专题18 函数的概念及其表示（学生版）-2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义

专题18函数的概念及其表示【知识点梳理】知识点一：函数的概念1、函数的定义设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数.记作：，．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.知识点诠释：(1)A、B集合的非空性；(2)对应关系的存在性、唯一性、确定性；(3)A中元素的无剩余性；(4)B中元素的可剩余性。2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.3、区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；(3)区间的数轴表示．区间表示：；；；；；.知识点二：函数的表示法1、函数的三种表示方法：解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：直观形象，反应变化趋势.列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．优点：不需计算就可看出函数值.2、分段函数：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．知识点三：函数定义域的求法(1)确定函数定义域的原则①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件.②当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义.③当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数的集合。(2)抽象函数定义域的确定所谓抽象函数是指用表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则。在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内。(3)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.知识点四：函数值域的求法实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域；配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域.求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等.总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约.【题型归纳目录】题型一：函数的概念题型二：给出解析式求函数的定义域题型三：抽象函数求定义域题型四：给出函数定义域求参数范围题型五：同一函数的判断题型六：给出自变量求函数值题型七：求函数的值域题型八：求函数的解析式题型九：分段函数求值、不等式问题题型十：区间的表示与定义【典例例题】题型一：函数的概念例1．(2023·江苏扬州·高一统考期中)下列对应是集合到集合的函数的是(

)A．，B．，，C．，D．，例2．(2023·高一课时练习)下列说法不正确的是()A．圆的周长与其直径的比值是常量B．任意凸四边形的内角和的度数是常量C．发射升空的火箭高度与发射的时间之间是函数关系D．某商品的广告费用与销售量之间是函数关系例3．(2023·高一课时练习)下列变量间为函数关系的是()A．匀速行驶的客车在2小时内行驶的路程B．某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系C．一只60瓦的白炽灯在7小时内的耗电量与时间t的关系D．生活质量与人的身体状况间的关系变式1．(2023·湖南郴州·高一校考阶段练习)下列各函数图象中，不可能是函数的图象的是(

)A． B．C． D．变式2．(2023·河南·高一校考阶段练习)下列图象中，表示函数关系的是(

)A． B． C． D．变式3．(2023·广西玉林·高一校考期末)设集合，.下列四个图象中能表示从集合到集合的函数关系的有(

)A．3个 B．2个 C．1个 D．0个变式4．(2023·上海·高一专题练习)下列等量关系中，是的函数的是()A． B． C． D．题型二：给出解析式求函数的定义域例4．(2023·高一课时练习)函数的定义域是(

)A． B．C． D．或例5．(2023·广东佛山·高一佛山市荣山中学校考期中)函数的定义域为(

)A． B．C． D．例6．(2023·高一单元测试)已知函数的定义域为(

)A． B． C． D．变式5．(2023·江西九江·高一校考阶段练习)若代数式有意义，则实数()A． B．C． D．变式6．(2023·安徽芜湖·高一安徽师范大学附属中学校考期末)若函数，则的定义域为(

)A． B．C． D．变式7．(2023·福建泉州·高一福建省安溪第一中学校考阶段练习)已知等腰三角形的周长为40，设其底边长为ycm，腰长为xcm.则函数的定义域为()A． B． C． D．变式8．(2023·高一课时练习)已知等腰三角形ABC的周长为10,且底边长y关于腰长x的函数关系为y=10-2x,则函数的定义域为()A．{x|x∈R} B．{x|x>0}C．{x|0<x<5} D．题型三：抽象函数求定义域例7．(2023·高一单元测试)已知函数的定义域是，则的定义域是(

