2024北京延庆区高二（下）期末数学试题及答案

2024北京延庆高二（下）期末数学2024.07本试卷共6页，150分。考试时长分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）函数y2x在x=1处的导数值为=1（A）2ln2（C）1（B）2（D）2在区间2]上的平均变化率为（2）函数yx3+=2（A）3（C）7（B）5（D）9==n（3）已知数列n满足an12an，24，则数列a的前4项和等于（A）16（C）30（B）24（D）621（4）在(x−)6的展开式中，常数项为x（A）15−（B）15（C）30（D）（5）用0，2，34可以组成无重复数字的两位数的个数为（A）20（C）15（B）25（D）16（6）曲线y=x在x=0处的切线方程为（A）y=0（B）y=1（C）y=x（D）y=1第1页/共页（7）已知函数f(x)x3+ax=xa2++R)有两个极值点x(xx)，，则212x1（B）（D）x是f(x)的极小值点（A）a−3或a3111（C）12+=xx=−1233（8）设a,a,a,是2,3,的一个排列.且满足|1a||a3≥−−26|，≥≥1232则|12||23|−+−+6|的最大值是（A）17（B）15（D）11（C）13（9）设an}是公比为q(qSn的无穷等比数列，为其前项和，a0.1q0则“”n是“Sn存在最小值”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件=−（10）已知数列n满足，nN*，a4n−3==1，4n11，2nn，该数列的前n项和为S，则下列论断中错误的是n．．（A）31=1（B）a=−12024（C）非零常数T，使得an+Tn=（D）nN*，都有S2n=2第二部分（非选择题共110）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（）2023年起延庆区将利用三年时间重点打造“延庆东南山·九沟十八湾”乡村振兴品牌，旨在借助延庆区东南部浅山区和山区的沟域空间结构、功能布局及秀美山水，构建9条各具特色的生态沟域廊道、18条生态沟域农文体康旅体验湾，全面推动延庆区乡村振兴，打造新时代首都生态沟域绿色发展新典范.小明打算从九沟十八湾中选出一沟一湾去旅游，则不同的选法有_________种．（12）已知函数f(x)=x(a0且a，若f1，则a==_________．a13x3−4x+4，则f(x)在区间[上的最大值为_________．（13）已知函数f(x)==13=（14）已知数列n是各项均为正数的等比数列，S为其前n项和，aa16，S314，n则2=_________；记T=aa(n=)，若存在nN0*使得n最大，n12则n0的值为_________.（15）已知数列{n}的各项均为正数，满足an1=2+a，其中常数cR.给出下列四个判断：nn第2页/共页1n+1①若11，c0，则=an（n）；1n+1②若c=−1，则an（n）；③若c=1，an（n），则a1；1n④11，不存在实数，使得an（n）.n=c其中所有正确判断的序号是_________．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（1614分）求下列函数的导函数.log2x2x（Ⅰ）f(x)=x2ex；（Ⅱ）f(x)=；sinx（Ⅲ）f(x)=；（IV）f(x)2x).=−1+cosx（1713分）为了解客户对,B两家快递公司的配送时效和服务满意度情况，现随机获得了某地区客户对这两家快递公司评价的调查问卷.已知,B两家公司的调查问卷分别有份和80份，全部数据统计如下：快递公司项目份数85≤x≤95A快递公司B快递公司配送时效服务满意度配送时效服务满意度评价分数29474424564016402412482075≤x8565≤x75假设客户对,B两家快递公司的评价相互独立.用频率估计概率.