2024年江苏省常州市钟楼区北郊初级中学中考数学一模试卷

第1页（共1页）2024年江苏省常州市钟楼区北郊初级中学中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1．（2分）﹣5的绝对值是（）A． B．5 C．﹣5 D．﹣2．（2分）下列计算正确的是（）A．a3+a2＝a5 B．a3﹣a2＝a C．a3•a2＝a6 D．a3÷a2＝a3．（2分）若一个几何体的主视图、左视图、俯视图是半径相等的圆，则这个几何体是（）A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．正方体4．（2分）下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中属于中心对称图形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．（2分）直线a∥b，直角三角形如图放置，若∠1+∠A＝65°（）A．15° B．20° C．25° D．30°6．（2分）若点A（a，﹣1）与点B（2，b）关于y轴对称（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．27．（2分）分式的值，可以等于（）A．﹣1 B．0 C．1 D．28．（2分）如图，点A坐标为（﹣4，3），点B坐标为（0，4），若点C恰好落在x轴上，则点D到x轴的距离为（）A． B． C． D．二、填空题：（本大题共10小题，每小题2分，共20分）9．（2分）计算：（a2b）3＝．10．（2分）分解因式：4x2﹣4＝．11．（2分）如果分式有意义，那么x的取值范围是．12．（2分）如图所示，OA＝OB，数轴上点A表示的数是．13．（2分）如果圆锥的底面圆的半径是8，母线的长是15，那么这个圆锥侧面展开图的扇形的圆心角的度数是度．14．（2分）小明和爸爸妈妈三人玩跷跷板，三人的体重一共为150千克，爸爸坐在跷跷板的一端，这时爸爸那端仍然着地．那么小明的体重应小于千克．15．（2分）如图，在▱ABCD中，AD＝7，且AE＝4，则AB的长为.16．（2分）如图，每一个小方格的边长都相等，点A、B、C三点都在格点上．17．（2分）阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动地球．”（如图1）这句话形容杠杆的作用之大：只要有合适的工具和一个合适的支点（或像地球一样重的物体），他想知道这块球形石头的半径为多少，他找来一块棱长为20cm的正方体和长度为200cm的木棒，如图2，木棒和石头相切于点N，点M，A，E，F在一条直线上．若木棒与水平面的夹角∠BAF＝45°，则石头的半径为cm．（结果保留根号）18．（2分）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，得到△EFG，连接EC、GC．则EC+GC的最小值为.三、解答题（本大题共10小题，第19、20题每题6分，第21-25题每题8分，第26-27题每题10分，第28题12分，共84分）19．（6分）计算：．20．（6分）解不等式组：，并求出它的正整数解．21．（8分）小红家到学校有两条公共汽车线路．为了解两条线路的乘车所用时间，小红做了试验，第一周（5个工作日），第二周（5个工作日）选择B线路（单位：min）数据统计表实验序号12345678910A线路所用时间15321516341821143520B线路所用时间25292325272631283024根据以上信息解答下列问题：平均数中位数众数方差A线路所用时间22a1563.2B线路所用时间b26.5c6.36（1）填空：a＝；b＝；c＝；（2）应用你所学的统计知识，帮助小红分析如何选择乘车线路．22．（8分）现有长度分别为2，3，4的三条线段，小明想从三条线段中选出两条与长度为5的线段组成一个三角形．（1）请用画树状图（或列表）的方法，求小明选择的两条线段能与长度为5的线段组成一个三角形的概率．（2）小明将每个组成的三角形分别画在一张卡片上，将所有画有三角形的卡片洗匀然后背面朝上，从中任意抽取一张．23．（8分）如图，△ABD中，∠ABD＝∠ADB．（1）作点A关于BD的对称点C．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）所作的图中，连接BC，连接AC，交BD于点O．