)A． B． C． D．例8．(2023·高一单元测试)若函数的定义域为，则函数的定义域为(

)A． B． C． D．例9．(2023·全国·高一专题练习)已知函数的定义域为，则函数的定义域为(

)A． B． C． D．变式9．(2023·湖南衡阳·高一衡阳市一中校考期中)已知函数的定义域为，则函数的定义域为(

)A． B． C． D．变式10．(2023·吉林·高一长春市第二实验中学校联考期末)若函数的定义域为，则函数的定义域为(

)A． B． C． D．变式11．(2023·重庆九龙坡·高一重庆市铁路中学校校考期末)已知函数的定义域为，则函数的定义域为(

)A． B．C． D．变式12．(2023·全国·高一专题练习)已知函数的定义域为，则函数的定义域为(

)A． B． C． D．题型四：给出函数定义域求参数范围例10．(2023·湖南常德·高一汉寿县第一中学校考期中)若函数的定义域为，则实数的取值范围是______.例11．(2023·高一课时练习)函数的定义域为M．若，则实数a的取值范围是______．例12．(2023·全国·高一专题练习)若函数的定义域为R，则实数a的取值范围为________.变式13．(2023·天津和平·高一校考期中)若函数的定义域为，则实数的取值范围_________．变式14．(2023·高一课时练习)若函数的定义域为，则实数的取值范围是__________.题型五：同一函数的判断例13．(2023·高一课时练习)下列各函数中，与函数表示同一函数的是(

)A． B．C． D．例14．(2023·高一课时练习)下列各组函数为同一函数的是()①与;②与;③与.A．①② B．① C．② D．③例15．(2023·高一课时练习)下列四组函数，表示同一函数的是(

)A． B．C． D．变式15．(2023·全国·高一专题练习)下列四组函数中，表示同一函数的是(

)A．与B．与C．与D．与变式16．(2023·上海青浦·高一统考开学考试)下列四组函数中，表示相同函数的一组是(

)．A．， B．，C．， D．，变式17．(2023·湖南郴州·高一校考阶段练习)下列函数与是同一函数的是(

)A． B． C． D．题型六：给出自变量求函数值例16．(2023·高一单元测试)若，则__________．例17．(2023·河北邯郸·高一校考期末)已知函数满足，则__________.例18．(2023·重庆璧山·高一重庆市璧山来凤中学校校考阶段练习)设，则__________.变式18．(2023·甘肃庆阳·高一校考期末)已知定义域为R的函数，，则_.变式19．(2023·海南儋州·高一校考期末)已知，那么＝______．变式20．(2023·重庆北碚·高一统考期末)已知函数，分别由下表给出，则___________.123131321变式21．(2023·河南南阳·高一盐城市大丰区南阳中学校考期末)已知f(2x+1)＝，则f(1)＝______.变式22．(2023·上海普陀·高一曹杨二中校考期末)已知函数满足：对任意非零实数x，均有，则__________．变式23．(2023·广西贺州·高一校考期末)已知函数，则______．题型七：求函数的值域例19．(2023·浙江杭州·高一校考阶段练习)求下列函数的值域.(1);(2);(3),.例20．(2023·高一课时练习)试求下列函数的定义域与值域.(1)，(2)(3)(4)例21．(2023·全国·高一专题练习)求下列函数的值域：(1)；(2)(3)；(4)．变式24．(2023·高一课时练习)求的最小值.变式25．(2023·上海徐汇·高一上海中学校考期末)(1)求函数的值域；(2)求函数的值域.变式26．(2023·高一课时练习)已知函数的值域为[1，3]，求的值变式27．(2023·高一课时练习)若函数的最大值为，最小值为，则(

)A．4 B．6C．7 D．8变式28．(2023·高一课时练习)已知，且，则的取值范围是___________.题型八：求函数的解析式例22．(2023·江西南昌·高一进贤县第二中学校考阶段练习)根据下列条件，求的解析式.(1)已知(2)已知(3)已知是二次函数，且满足例23．(2023·云南昆明·高一云南民族大学附属中学校考阶段练习)(1)已知，求的解析式；(2)已知是一次函数，且满足，求的解析式．例24．(2023·湖南株洲·高一校考期中)回答下面两题(1)已知，求；(2)已知函数是一次函数，若，求．变式29．(2023·湖南郴州·高一校考阶段练习)求下列函数的解析式(1)若，求的表达式．(2)已知，求的表达式．变式30．(2023·湖北十堰·高一郧阳中学校考阶段练习)已知函数的图象如图示，在直线的左侧是经过两点的线段(包括两个端点)，在直线的右侧是经过点且解析式为的曲线．(1)求函数的解析式；(2)求的值；(3)求方程的解．变式31．(2023·全国·高一专题练习)若函数，则______．变式32．(2023·辽宁葫芦岛·高一统考期末)已知函数为上的增函数，且对任意都有，则______.变式33．(2023·高一课时练习)是R上的函数，且满足，并且对任意的实数都有，则的解析式_______题型九：分段函数求值、不等式问题例25．(多选题)(2023·吉林松原·高一校考期末)已知函数，若，则实数a的值为(

