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文档简介
2025届江苏省南京师大附中数学九上期末学业水平测试试题考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每小题3分,共30分)1.如图,在莲花山滑雪场滑雪,需从山脚下乘缆车上山,缆车索道与水平线所成的角为,缆车速度为每分钟米,从山脚下到达山顶缆车需要分钟,则山的高度为()米.A. B.C. D.2.在下列四个函数中,当时,随的增大而减小的函数是()A. B. C. D.3.如图,Rt△ABC中,AB=9,BC=6,∠B=90°,将△ABC折叠,使A点与BC的中点D重合,折痕为PQ,则△PQD的面积为()A. B. C. D.4.如图所示,已知为的直径,直线为圆的一条切线,在圆周上有一点,且使得,连接,则的大小为()A. B. C. D.5.如图,A、B、C是⊙O上互不重合的三点,若∠CAO=∠CBO=20°,则∠AOB的度数为()A.50° B.60° C.70° D.80°6.下列函数中,函数值随自变量x的值增大而增大的是()A. B. C. D.7.如图,点A的坐标为(0,1),点B是x轴正半轴上的一动点,以AB为边作等腰Rt△ABC,使∠BAC=90°,设点B的横坐标为x,设点C的纵坐标为y,能表示y与x的函数关系的图象大致是()A. B. C. D.8.若正方形的外接圆半径为2,则其内切圆半径为()A.2 B. C. D.19.如图①,在矩形中,,对角线相交于点,动点由点出发,沿向点运动.设点的运动路程为,的面积为,与的函数关系图象如图②所示,则边的长为().A.3 B.4 C.5 D.610.如图,菱形ABCD中,∠B=70°,AB=3,以AD为直径的⊙O交CD于点E,则弧DE的长为()A.π B.π C.π D.π二、填空题(每小题3分,共24分)11.在比例尺为1:40000的地图上,某条道路的长为7cm,则该道路的实际长度是_____km.12.如图,点是反比例函数图象上的两点,轴于点,轴于点,作轴于点,轴于点,连结,记的面积为,的面积为,则___________(填“>”或“<”或“=”)13.函数是关于的二次函数,且抛物线的开口向上,则的值为____________.14.如图,△ABC是不等边三角形,DE=BC,以D,E为两个顶点作位置不同的三角形,使所作的三角形与△ABC全等,这样的三角形最多可以画出______个.15.若,,,则的度数为__________16.已知△ABC与△DEF是两个位似图形,它们的位似比为,若,那么________17.一个口袋中装有10个红球和若干个黄球.在不允许将球倒出来数的前提下,为估计口袋中黄球的个数,小明采用了如下的方法:每次先从口袋中摸出10个球,求出其中红球数与10的比值,再把球放回口袋中摇匀.不断重复上述过程20次,得到红球数与10的比值的平均数为0.1.根据上述数据,估计口袋中大约有_______个黄球18.如图,E,F分别为矩形ABCD的边AD,BC的中点,且矩形ABCD与矩形EABF相似,AB=1,则BC的长为_____.三、解答题(共66分)19.(10分)如图,在中,点在边上,且,已知,.(1)求的度数;(2)我们把有一个内角等于的等腰三角形称为黄金三角形.它的腰长与底边长的比(或者底边长与腰长的比)等于黄金比.①写出图中所有的黄金三角形,选一个说明理由;②求的长.20.(6分)为了满足师生的阅读需求,某校图书馆的藏书从2016年底到2018年底两年内由5万册增加到7.2万册.(1)求这两年藏书的年均增长率;(2)经统计知:中外古典名著的册数在2016年底仅占当时藏书总量的5.6%,在这两年新增加的图书中,中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率,那么到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几?21.(6分)某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果.经市场调研发现:若每箱以50元的价格销售,平均每天销售90箱;价格每提高1元,则平均每天少销售3箱.设每箱的销售价为x元(x>50),平均每天的销售量为y箱,该批发商平均每天的销售利润w元.(1)y与x之间的函数解析式为__________;(2)求w与x之间的函数解析式;(3)当x为多少元时,可以获得最大利润?最大利润是多少?22.(8分)组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队都要比赛一场.根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,则比赛组织者应邀请多少个队参赛?23.(8分)如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和B(3,0),与y轴交于点C(0,3).(1)求抛物线的解析式;(2)若点M是抛物线上在x轴下方的动点,过M作MN∥y轴交直线BC于点N,求线段MN的最大值;(3)E是抛物线对称轴上一点,F是抛物线上一点,是否存在以A,B,E,F为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点F的坐标;若不存在,请说明理由.24.(8分)如图,已知,在直角坐标系中,直线与轴、轴分别交于点,点从A点开始以1个单位/秒的速度沿轴向右移动,点从点开始以2个单位/秒的速度沿轴向上移动,如果两点同时出发,经过几秒钟,能使的面积为8个平方单位.