求证：四边形ABCD是菱形．24．（8分）某品牌画册每本成本为40元，当售价为60元时，平均每天的销售量为100本．为了吸引消费者，如果画册售价每降低1元时，那么平均每天就能多售出10本．商家想要使这种画册的销售利润平均每天达到2240元，求每本画册应降价多少元？25．（8分）如图，一次函数y＝﹣x+5的图象与反比例函数的图象交于点A（4，a）（1）求k的值；（2）点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，交反比例函数，若△POQ的面积为1，求点P的坐标．26．（10分）定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．如矩形OBCD中，点C为O，已知OD＝4，在DC上取点E（1）如果点E是O，B两点的勾股点（点E不在点C），试求OB的长；（2）如果OB＝12，分别以OB，OD为坐标轴建立如图2的直角坐标系（5，0）．在线段DC上取点P，过点P的直线l∥y轴①当点P在DE之间，以EF为直径的圆与直线l相切，试求t的值；②当直线l上恰好有2点是E，F两点的勾股点时，试求相应t的取值范围．27．（10分）【综合与实践】【问题背景】在四边形ABCD中，E是CD边上一点，延长BC至点F使得CF＝CE，延长BE交DF于点G．【特例感知】（1）如图1，若四边形ABCD是正方形时，①求证：△BCE≌△DCF；②当G是DF中点时，∠F＝度；【深入探究】（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，AB＝2，求CE的长；【拓展提升】（3）如图3，若四边形ABCD是矩形，AB＝3，点H在BE的延长线上，且满足BE＝5EH，请直接写出CE的长．28．（12分）如图1，抛物线L：y＝﹣x2+bx+c经过点A（0，1），对称轴为直线x＝1与x轴的交于点B．（1）求抛物线L的解析式；（2）点C在抛物线上，若△ABC的内心恰好在x轴上，求点C的坐标；（3）如图2，将抛物线L向上平移k（k＞0）个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴交于点M，过点M作y轴的垂线交抛物线L1于另一点N．P为线段OM上一点．若△PMN与△POB相似，并且符合条件的点P恰有2个，求k的值．

2024年江苏省常州市钟楼区北郊初级中学中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1．（2分）﹣5的绝对值是（）A． B．5 C．﹣5 D．﹣【解答】解：﹣5的绝对值是5，故选：B．2．（2分）下列计算正确的是（）A．a3+a2＝a5 B．a3﹣a2＝a C．a3•a2＝a6 D．a3÷a2＝a【解答】解：A、a3与a2不能进行合并，故该项不正确；B、a6与a2不能进行合并，故该项不正确；C、a3•a7＝a5，故该项不正确，不符合题意；D、a3÷a8＝a，故该项正确；故选：D．3．（2分）若一个几何体的主视图、左视图、俯视图是半径相等的圆，则这个几何体是（）A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．正方体【解答】解：主视图、俯视图和左视图都是圆的几何体是球．故选：C．4．（2分）下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中属于中心对称图形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：第一个图形是中心对称图形，第二个图形不是中心对称图形，第三个图形是中心对称图形，第四个图形不是中心对称图形，故选：B．5．（2分）直线a∥b，直角三角形如图放置，若∠1+∠A＝65°（）A．15° B．20° C．25° D．30°【解答】解：如图所示，∵∠BDE是△ADE的外角，∴∠BDE＝∠3+∠A＝∠1+∠A＝65°，∵a∥b，∴∠DBF＝∠BDE＝65°，又∵∠ABC＝90°，∴∠7＝180°﹣90°﹣65°＝25°．故选：C．6．（2分）若点A（a，﹣1）与点B（2，b）关于y轴对称（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．2【解答】解：∵点A（a，﹣1）与点B（2，∴a＝﹣7，b＝﹣1，∴a﹣b＝﹣2﹣（﹣4）＝﹣1，故选：A．