5.2 函数的表示方法（九大题型）-苏教版高一《数学》同步学与练（解析版）

第第页5.2函数的表示方法课程标准学习目标（1）结合实例，经历函数三种表示法的抽象过程，体会三种表示法的作用，发展学生的数学抽象素养.（2）结合实例，加深对分段函数概念的理解及应用，提升逻辑推理、数学运算素养.（1）掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法以及各自的优缺点.（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.（3）通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.（4）会求函数的解析式.知识点01函数的表示法函数的三种表示方法：解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值．图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：直观形象，反应变化趋势．列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．优点：不需计算就可看出函数值．【即学即练1】（2023·全国·高一专题练习）（1）已知一次函数满足，求的解析式．（2）已知二次函数满足，，，求的解析式．【解析】设，则，于是有解得或所以或．（2）设，由题意得解得故．知识点02分段函数分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．【即学即练2】（2023·全国·高一课堂例题）画出函数的图象．【解析】当时，，当时，，当时，，分段画出的图象，如图，【方法技巧与总结】函数解析式的求解策略有：（1）直接法：已知的解析式，求的解析式类型，直接将整体代入中的；（2）待定系数法：即由已知函数类型设出函数解析式（通常是一次函数和二次函数类型），再根据条件列方程（或方程组），通过解方程（或方程组）求出待定系数，进而得出函数的解析式；（3）换元法（或者叫配凑法）：已知抽象函数的解析式求的解析式，这个方法可以看成代入法的逆向思维，即令，反解出，然后代入中得到，进而得到的解析式；（4）解方程组法：该方法是针对含有关于两个不同变量的函数，而这两种变量存在某种特定的关系，在中学阶段这种关系通常是互为相反数或者互为倒数，然后“互换”两个变量建立一个新的关于这两个变量的关系，通过解方程组消去一个变量，从而得到只含一个的解析式，最后可以得到的解析式；（5）赋值法：赋值法是很常用的处理抽象函数之间的一种方法，对涉及任意量词（含，）题目，要特别注意可以通过赋特殊的值，求出特殊的值对应函数值，进而求出函数的解析式．题型一：已知函数类型求解析式例1．（2023·河南郑州·高一中牟县第一高级中学校考阶段练习）已知二次函数，满足，.则.【答案】【解析】因为，所以，而，又因为，所以，解得，因此的解析式为.故答案为：.例2．（2023·河南南阳·高一河南省内乡县高级中学校考阶段练习）已已知是一次函数，且，求.【答案】或【解析】设，则，，或，或．故答案为：或.例3．（2023·河南郑州·高一校考阶段练习）已知函数是一次函数且，则函数的解析式为．【答案】【解析】设，由得，即，所以，解得，所以．故答案为：变式1．（2023·全国·高一专题练习）设为一次函数且，求.【解析】设，则.又，∴，即，解得或.∴或.∴或.题型二：已知求解析式例4．（2023·广东东莞·高一东莞市常平中学校考阶段练习）已知，则的解析式为.【答案】【解析】，令，则，所以，所以.故答案为：.例5．（2023·四川眉山·高一校考阶段练习）已知，则．【答案】【解析】令，，，即.故答案为：例6．（2023·全国·高一专题练习）已知，则.【答案】【解析】令，则且，所以，所以函数的解析式为.故答案为：变式2．（2023·陕西渭南·高一校考阶段练习）已知函数，则.【答案】【解析】设，则，那么，.即.故答案为：变式3．（2023·全国·高一专题练习）已知函数满足，则.【答案】【解析】令则所以，故，故答案为：变式4．（2023·江西赣州·高一统考期中）若且，则．【答案】3【解析】若，设，则，从而所以，则，解得或（舍），故.故答案为：.变式5．（2023·江苏·高一专题练习）已知，则的值域为.【答案】【解析】令，则，所以，所以，故的解析式为，其值域为.故答案为：.变式6．（2023·全国·高一专题练习）若函数，则．【答案】【解析】令，则，∴，故，∴.故答案为：.题型三：求抽象函数的解析式例7．（2023·全国·高一课堂例题）是R上的函数，且满足，并且对任意的实数都有，则的解析式【答案】【解析】令，代入得，又，则，∴，故答案为：．例8．（2023·全国·高一专题练习）已知函数满足，则的解析式可以是.（写出满足条件的一个解析式即可）【答案】（答案不唯一）【解析】若设，则由，得，解得，所以，故答案为：（答案不唯一）例9．（2023·全国·高一专题练习）写出一个满足：的函数解析式为.【答案】【解析】中，令，解得，令得，故，不妨设，满足要求.故答案为：变式7．（2023·高一课时练习）已知函数，，且，，，…，，，则满足条件的函数的一个解析式为.【答案】【解析】由已知得，，，，又，故答案为：变式8．（2023·全国·高一专题练习）若函数满足，写出一个符合要求的解析式．【答案】x(答案不唯一)【解析】因为函数满足，所以x，故答案为：x,答案不唯一变式9．（2023·安徽池州·高一校考期中）设函数满足，且对任意，都有，则=.【答案】2021【解析】利用赋值法求出的解析式，即可求解.令，得，令得，即，所以，所以，故答案为：2021题型四：求解析式中的参数值例10．（2023·全国·高一专题练习）已知函数的最大值为7，最小值为-1，求此函数解析式.【解析】解法一：函数式变形为，.由已知得，，即，①不等式①的解为，则-1、7是方程的两根，代入两根得解得或或.解法二：由解法一得.①由不等式的解为，可设为的解.即.然后与不等式①比较系数而得：解出或，所以或例11．（2023·广西·高一校联考阶段练习）已知函数（、，且），，且方程有且仅有一个实数解．求函数的解析式．【解析】∵，∴，即，又∵只有一个实数解，∴有且仅有一个实数解为0，∴，∴解得：，，∴函数的解析式为．例12．（2023·安徽滁州·高一校考阶段练习）已知，，若，则a＝．【答案】1【解析】∵，，∴，又，∴，解得．故答案为：1．变式10．（2023·海南·高一校考期中）已知且，则的值为.【答案】3【解析】由题可知，且，令，则，，，解得：.故答案为：3.变式11．（2023·上海黄浦·高一上海市向明中学校考阶段练习）已知，且，则的值为．【答案】3【解析】用换元法，令，求出代入后可得，然后解即可．．令，则，所以，．故答案为：3．变式12．（2023·高一课时练习）设，，且，则的值为.【答案】【解析】因为，，所以所以，解得.故答案为：变式13．（2023·北京西城·高一统考期中）已知一次函数，且，则．【答案】1【解析】一次函数，所以，得.则，解得，，所以.故答案为：1.题型五：函数方程组法求解析式例13．（2023·湖北荆门·高一钟祥市第一中学校考阶段练习）已知满足，则解析式为．【答案】【解析】由