25.(10分)解方程:
26.(10分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°.在斜边AB上取一点D,使CD=CB,圆心在AC上的⊙O过A、D两点,交AC于点E.(1)求证:CD是⊙O的切线;(2)若,且AE=2,求CE的长.
参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、C【分析】在中,利用∠BAC的正弦解答即可.【详解】解:在中,,,(米),∵,(米).故选.【点睛】本题考查了三角函数的应用,属于基础题型,熟练掌握三角函数的定义是解题的关键.2、B【分析】分别根据正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数的性质逐项判断即得答案.【详解】解:A、,当时,函数是随着增大而增大,故本选项错误;B、,当时,函数是随着增大而减小,故本选项正确;C、,∴当时,函数是y随着增大而增大,故本选项错误;D、函数,当时,随着增大而减小,当时,随着增大而增大,故本选项错误.故选:B.【点睛】本题考查了初中阶段三类常见函数的性质,属于基础题型,熟练掌握一次函数、反比例函数和二次函数的性质是解题的关键.3、D【分析】由折叠的性质可得AQ=QD,AP=PD,由勾股定理可求AQ的长,由锐角三角函数分别求出AP,HQ的长,即可求解.【详解】解:过点D作DN⊥AC于N,∵点D是BC中点,∴BD=3,∵将△ABC折叠,∴AQ=QD,AP=PD,∵AB=9,BC=6,∠B=90°,∴AC=,∵sin∠C==,∴DN=,∵cos∠C=,∴CN=,∴AN=,∵PD2=PN2+DN2,∴AP2=(﹣AP)2+,∴AP=,∵QD2=DB2+QB2,∴AQ2=(9﹣AQ)2+9,∴AQ=5,∵sin∠A==,∴HQ==∵∴△PQD的面积=△APQ的面积=××=,故选:D.【点睛】本题考查了翻折变换,勾股定理,三角形面积公式,锐角三角函数,求出HQ的长是本题的关键.4、C【分析】连接OB,由题意可知,△COB是等边三角形,即可求得∠C,再由三角形内角和求得∠BAC,最后根据切线的性质和余角的定义解答即可.【详解】解:如图:连接OB∵为的直径∴∠ACB=90°又∵AO=OC∴OB=AC=OC∴OC=OB=BC∴△COB是等边三角形∴∠C=60°∴∠BAC=90°-∠C=30°又∵直线为圆的一条切线∴∠CAP=90°∴=∠CAP-∠BAC=60°故答案为C.【点睛】本题主要考查了圆的性质、等边三角形以及切线的性质等知识点,根据题意说明△COB是等边三角形是解答本题的关键.5、D【分析】连接CO并延长交⊙O于点D,根据等腰三角形的性质,得∠CAO=∠ACO,∠CBO=∠BCO,结合三角形外角的性质,即可求解.【详解】连接CO并延长交⊙O于点D,∵∠CAO=∠ACO,∠CBO=∠BCO,∴∠CAO=∠ACO=∠CBO=∠BCO=20°,∴∠AOD=∠CAO+∠ACO=40°,∠BOD=∠CBO+∠BCO=40°,∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=80°.故选D.【点睛】本题主要考查圆的基本性质,三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质,添加和数的辅助线,是解题的关键.6、A【解析】一次函数当时,函数值总是随自变量的增大而增大,反比例函数当时,在每一个象限内,随自变量增大而增大.【详解】、该函数图象是直线,位于第一、三象限,随增大而增大,故本选项正确;、该函数图象是直线,位于第二、四象限,随增大而减小,故本选项错误;、该函数图象是双曲线,位于第一、三象限,在每一象限内,随增大而减小,故本选项错误;、该函数图象是双曲线,位于第二、四象限,在每一象限内,随增大而增大,故本选项错误.故选:.【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数的增减性;熟练掌握一次函数、反比例函数的性质是关键.7、A【分析】根据题意作出合适的辅助线,可以先证明△ADC和△AOB的关系,即可建立y与x的函数关系,从而可以得到哪个选项是正确的.