7．（2分）分式的值，可以等于（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【解答】解：＝1+，当x＝2时，原式＝2，故选：D．8．（2分）如图，点A坐标为（﹣4，3），点B坐标为（0，4），若点C恰好落在x轴上，则点D到x轴的距离为（）A． B． C． D．【解答】解：设D到x轴距离为h，由旋转可知△OAB≌△OCD，∵A（﹣4，3），7），∴OB＝4，OA＝，，∴，∴；故选：B．二、填空题：（本大题共10小题，每小题2分，共20分）9．（2分）计算：（a2b）3＝a6b3．【解答】解：（a2b）3＝（a4）3b3＝a6b3．故答案为：a6b2．10．（2分）分解因式：4x2﹣4＝4（x+1）（x﹣1）．【解答】解：原式＝4（x2﹣5）＝4（x+1）（x﹣2）．故答案为：4（x+1）（x﹣8）．11．（2分）如果分式有意义，那么x的取值范围是x≠1．【解答】解：依题意得1﹣x≠0，解得x≠4．故答案为：x≠1．12．（2分）如图所示，OA＝OB，数轴上点A表示的数是﹣．【解答】解：OB＝＝．∵OA＝OB，∴OA＝．∴数轴上点A表示的数是：﹣．故答案为：﹣．13．（2分）如果圆锥的底面圆的半径是8，母线的长是15，那么这个圆锥侧面展开图的扇形的圆心角的度数是192度．【解答】解：圆锥底面周长＝2×8π＝16π，∴扇形的圆心角的度数＝圆锥底面周长×180÷15π＝192°．故本题答案为：192°．14．（2分）小明和爸爸妈妈三人玩跷跷板，三人的体重一共为150千克，爸爸坐在跷跷板的一端，这时爸爸那端仍然着地．那么小明的体重应小于25千克．【解答】解：设小明体重为x，由体重只有妈妈一半的小明得：妈妈体重为2x．由三人体重一共为150kg得：爸爸的体重为：150﹣2x﹣x＝150﹣6x．由爸爸坐在跷跷板一端，体重只有妈妈一半的小明和妈妈同坐在跷跷板的另一端，爸爸的那一端仍然着地得：150﹣3x＞x+2x，8x＜150，x＜25．故小明的体重应＜25kg．故答案为：25．15．（2分）如图，在▱ABCD中，AD＝7，且AE＝4，则AB的长为3.【解答】解：∵在▱ABCD中，CE平分∠BCD交AD于点E，∴∠DEC＝∠ECB，∠DCE＝∠BCE，∴∠DEC＝∠DCE，∴DE＝DC＝AB，∵AD＝7，AE＝4，∴DE＝DC＝AB＝5．故答案为：3．16．（2分）如图，每一个小方格的边长都相等，点A、B、C三点都在格点上．【解答】解：连接CH，由图可知∠CHA＝90°，设小方格的边长为a，则AH＝a，CH＝a，故tan∠BAC＝＝＝，故答案为：．17．（2分）阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动地球．”（如图1）这句话形容杠杆的作用之大：只要有合适的工具和一个合适的支点（或像地球一样重的物体），他想知道这块球形石头的半径为多少，他找来一块棱长为20cm的正方体和长度为200cm的木棒，如图2，木棒和石头相切于点N，点M，A，E，F在一条直线上．若木棒与水平面的夹角∠BAF＝45°，则石头的半径为（20+10）cm．（结果保留根号）【解答】解：如图，过点N作NG⊥OM于点G，∵NH⊥AF，CE⊥AF，∴NH∥CE，∵点N为AC的中点，∴NH是△ACE的中位线，∴NH＝CE＝10cm，∵∠NGM＝∠GMH＝∠NHM＝90°，∴四边形GMHN是矩形，∴GM＝NH＝10cm，由（1）知∠MON＝∠BAF＝45°，∴△OGN是等腰直角三角形，∴OG＝GN，ON＝，设石头的半径为rcm，则OG＝GN＝（r﹣10）cm，∵ON＝OG，∴r＝（r﹣10），解得r＝20+10，∴石头的半径为（20+10）cm．故答案为：18．（2分）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，得到△EFG，连接EC、GC．则EC+GC的最小值为2.