高中数学第4讲第1课时数学归纳法课件新人教A版选修4-5

第1课时数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)证明当_____________时，命题成立；(2)假设当___________________时，命题成立，证明当________时，命题也成立．综上(1)，(2)知，对任意的正整数n≥n0，命题都成立．这种证明方法称为____________．n＝n0

n＝k(k≥n0，k∈N*)

n＝k＋1

数学归纳法

3．(2017年合肥期中)一个关于自然数n的命题，如果验证当n＝1时命题成立，并在假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时命题成立的基础上，证明了当n＝k＋2时命题成立，那么综合上述，则(

)A．一切正整数命题成立 B．一切正奇数命题成立C．一切正偶数命题成立 D．以上都不对【答案】B

【解析】可以推出对n＝1,3,5,7，…，命题都成立，即命题对一切正奇数成立．故选B．用数学归纳法证明等式【解题探究】(1)这是一个与正整数有关的恒等式问题，用数学归纳法证明时，要严格按两步来证明，缺一不可．(2)用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由n＝k到n＝k＋1时等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．

(1)在本例证明过程中，步骤①考虑“n取第一个值的命题形式”时，需认真对待，一般情况是把第一个值代入通项，考察命题的真假；步骤②在由n＝k到n＝k＋1的递推过程中，必须用归纳假设，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．

(1)在本例证明过程中，步骤①考虑“n取第一个值的命题形式”时，需认真对待，一般情况是把第一个值代入通项，考察命题的真假；步骤②在由n＝k到n＝k＋1的递推过程中，必须用归纳假设，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．(2)在步骤②的证明过程中，突出了两个“凑”字，一“凑”假设，二“凑”结论，关键是明确n＝k＋1时证明的目标，充分考虑由n＝k到n＝k＋1时，命题形式之间的区别和联系．【例2】用数学归纳法证明：(3n＋1)·7n－1(n∈N*)能被9整除．【解题探究】这是一个与整除有关的命题，用数学归纳法证明时，第一步应该证n＝1时命题成立，第二步要明确目标，即在假设(3k＋1)·7k－1能被9整除的前提下，证明[3(k＋1)＋1]·7k＋1－1也能被9整除．用数学归纳法证明整除问题

证明整除性问题的关键是“凑项”，而采用增项、减项、拆项和因式分解等手段凑出n＝k时的情形，从而利用归纳假设使问题获证．2．用数学归纳法证明：(x＋1)n＋1＋(x＋2)2n－1(n∈N*)能被x2＋3x＋3整除．【证明】(1)当n＝1时，(x＋1)1＋1＋(x＋2)2－1＝x2＋3x＋3，显然命题成立．(2)假设n＝k(k∈N*，k≥1)时，命题成立，即(x＋1)k＋1＋(x＋2)2k－1能被x2＋3x＋3整除，则当n＝k＋1时，(x＋1)k＋2＋(x＋2)2k＋1＝(x＋1)k＋2＋(x＋1)(x＋2)2k－1＋(x＋2)2k＋1－(x＋1)(x＋2)2k－1＝(x＋1)[(x＋1)k＋1＋(x＋2)2k－1]＋(x＋2)2k－1(x2＋3x＋3)．由假设可知上式可被x2＋3x＋3整除，即n＝k＋1时命题成立．由(1)(2)可知，原命题成立．【例3】平面内有n个圆，其中每两个圆都交于两点，且无三个圆交于一点，求证：这n个圆将平面分成n2－n＋2个部分．【解题探究】这是一个与几何有关的命题，用数学归纳法证明时，难点在于几何元素从k个变成k＋1个时，所证的几何量将增加多少．用数学归纳法证明几何问题

用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k个变成k＋1个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析，可以先从有限个圆的情形中，归纳出所证几何量的增加量．在实在分析不出来的情况下，将n＝k＋1和n＝k分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧．1．用数学归纳法证明时，要严格按两步来证明，缺一不可．2．数学归纳法证明的原理为无限自动递推，故证n＝k＋1时，须将假设结论作为条件，参与证明．3．运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等．4．数学归纳法证明的关键是明确n＝k＋1时证明的目标，充分考虑由n＝k到n＝k＋1时，命题形式之间的区别和联系．Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的课堂在老人的脚下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永远不要拒绝孩子送给你的礼物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切创伤的并非时间,而是爱.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艰苦的,但我应更坚强.励志名言请您欣赏

用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k个变成k＋1个时，所证