①用代可得，

②由①②可得：故答案为：例14．（2023·江西南昌·高一校考期中）已知定义在上的函数满足，则的值为.【答案】【解析】由①，得②，②×4＋①得，解得，故.故答案为：例15．（2023·河北石家庄·高一石家庄精英中学校考阶段练习）已知定义在上的函数满足，则.【答案】【解析】令，则；令，则；由得：.故答案为：.变式14．（2023·全国·高一假期作业）已知，则．【答案】.【解析】因为

①，把换成有：

②，联立①②式有：，解得.故答案为：.变式15．（2023·全国·高一专题练习）已知函数f(x)满足3f(x﹣1)+2f(1﹣x)=2x，则f(x)的解析式为.【答案】f(x)=2x【解析】根据题意3f(x﹣1)+2f(1﹣x)=2x，用x+2代替x可得3f(x+1)+2f(﹣1﹣x)=2x+4，…①用﹣x代替x可得3f(﹣x﹣1)+2f(1+x)=﹣2x…②①②消去f(﹣1﹣x)可得：5f(1+x)=10x+12，∴f(x+1)=2x2(x+1)，f(x)=2x，故答案为：f(x)=2x.变式16．（2023·全国·高一专题练习）已知函数满足，则.【答案】/【解析】因为①，所以②，②①得，．故答案为：．变式17．（2023·全国·高一专题练习）若，则．【答案】【解析】由①，将用代替得②，由①②得.故答案为：.题型六：求分段函数的值或者解析式例16．（2023·广西钦州·高一校考阶段练习）设，令．(1)求的解析式(2)求的值域．【解析】（1）当时，，所以，当时，所以，所以.（2）如图所示：由图像可知函数的最小值为，最大值为，故函数的值域为．例17．（2023·山西太原·高一校考阶段练习）已知函数，则．【答案】5【解析】由题意，可得，.故答案为：5.例18．（2023·新疆巴音郭楞·高一八一中学校考期中）已知函数，则．【答案】/1.5【解析】由题意可得.故答案为：.变式18．（2023·高一课时练习）分段函数可以表示为，分段函数可表示为.仿此，分段函数可以表示为．【答案】【解析】因为分段函数可表示为.其分界点为3.从而式子中含有与，并通过前面的“－”达到需要的结果的形式．仿此，对于分段函数其分界点为6.故式子中应含有与，又时，.故的前面应取“＋”．因此.故答案为:.变式19．（2023·广西南宁·高一南宁三中校考阶段练习）已知函数，则f(2)=.【答案】1【解析】由已知，故答案为：1.变式20．（2023·北京西城·高一北京铁路二中校考期中）已知函数，设，，则与的大小关系是．【答案】/【解析】因为，所以，，所以.故答案为：变式21．（2023·江西南昌·高一统考期中）已知函数，则.【答案】【解析】因为，所以.故答案为：题型七：分段函数性质及应用例19．（2023·广东佛山·高一佛山市南海区九江中学校考阶段练习）已知(1)画出的图象；(2)若，求的值；(3)若，求的取值范围.【解析】（1）函数的对称轴，当时，；当时，；当时，，则的图象如图所示.（2），由题意可得：当或时，无解；∴当时，由，可得，解得.（3）由于，结合此函数图象可知，使的的取值范围是例20．（2023·辽宁·高一校联考阶段练习）已知函数.（1）求，的值；（2）当时，求x的取值范围.【解析】解:（1）因为所以所以，因为，所以（2）①当时，由，得；②当时，满足题意③当时，由，得综上所述：x的取值范围是：或.例21．（2023·甘肃天水·高一秦安县第一中学校考期中）已知函数，试解答下列问题：（1）求的值；