【解答】解：在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AB＝CD＝2，∠ABD＝30°，∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△EGF，∴EG＝AB＝2，EG∥AB，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAD＝120°，∴EG＝CD，EG∥CD，连接ED，∴四边形EGCD是平行四边形，∴ED＝GC，∴EC+GC的最小值＝EC+ED的最小值，∵点E在过点A且平行于BD的定直线上，∴作点D关于定直线的对称点M，连接CM交定直线于E，则CM的长度即为EC+DE的最小值，∵∠EAD＝∠ADB＝30°，AD＝2，∴∠ADM＝60°，DH＝MH＝，∴DM＝2，∴DM＝CD，∵∠CDM＝∠MDG+∠CDB＝90°+30°＝120°，∴∠M＝∠DCM＝30°，∴CM＝2×CD＝2．故答案为：2．三、解答题（本大题共10小题，第19、20题每题6分，第21-25题每题8分，第26-27题每题10分，第28题12分，共84分）19．（6分）计算：．【解答】解：＝2﹣2﹣4×+＝7﹣2﹣8+＝3+．20．（6分）解不等式组：，并求出它的正整数解．【解答】解：，解不等式①得：x≤3，解不等式②得：x＜14，所以不等式组的解集为x≤5，则不等式组的正整数解为1，7，3，4，8．21．（8分）小红家到学校有两条公共汽车线路．为了解两条线路的乘车所用时间，小红做了试验，第一周（5个工作日），第二周（5个工作日）选择B线路（单位：min）数据统计表实验序号12345678910A线路所用时间15321516341821143520B线路所用时间25292325272631283024根据以上信息解答下列问题：平均数中位数众数方差A线路所用时间22a1563.2B线路所用时间b26.5c6.36（1）填空：a＝19；b＝26.8；c＝25；（2）应用你所学的统计知识，帮助小红分析如何选择乘车线路．【解答】解：（1）求中位数a首先要先排序，从小到大顺序为：14，15，16，20，32，35，中位数在第5和6个数为18和20，所以中位数为＝19，求平均数b＝＝26.8，众数c＝25，故答案为：19，26.8．（2）小红统计的选择A线路平均数为22，选择B线路平均数为26.5．而方差63.2＞6.36，所以选择B路线更优．22．（8分）现有长度分别为2，3，4的三条线段，小明想从三条线段中选出两条与长度为5的线段组成一个三角形．（1）请用画树状图（或列表）的方法，求小明选择的两条线段能与长度为5的线段组成一个三角形的概率．（2）小明将每个组成的三角形分别画在一张卡片上，将所有画有三角形的卡片洗匀然后背面朝上，从中任意抽取一张．【解答】解：（1）列表如下：2352（3，4）（4，2）7（2，3）（7，3）4（3，4）（3，7）由表知，共有6种等可能结果，所以小明选择的两条线段能与长度为5的线段组成一个三角形的概率为＝；（2）由题意知，将每个组成的三角形画在一张卡片上有（2，4、（6，4，抽取的卡牌恰好画有直角三角形的有1种结果，所以抽取的卡牌恰好画有直角三角形的概率为，故答案为：．23．（8分）如图，△ABD中，∠ABD＝∠ADB．（1）作点A关于BD的对称点C．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）所作的图中，连接BC，连接AC，交BD于点O．求证：四边形ABCD是菱形．【解答】（1）解：如图所示，点C即为所求作的点．（2）证明：∵∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∵点C是点A关于BD的对称点，∴BD垂直平分AC，∴CB＝AB，CD＝AD，∴AB＝BC＝CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形．24．（8分）某品牌画册每本成本为40元，当售价为60元时，平均每天的销售量为100本．为了吸引消费者，如果画册售价每降低1元时，那么平均每天就能多售出10本．商家想要使这种画册的销售利润平均每天达到2240元，求每本画册应降价多少元？【解答】解：设每本画册应降价x元，则每本画册的销售利润为（60﹣x﹣40）元，根据题意得：（60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240，整理得：x2﹣10x+24＝0，解得：x3＝4，x2＝4，当x＝4时，60﹣x＝60﹣4＝56＞55；当x＝5时，60﹣x＝60﹣6＝54＜55，舍去．答：每本画册应降价4元．25．（8分）如图，一次函数y＝﹣x+5的图象与反比例函数的图象交于点A（4，a）（1）求k的值；（2）点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，交反比例函数，若△POQ的面积为1，求点P的坐标．