（Ⅰ）从该地区选择A快递公司的客户中随机抽取1人，估计该客户对A快递公司配送时效的评价不低于75分的概率；（Ⅱ）分别从该地区A和B快递公司的样本调查问卷中，各随机抽取1份，记X为这2份问卷中的服务满意度评价不低于75分的份数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）记评价分数x85为“优秀”等级，75x85为“良好”等级，65≤x75为“一般”等级.已知≥≤小王比较看重配送时效的等级，根据该地区,B两家快递公司配送时效的样本评价分数的等级情况，你认为小王选择,B哪家快递公司合适？说明理由.（1813分）某学校开展健步走活动，要求学校教职员工上传月4月日的步数信息．教师甲、乙这七天的步数情况如图1第3页/共页（Ⅰ）从月4日至月10日中随机选取一天，求这一天甲比乙的步数多的概率；（Ⅱ）从月4日至月10日中随机选取三天，记乙的步数不少于20000的天数为X，求X的分布列及数学期望；（Ⅲ）根据月4日至月10日某一天的数据制作的全校800名教职员工步数的频率分布直方图如图2所示．已知这一天甲与乙的步数在全校800名教职员工中从多到少的排名分别为第501221（1915分）x2y2已知椭圆E:+=ab0)的焦距为42，以椭圆E的四个顶点为顶点的四边形的周长为a2b216．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）过点S(0,1)的直线l交椭圆E于P,Q两点，线段PQ的中点为M．是否存在定点D，使得|DM||PQ|12=？若存在，求出D的坐标；若不存在，请说明理由．第4页/共页（20）（本小题15分）mf(x)=+ln(x−mR．已知函数，其中(2,f(2))处的切线方程；−2(x（Ⅰ）当m1时，求曲线=y=f(x)在点f(x)(2,+)在m上存在极值，求实数的取值范围；（Ⅱ）若（Ⅲ）求f(x)的零点个数．（2115分）≥．其各项均为整数，且任意两项均不相等(m3)有穷数列a共有m项.n(=bii1．i=ii1i−(=，b≤i（Ⅰ）若：，1，．求的取值范围；anaa3354（Ⅱ）若m5，当=ai取最小值时，求b的最大值；ii1i1m1()，1≤a≤mi=mk=m+1，求m的所有可能取值．（Ⅲ）若ik1第5页/共页参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）A（6）D（2）C（7）A（3）C（8）B（4）B（9）A（5）D（10）C二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）16212）e13）3（14）4，3或4（注：第一空2分，第二空3分）（15）②③（注：对一个3分，对2个5分）三、解答题（共6小题，共85分）（16(14分)=ex+x2ex=(2x+x2)ex（Ⅰ）解：f(x)2x………3分−log2x2112x−log2x2x2x2x2==（Ⅱ）解：f(x)………6分(2x)22xx+x)−sinx(−sinx)+x)2=（Ⅲ）解:f(x)x+cos2x+sin2x+x)21+x+x)21+x1===………10分11−21−2x=（IV）解：f(x)−2x=(−2)=………分1−2x1−2x（1713分）（Ⅰ）根据题中数据，该地区参与A快递公司调查的问卷共120份，样本中对A快递公司配送时效的评价不低于75分的问卷共29+47=767619所以样本中对A快递公司配送时效的评价不低于75分的频率为=，12030估计该地区客户对A快递公司配送时效的评价不低于75分的概率………3分X0,1,24分（Ⅱ）的所有可能取值为．记事件C“从该地区A快递公司的样本调查问卷中随机抽取1份，该份问卷中的服务满意度评价不低于75分”，事件D为“从该地区B快递公司的样本调查问卷中随机抽取1份，该份问卷中的服务满意度评价不低于75．由题设知，事件C,D相互独立，且第6页/共页+231248+34()=PC=()=，PD=，………5分8011==1(=0)=PCD)PX………6分则341213215PX1PCDCD)=+==)=(7分34341223==1(=2)=PCD)PX………8分342所以X的分布列为：2X011512P………9分15117所以E(X)=0+1+2=.………分1212212（Ⅲ）答案不唯一．