【解析】(1)因为a3与a7是方程x2-8x+9=0的两根,所以a3+a7=8,故a4+a6=8,a5=(a3+a7)=4.因此原式=(a3+a7)+(a4+a6)+a5=8+8+4=20.答案:20(2)因为a5+a6+a7=3a6=15,所以a6=5,因此解得或若a5=1,a7=9,则d===4,an=a5+(n-5)×4=4n-19;若a5=9,a7=1,则d==-4,an=a5+(n-5)×(-4)=-4n+29.【方法总结】等差数列运算的两条常用思路(1)根据已知条件,列出关于a1,d的方程(组),确定a1,d,然后求其他量.(2)利用性质巧解,观察等差数列中项的序号,若满足m+n=p+q=2r(m,n,p,q,r∈N*),则am+an=ap+aq=2ar.【知识拓展】等差数列的常用性质{an}是公差为d的等差数列.(1)d==(m,n,k∈N*且n≠1,m≠k).(2)数列{λan+b}(λ,b是常数)是公差为λd的等差数列.(3)下标成等差数列且公差为m的项ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)组成公差为md的等差数列.(4)若数列{bn}为等差数列,则{an±bn},{kan+bn}(k为非零常数)也是等差数列.(5)项数间隔相等或连续等长的项之和仍构成等差数列.【跟踪训练】已知数列{an}为等差数列,且公差为d.(1)若a15=8,a60=20,求a105的值;(2)若a2+a3+a4+a5=34,a2a5=52,求公差d.【解析】(1)方法一:由题意得解得故a105=a1+104d=+104×=32.方法二:因为{an}为等差数列,所以d=,所以a105=a60+45×=32.方法三:因为{an}为等差数列,所以a15,a60,a105也成等差数列,则2a60=a15+a105,所以a105=2×20-8=32.(2)由a2+a3+a4+a5=34,得2(a2+a5)=34,所以a2+a5=17.由解得或所以d==3或d==-3.【补偿训练】如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7= (

)A.14

B.21

C.28

D.35【解析】选C.由等差数列的性质知,a3+a4+a5=3a4=12⇒a4=4,故a1+a2+a3+…+a7=(a1+a7)+(a2+a6)+(a3+a5)+a4=7a4=28.类型二等差数列的设法与求解【典例2】已知四个数成等差数列,它们的和为26,中间两项的积为40,求这四个数.【解题指南】方法一:直接设首项和公差,将已知条件转化为方程组求解.方法二:等差数列相邻四项和为26,这四项有对称性,用对称设法求解.方法三:运用等差数列的性质设项,求解.【解析】方法一:设此等差数列的首项为a1,公差为d,由已知,

化简得解得或所以这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.方法二:设这四个数分别为a,b,c,d,由已知,

解得或所以这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.方法三:设这四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d,由已知,化简得解得所以这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.【方法总结】等差数列的设法技巧(1)当等差数列{an}的项数n为奇数时,可设中间项为a,再以公差为d向两边分别设项:…,a-d,a,a+d,….(2)当等差数列{an}的项数n为偶数时,可设中间两项为a-d,a+d,再以公差为2d向两边分别设项:…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,….【跟踪训练】1.若三个数成等差数列,它们的和为9,平方和为59,则这三个数的积为________.

【解析】设这三个数为a-d,a,a+d,则解得或所以这三个数为-1,3,7或7,3,-1,它们的积为-21.答案:-212.已知四个数构成等差数列,前三个数的和为15,第一个数与第四个数的乘积为27,求这四个数.【解析】设此等差数列的前4项分别为a-d,a,a+d,a+2d.由题意可得解得或所以这四个数是:3,5,7,9或类型三等差数列的实际应用【典例3】梯子的最高一级宽33cm,最低一级宽110cm,中间还有10级,各级的宽度成等差数列,计算中间各级的宽度.【解题指南】可设a1=33,a12=110,n=12,求出{an}的通项公式,进而求出各级的宽度.【解析】用{an}表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列,由已知,得a1=33,a12=110,n=12.由通项公式,得a12=a1+(12-1)d,即110=33+11d.解得d=7.因此,a2=33+7=40,a3=40+7=47,a4=54,a5=61,a6=68,a7=75,a8=82,a9=89,a10=96,a11=103.所以梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm,47cm,54cm,61cm,68cm,75cm,82cm,89cm,96cm,103cm.【方法总结】利用等差数列解决实际问题的注意点(1)实际应用的关键是从实际问题中抽象出等差数列模型.(2)公差不为0的等差数列的图象是一条直线上的均匀排列的孤立的点,反之给出这样的图象,那么它们之间构成等差数列,利用等差数列的性质解题.(3)在实际问题中,若涉及一组与顺序有关的数的问题,可考虑利用数列方法解决,若这组数依次成直线上升或下降,则可考虑利用等差数列方法解决.(4)在利用数列方法解决实际问题时,一定要分清首项、公差、项数等关键量.【跟踪训练】我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为:“今有十等人,每等一人,宫赐金以等次差降之,上三人先入,得金四斤,持出,下三人后入得金三斤,持出,中间四人未到者,亦依次更给,问各得金几何?”则在该问题中,中等级中的五等人与六等人所得黄金数为(

)

A. B. C. D.【解析】选C.设an为第n等人的得金数,则{an}为等差数列,由题设可知a1+a2+a3=4,a8+a9+a10=3,故a2=,a9=1,而a5+a6=a2+a9=.【补偿训练】某市2016年底绿地面积为560平方千米,预计每年都比上一年新增绿地面积4平方千米,问到2026年底该市绿地面积为多少平方千米?【解析】将该市2016年起每年年底的绿地面积依次排成数列,记为{an},由题意可知{an}为等差数列,其中a1=560,d=4,所以an=a1+(n-1)d=4n+556.2026年底的绿地面积在数列{an}中是第11项,所以a11=556+4×11=600(平方千米).答:到2026年底该市绿地面积为600平方千米.【知识思维导图】Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的课堂在老人的脚下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永远不要拒绝孩子送给你的礼物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切创伤的并非时间,而是爱.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艰苦的,但我应更坚强.励志名言请您欣赏【解析】将该市2016年起每年年底的绿地面积依次排成数列,记为{an},由题意可知{an}为等差数列,其中a1=560,d=4,所以an=a1+(n-1)d=4n+556.2026年底的绿地面积在数列{an}中是第11项,所以a11=556+4×11=600(平方千米).答:到2026年底