【解答】解：（1）∵点A（4，a）在一次函数y＝﹣x+5的图象上，∴a＝﹣5+5＝1，∴A（5，1），∵A（4，7）在反比例函数y＝上，∴k＝4．（2）由（1）可知反比例函数解析式为y＝，联立方程组，解得，，∴A（2，1），4），设点P坐标为（m，﹣m+7）1≤m≤4，），∴PQ＝﹣m+5﹣，∵△POQ的面积为5，∴＝1，整理得：m7﹣5m+6＝6解得m＝2或m＝3，∴P点坐标为（5，3）或（3．26．（10分）定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．如矩形OBCD中，点C为O，已知OD＝4，在DC上取点E（1）如果点E是O，B两点的勾股点（点E不在点C），试求OB的长；（2）如果OB＝12，分别以OB，OD为坐标轴建立如图2的直角坐标系（5，0）．在线段DC上取点P，过点P的直线l∥y轴①当点P在DE之间，以EF为直径的圆与直线l相切，试求t的值；②当直线l上恰好有2点是E，F两点的勾股点时，试求相应t的取值范围．【解答】解：（1）如图1，连接OE，若点E是O，B两点的勾股点，则∠OEB＝90°，∴∠OED+∠CEB＝90°，∵∠OED+∠DOE＝90°，∴∠DOE＝∠CEB，又∵∠C＝∠ODE，∴△BCE∽△EDO，∴＝，即＝，∴CE＝2，∴OB＝DE＝8+2＝10；（2）①如图2﹣4，设以EF为直径的圆的圆心为Q，直线l与OB的交点为H，则∠FME＝90°，QM⊥PH，∴∠HMF+∠PME＝90°，∵∠PME+∠PEM＝90°，∴∠HMF＝∠PEM，又∵∠MHF＝∠EPM＝90°，∴△MHF∽△EPM，∴＝，∵QM⊥PH，l∥y轴，∴HF∥MQ∥PE，∴＝，∵FQ＝QE，∴HM＝MP＝2，又∵DP＝OH＝t，DE＝8，∴HF＝5﹣t，PE＝8﹣t，∴＝，解得，t8＝4，t2＝3（点P在DE之间，舍去），∴t＝4；②如图2﹣6，当直线l在⊙Q的右侧与⊙Q相切时，由①知△MHF∽△EPM，∴＝，此时，HM＝MP＝2，PE＝t﹣8，∴＝，解得，t1＝4，t4＝9，∴当t＝4或5时直线l与⊙Q相切，∵点E，F以及直线l上的点均可为直角三角形的直角顶点，∴当直线l上恰好有2点是E，F两点的勾股点时．27．（10分）【综合与实践】【问题背景】在四边形ABCD中，E是CD边上一点，延长BC至点F使得CF＝CE，延长BE交DF于点G．【特例感知】（1）如图1，若四边形ABCD是正方形时，①求证：△BCE≌△DCF；②当G是DF中点时，∠F＝67.5度；【深入探究】（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，AB＝2，求CE的长；【拓展提升】（3）如图3，若四边形ABCD是矩形，AB＝3，点H在BE的延长线上，且满足BE＝5EH，请直接写出CE的长．【解答】（1）①证明：∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝∠DCF＝90°．在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（SAS）；②解：连接BD，如图，∵△BCE≌△DCF，∴∠CBE＝∠CDF，∵∠CBE+∠CEB＝90°，∠CEB＝∠GED，∴∠CDF+∠GED＝90°．∴∠DGE＝90°，∴BG⊥DF．∵G是DF中点，∴BG为DF的垂直平分线，∴BD＝BF，∴∠F＝∠BDF．∵四边形ABCD为正方形，∴∠DBC＝45°，∴∠F＝∠BDF＝＝67.5°．故答案为：67.6；（2）过点G作GH∥BC，交DC于点H，∵GH∥BC，G为DF的中点，∴GH为△DCF的中位线，∴GH＝CFCD＝1．设GH＝x，则CE＝CF＝6x，∴HE＝1﹣2x．∵GH∥BC，∴△GHE∽△BCE，∴，∴，∴x＝﹣1±（负数不合题意，∴x＝﹣6．∴CE＝2x＝﹣4+2．（3）CE的长为或或8∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝7，∴CE＜BC，∠BEC＞∠CBE．∴∠BEC＞45°，∵CE＝CF，∴∠CEF＝∠CFE＝45°，∴∠FEH＝180°﹣∠FEC﹣∠BEC＜90°．①当∠H＝90°时，如图，设CE＝CF＝m，则BF＝BC+CF＝m+4＝．∵BE＝5EH，∴BH＝BE＝．∵∠BCE＝∠H＝90°，∠EBC＝∠