)A． B． C．2 D．8例26．(多选题)(2023·广东湛江·高一雷州市第一中学校考阶段练习)已知函数，若，则实数的值可以是(

)A．3 B． C．4 D．-4例27．(多选题)(2023·辽宁铁岭·高一昌图县第一高级中学校考期中)，且，则实数a的值为(

)A．－ B． C． D．变式34．(多选题)(2023·四川宜宾·高一四川省宜宾市第四中学校校考期中)已知函数，若，则实数的值为(

)A． B． C． D．1变式35．(多选题)(2023·宁夏中卫·高一中宁一中校考阶段练习)如图是函数的图像，则下列说法正确的是(

)A． B．的定义域为C．的值域为 D．若，则或2变式36．(多选题)(2023·全国·高一专题练习)下列给出的式子是分段函数的是(

)A．f(x)＝ B．f(x)＝C．f(x)＝ D．f(x)＝变式37．(2023·广西桂林·高一校考期中)设函数.(1)求，；(2)若，求的值.变式38．(2023·广西梧州·高一苍梧中学校考阶段练习)已知函数.(1)求的值；(2)若，求的值.变式39．(2023·广东佛山·高一校考阶段练习)已知函数.(1)求，的值；(2)作出函数的简图；(3)由简图指出函数的值域；变式40．(2023·重庆江津·高一校考期中)已知函数的解析式，(1)求；(2)若，求a的值；变式41．(2023·甘肃兰州·高一校考期末)已知函数.(1)求的值；(2)若，求的值.题型十：区间的表示与定义例28．(2023·高一课时练习)用区间表示集合__________．例29．(2023·高一课时练习)集合用区间形式表示应为______．例30．(2023·高一课时练习)若为一确定区间，则a的取值范围是________．变式42．(2023·高一课时练习)将集合用区间表示为___________.变式43．(2023·高一课时练习)用区间表示下列集合．(1)：______；(2)：______；(3)：______；(4)R：______．变式44．(2023·上海·高一专题练习)集合且用区间表示为__________________．【过关测试】一、单选题1．(2023·广东深圳·高一深圳外国语学校校考期中)十九世纪下半叶集合论的创立.奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集.(Cantor)”是数学理性思维的构造产物，具体典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的开区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的开区间段，记为第二次操作；….如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的开区间段.操作过程不断地进行下去.以至无穷，剩下的区间集合即“康托三分集”.第三次操作后，从左到右第四个区间为(

)A． B． C． D．2．(2023·高一单元测试)已知函数的定义域为,求实数的取值范围(

)A． B．C． D．3．(2023·江苏苏州·高一统考期中)已知函数，则的值为(

)A． B． C． D．4．(2023·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习)已知函数的定义域为，则函数的定义域为(

)A． B． C． D．5．(2023·全国·高一专题练习)下列函数中，值域是的是()A． B．，C．， D．6．(2023·高一课时练习)已知集合，其中，函数的定义域为A，值域为B，则a，k的值分别为(

)A．2，3 B．3，4 C．3，5 D．2，57．(2023·安徽芜湖·高一芜湖一中校考期中)定义：称为区间的长度，若函数的定义域与值域区间长度相等，则的值为(

)A． B． C．4或 D．与的取值有关8．(2023·山东青岛·高一青岛市即墨区第一中学校考期中)若函数的最大值为，最小值为，则(

)A．3 B．2 C．1 D．0.5二、多选题9．(2023·广东深圳·高一翠园中学校考期中)下列各组函数不是同一个函数的是(

)A．与B．与C．与D．与10．(2023·高一单元测试)下列集合不能用区间形式表示的是()A． B．C．或 D．11．(2023·安徽合肥·高一校考阶段练习)函数的图象如图，则(

)A．函数的定义域为 B．函数的值域为C． D．对于任意的，都有唯一的自变量x与之对应12．(2023·高一课时练习)下面结论正确的是(

)A．若，则的最大值是B．函数的最小值是2