（2）求方程=的解．【解析】（1）函数，所以所以（2）当时，即，解得或（舍去）；当时，即，解得；综上所述，或．变式22．（2023·云南红河·高一校考阶段练习）给定函数，，．(1)在所给坐标系（1）中画出函数，的大致图象；（不需列表，直接画出．）(2)，用表示，中的较小者，记为，请分别用解析法和图象法表示函数．（的图象画在坐标系（2）中）(3)直接写出函数的值域．【解析】（1）图象如图：（2）令，即，解得，由图象可知：当时，，当时，，当时，，因此，图象如图：（3）由图象可知：当时，取最大值，故的值域为题型八：解分段函数不等式例22．（2023·全国·高一专题练习）已知,则使成立的的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】（方法1）当时，不等式可化为，解得，又，所以；当时，，不等式可化为，解得，又，所以.综上，使不等式成立的的取值范围是.故选:A.（方法2）函数的图象如图所示，虚线表示，函数图象在虚线及以上的部分中的取值范围即不等式的解集.由图可知，的取值范围就是点的横坐标与点的横坐标之间的范围.在中，令，得，所以点的横坐标为.在中，令，得（舍去）或，所以点的横坐标为，所以使不等式成立的的取值范围是.故选：A.例23．（2023·全国·高一专题练习）设函数,则满足的的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】当时，，解得或，所以或；当时，，解得，所以；综上，满足的的取值范围是.故选：D.例24．（2023·全国·高一专题练习）已知，满足，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】当时，，所以，即，解得，当时，，所以，即，解得，所以，的取值范围是故选：D变式23．（2023·全国·高一专题练习）已知，则关于的不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为，当时，，故由得，解得，故；当时，，故由得，当时，上式恒成立；当，整理得，所以，故；当时，，故由得，解得，故；综上：，即的解集为.故选：B.变式24．（2023·全国·高一专题练习）已知，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函数，当时，，不等式化为：恒成立，则，当时，，不等式化为：恒成立，则，当时，，不等式化为：，解得，则，所以的取值范围是.故选：C变式25．（2023·甘肃天水·高一天水市第一中学校考期末）已知函数,则使得的的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】当时，由可得，，，解得.当时，由可得，，即恒成立，所以.综上可得，使得的的取值范围为.故选：D.题型九：已知分段函数的值求参数或自变量例25．（多选题）（2023·全国·高一专题练习）(多选)设函数，若，则（

）A． B．3C． D．1【答案】CD【解析】因为，又所以；(1)当时，，解得.(2)当时，，所以；综上可知或.故选：CD例26．（多选题）（2023·贵州毕节·高一统考期末）已知函数，若，则的值可以为（

）A． B．3 C．7 D．8【答案】AD【解析】当时，由，得，解得或（舍去），当时，由，得，解得，综上或，故选：AD例27．（多选题）（2023·全国·高一专题练习）已知函数，若，则实数a的值为（

）A． B． C．2 D．8【答案】AC【解析】函数，而，当时，，解得，满足条件，即有，当时，，解得，显然不满足条件，则有，所以实数a的值为或2.故选：AC变式26．（多选题）（2023·广东佛山·高一校考阶段练习）已知函数，若，则实数的值可以是（

）A．3 B． C．4 D．-4【答案】BC【解析】当时，得，解得或（舍去）；当时，得，解得.故选：BC变式27．（多选题）（2023·辽宁铁岭·高一昌图县第一高级中学校考期中），且，则实数a的值为（