答案示例：小王选择A快递公司合适，理由如下：29根据样本数据，估计A快递公司配送时效评价为“优秀”的概率是，估计B快递公司配送时效评价为12012915“优秀”的概率是，因为，故小王选择A快递公司合适．5120答案示例2：小王选择B快递公司合适，理由如下：由（Ⅰ）知，估计A快递公司配送时效评价为良好”以上的概率是；由样本数据可知，估计B快递16+40567197公司配送时效评价为良好”以上的概率是合适．………13分==，因为，故小王选择B快递公司8080103010（18(13分)A（Ⅰ）设“甲比乙的步数多”为事件．在月4月日这七天中，月5月9日这两天甲比乙步数多，2所以P()=．………3分7（Ⅱ）由图可知，7天中乙的步数不少于20000步的天数共2天．X的所有可能取值为2………4分第7页/共页302112CC2CC4CC17P(X=0)=52=,P(X==52=,P(X=2)=532=377377CCC7………7分所以X的分布列为XP012241777………8分241767E(X)=0+1+2=………10分………13分77（Ⅲ）月6日．（1915分）4a2+b2=22=a12,（Ⅰ）由题意得2c=42,解得b=4.a2=b2+c.2x2y2所以椭圆E的方程为+=1．………………5分12412=，等价于以为直径的圆恒过定点D．（Ⅱ）若存在定点D，使得当直线l的斜率不存在时，为直径的圆的方程为x2+y=4①，………6分2当直线l的斜率为0y=1，得x=3，7分因此为直径的圆的方程为x2+(y−)=9②．2x=y=(−)2联立①②得D猜测点的坐标为．………8分设直线l的方程为y=+1，y=+得k+1x)+6−9=0．………9分由x2222y+=4()()，则设Px,y,Qx,y11226k9x+x=−,xx=−．分122+122+1k1k=(1,1+2)(x2,y22+)所以12分第8页/共页==xxy2y22+(+)(+)1+(1+)(+)32312xx12=k+)xx+k(x+x+9()22………14分12196k()=k2+1−+k−+9k2+1k2+1=．1(−)=综上，存在定点D2，使得．………15分2（2015分）1f(x)=+ln(x−，（Ⅰ）当m=1时，−2(x−21()=+fx则，………1分(x−3x−1故()=−+=−1，f(2)=1，2分f221y=f(x)(2,f(2))−2m−=−(−)y1x2y=−x+3，即………在点处的切线方程为3分12m+(x−2()=+=fx4分（Ⅱ），(x−3x−1(x−3当m0时，()()在单调递增，此时无极值点，………5分fxfx(2,)当m0时，−2m+(x−2()=fx=x=1+2mx=1−2m0………6分令或，(x−3(2,+)要使得f(x)在上存在极值，12m（+）2m2，解得7则需要x=1+分mf(x)=+ln(x−=0m=−(x−22ln(x−（Ⅲ）令，(x−m=t令tx−10，则=2t，………8分gt=tt，则记()2gtttt()=−−=−(+)t2lnt1，………9分12()()当te−gtgt10分时，单调递减，121−1()()ge=−gtgt………分当时，单调递增，且，0te22egt)0，当t1时，()=−e=2时，gte2=−42e40，………而当t分第9页/共页作出()的大致图象如下：gt1m1314故当时，无零点，………分分2e1m=m0时，一个零点，当当或2e10m15分时，两个零点，2e.注：学生如果用其他方法，按步骤给分（21）(15分）b|0−1|=1b|1−a||1−311−3−11−31或，（Ⅰ）由题设，则3，即12a2a0a0a1所以或，任意两项均不相等，故、3，333aa(−,0)3aZ且3………4分故的取值范围；35（Ⅱ）由{an}各项均为整数，任意两项均不相等，要使i最小，即i尽量小，i15(i)min=0+1+1+2+2n}中的前5项为−−256则，故，………分分i141223344bi|a−a|+|a−a|+|a−a|+|a−a|要使最大，即最大，………5i1bb|a−a|a−a|a−a|a−a|而，则ii112233445a4−aa−a=4a−a=4，所以4尽可能大，所以5455a=2a=−25=244或所以，5=−2不妨令5