第3章 不等式综合能力测试-苏教版高一《数学》同步学与练（解析版）

第第页第3章不等式综合能力测试第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知不等式的解集为，则下列结论错误的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵不等式的解集为，∴，∴，∴，∴ABC都正确；又，∴D错误．故选：D．2．若，且，则的最小值为（

）A．1 B．5 C．25 D．12【答案】C【解析】因为，所以，当且仅当时取等号，解不等式，，当，时，取等号.故选：C3．设是方程的两根，那么的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为是方程的两根，由根与系数的关系可得：，所以.故选：C.4．已知，，则（

）A． B． C． D．不能确定【答案】C【解析】因为，，则，又因为，所以，所以，可得，所以．故选：C5．关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则的取值范围是（

）A．B．C．D．且【答案】B【解析】根据题意可知；，由韦达定理可得，解得，故选：B6．已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由得，等价于，解得或.所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A7．已知，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，且，故，当且仅当，即时取得等号.故选：B8．设，定义运算“”和“”如下：，．若正数m，n，p，q满足，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由运算“”和“”定义知，表示数较小的数，表示数较大的数，当时，，故选项A、C错误；当时，，故选项B错误；∵，且，∴，∵，，∴，故选项D正确；故选：D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．下列结论不正确的是（

）A．任意，则 B．若，则C．若，则 D．若，，，则【答案】AC【解析】A：当时，为负数，所以A不正确；B：若，则，所以，所以B正确；C：若，在上单调递增，则，故C不正确；D：若，，，根据基本不等式有，所以D正确.故选：AC10．若关于的不等式的解集为，则的值不可以是（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】因为，则二次函数的图象开口向上，且关于的不等式的解集为，所以，不等式的解集为，且，所以，关于的二次方程的两根分别为、，由韦达定理可得，则，则，又因为，所以，，所以，，故选：AD.11．已知，，且，则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】根据基本不等式可知，则，当且仅当，时，等号成立，故A正确；因为，，变形得，所以当且仅当，即，时，等号成立，所以，故B错误；由，，，所以，即，故C正确；由，可得，根据前面分析得，即，所以，即，故D正确．故选：ACD12．已知正数a，b满足，则（

）A．的最大值是 B．ab的最大值是C．的最大值是 D．的最小值是2【答案】ABC【解析】由得，当且仅当时取等，A正确；由得，当且仅当时取等，B正确；对C，因为，a，b为正数，则，，当时去等，故C正确；对D，，当且仅当时等号成立，故D错误，故选：ABC.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．一批货物随17列货车从A市以千米/时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于千米，那么这批货物全部运到B市，最快需要小时.【答案】8【解析】设这批货物从A市全部运到B市的时间为t，则＝＋(小时)，当且仅当＝，即v＝100时，等号成立，此时小时.故答案为：8.14．若不等式对一切实数x都成立，则的取值范围为.【答案】【解析】由不等式对一切实数都成立，当时，即，可得，此时对一切实数都成立；当时，则满足，解得，综上可得，实数的取值范围是.故答案为：.15．若，则的取值范围为．【答案】【解析】由题意，设，则，解得，因为，可得所以，即的取值范围是.故答案为：.16．已知，，则的最小值为．【答案】【解析】，因为，所以当，，上述等号在时成立．故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．（10分）（1）解不等式；（2）解不等式；（3）已知．求的最小值；（4）已知，求最大值.【解析】（1），解得或，所以不等式的解集为.（2）对于方程，，所以此方程无解，所以不等式的解集是.（3）由于，所以，所以，当且仅当时等号成立，故的最小值为.（4）依题意，，所以，当且仅当时等号成立，故最大值为.18．（12分）已知关于的不等式的解集为.(1)求实数，的值；(2)当，，且满足时，求的最小值.【解析】（1）∵不等式的解集为，∴，且，为方程的两个根，故，解得或（舍去），（2）当，时，由（1）得，∴，当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值为2419．（12分）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度υ（千米/小时）之间的函数关系为：．(1)在该时段内，当汽车的平均速度υ为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（保留分数形式）(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？【解析】（1）依题意，由于,所以当且仅当，即时，上式等号成立，∴（千辆/时）．当时，车流量最大，最大车流量约为千辆/时；（2）由条件得,整理得，即，解得，所以，如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于且小于．20．（12分）（1）当，若关于的不等式的解集不空，求实数a的取值范围；（2）求关于的不等式的解集.【解析】（1）因为，关于的不等式的解集不空，所以一元二次方程的判别式大于零，即，而，所以；（2）当，不等式为，不等式的解集为；当时，不等式化为，不等式的解集为当时，方程的两个根分别为：.当时，两根相等，故不等式的解集为；当时，，不等式的解集为或；当时，，不等式的解集为；综上：当时，不等式的解集为当，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；.当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或.21．（12分）已知二次函数（为实数）(1)若时，且对，恒成立，求实数的取值范围；(2)若时，且对，恒成立，求实数的取值范围；(3)对，时，恒成立，求的最小值．【解析】（1）时，，即，，恒成立，即恒成立，恒成立，，对恒成立，．令，则，则，当且仅当，即，此时时取，所以实数的取值范围时．（2）时，，即，，恒成立，即对恒成立，对恒成立．，，所以实数的取值范围是．（3）对，时，恒成立，，则．，当且仅当且，即时取等号，所以最小值是．22．（12分）已知二次函数，其中．(1)若且，①证明：函数必有两