）A．－ B． C． D．【答案】ACD【解析】当时，，解得；当时，，解得；当时，，解得或（舍去）．综上可知，实数a的值为－或或．故选：ACD.变式28．（多选题）（2023·广西梧州·高一校考开学考试）设函数若，则实数a的值可以是（

）A． B．2 C． D．【答案】BC【解析】当时，，由得，，则，当时，，由得，或（舍去），则，所以实数a的值是或.故选：BC一、单选题1．（2023·辽宁大连·高一校联考阶段练习）已知，则的值等于（

）A． B．4 C．2 D．【答案】B【解析】因为，所以，所以，故选：B.2．（2023·浙江嘉兴·高一校考阶段练习）已知函数是一次函数，且，则（

）A．11 B．9 C．7 D．5【答案】A【解析】设，则，整理得，所以，解，所以，所以.故选：A3．（2023·北京·高一北京市陈经纶中学校考阶段练习）已知函数，若，则（

）A． B．0 C．或0 D．【答案】A【解析】时，，则，进一步分类讨论，时，即时，，整理得，根据条件得；时，即时，，得，不符题意；时，，，进一步分类讨论，时，即时，与不符；时，即，所以时，有，得，与题意不符；故选：A4．（2023·浙江宁波·高一余姚中学校考阶段练习）已知函数在定义域上是单调函数，若对任意）都有，则（

）A． B．2022C．2023 D．2024【答案】D【解析】根据题意，令，则可得即，又因为函数在定义域内单调，所以可得，解得；所以，经检验满足题意；因此.故选：D5．（2023·浙江宁波·高一慈溪市杨贤江中学校考阶段练习）函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，画出函数图像，如图所示：根据图像知，函数值域为.故选：B6．（2023·山东济宁·高一嘉祥县第一中学校考阶段练习）设函数的定义域为，，若，则等于（

）A． B．1 C． D．【答案】B【解析】设，由已知可得，，，所以，所以，，即.故选：B.7．（2023·全国·高一专题练习）设函数，则的值域是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】当,即，时,或,,因为，所以，因此这个区间的值域为.当时,即，得,其最小值为，其最大值为，因此这区间的值域为.综上，函数值域为:.故选：D8．（2023·全国·高一专题练习）已知二次函数满足，且的最大值是8，则此二次函数的解析式为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】根据题意，由得:图象的对称轴为直线，设二次函数为，因的最大值是8，所以，当时，，即二次函数，由得:，解得：，则二次函数，故选：A.二、多选题9．（2023·吉林长春·高一校考阶段练习）已知函数，关于函数的结论正确的是（

）A．的定义域为R B．的值域为C． D．若，则x的值是【答案】BD【解析】对于A，因为，所以的定义域为，所以A错误，对于B，当时，，当时，，所以的值域为，所以B正确，对于C，因为，所以，所以C错误，对于D，当时，由，得，解得（舍去），当时，由，得，解得或（舍去），综上，，所以D正确，故选：BD10．（2023·全国·高一专题练习）（多选）已知，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．【答案】AD【解析】依题意，，因此，BC错误，D正确；显然，A正确.故选：AD11．（2023·全国·高一专题练习）已知函数，则（

）A． B．C．的最小值为1 D．的图象与轴有1个交点【答案】ACD【解析】令，得，则，得，故，，，A正确，B错误.，所以在上单调递增，，的图象与轴只有1个交点，C正确，D正确.故选：ACD12．（2023·高一课时练习）设，定义符号函数，则下列各式不正确的是（）A．

B．

C． D．

【答案】ABC【解析】对于选项A，右边，而左边为x，显然不正确；对于选项B，右边，而左边为x，显然不正确；对于选项C，右边即为而左边，显然不正确；对于选项D，右边，而左边，显然正确．故选：ABC三、填空题13．（2023·福建厦门·高一厦门一中校考阶段练习）设函数，则．【答案】10【解析】因为，所以.故答案为：14．（2023·福建厦门·高一校考阶段练习）已知定义域为的函数，对于任意的恒有，且，则.【答案】【解析】由题意，令，，得，又令，则，又令可得，所以令，可得，令，可得.故答案为：.15．（2023·辽宁大连·高一校联考阶段练习）设a，，记，则函数的最大值．【答案】1【解析】根据题意，联立方程组，解得，即两函数的交点坐标为，则两函数和图图象，如图所示，因为，所以的最大值为.故答案为：.16．（2023·山东德州·高一校考阶段练习）已知函数，令，则不等式的解集是．【答案】【解析】由题知，当时，即，解得：，此时，；当，即，解得：或，此时，；.由，得：或或，解得：，故答案为：.四、解答题17．（2023·海南海口·高一校考期中）求下列函数的解析式：(1)已知，求；(2)已知二次函数的图象与轴的两