【详解】作AD∥x轴,作CD⊥AD于点D,如图所示,由已知可得,OB=x,OA=1,∠AOB=90°,∠BAC=90°,AB=AC,点C的纵坐标是y,∵AD∥x轴,∴∠DAO+∠AOD=180°,∴∠DAO=90°,∴∠OAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC=90°,∴∠OAB=∠DAC,在△OAB和△DAC中,,∴△OAB≌△DAC(AAS),∴OB=CD,∴CD=x,∵点C到x轴的距离为y,点D到x轴的距离等于点A到x的距离1,∴y=x+1(x>0).考点:动点问题的函数图象8、B【解析】试题解析:如图所示,连接OA、OE,∵AB是小圆的切线,∴OE⊥AB,∵四边形ABCD是正方形,∴AE=OE,∴△AOE是等腰直角三角形,故选B.9、B【分析】当点在上运动时,面积逐渐增大,当点到达点时,结合图象可得面积最大为1,得到与的积为12;当点在上运动时,面积逐渐减小,当点到达点时,面积为0,此时结合图象可知点运动路径长为7,得到与的和为7,构造关于的一元二方程可求解.【详解】解:当点在上运动时,面积逐渐增大,当点到达点时,面积最大为1.∴,即.当点在上运动时,面积逐渐减小,当点到达点时,面积为0,此时结合图象可知点运动路径长为7,∴.则,代入,得,解得或1,因为,即,所以.故选B.【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象,解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程,找到分界点极值,结合图象得到相关线段的具体数值.10、A【分析】连接OE,由菱形的性质得出∠D=∠B=70°,AD=AB=3,得出OA=OD=1.5,由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DOE=40°,再由弧长公式即可得出答案.【详解】连接OE,如图所示:∵四边形ABCD是菱形,∴∠D=∠B=70°,AD=AB=3,∴OA=OD=1.5,∵OD=OE,∴∠OED=∠D=70°,∴∠DOE=180°﹣2×70°=40°,∴的长=.故选:A.【点睛】此题考查菱形的性质、弧长计算,根据菱形得到需要的边长及角度即可代入公式计算弧长.二、填空题(每小题3分,共24分)11、2.1【解析】试题分析:设这条道路的实际长度为x,则:,解得x=210000cm=2.1km,∴这条道路的实际长度为2.1km.故答案为2.1.考点:比例线段.12、=【分析】连接OP、OQ,根据反比例函数的几何意义,得到,由OM=AP,OB=NQ,得到,即可得到.【详解】解:如图,连接OP、OQ,则∵点P、点Q在反比例函数的图像上,∴,∵四边形OMPA、ONQB是矩形,∴OM=AP,OB=NQ,∵,,∴,∴,∴;故答案为:=.【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义,解题的关键是熟练掌握反比例函数的几何意义判断面积相等.13、【分析】由题意根据题意列出关于m的不等式组,求出m的值即可.【详解】解:∵函数是关于x的二次函数,且抛物线的开口向上,∴,解得m=-1.故答案为-1.【点睛】本题考查的是二次函数的定义,熟知一般地形如y=ax1+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数是解答此题的关键.14、4【解析】试题分析:如图,能画4个,分别是:以D为圆心,AB为半径画圆;以C为圆心,CA为半径画圆.两圆相交于两点(DE上下各一个),分别于D、E连接后,可得到两个三角形;以D为圆心,AC为半径画圆;以E为圆心,AB为半径画圆.两圆相交于两点(DE上下各一个),分别于D、E连接后,可得到两个三角形.因此最多能画出4个考点:作图题.15、【分析】先根据三角形相似求,再根据三角形内角和计算出的度数.【详解】解:如图:∵∠A=50°,,
∴∵,
∴
故答案为.【点睛】本题考查了相似三角形的性质:相似三角形的对应角相等.16、1【分析】由题意直接利用位似图形的性质,进行分析计算即可得出答案.【详解】解:∵△ABC与△DEF是两个位似图形,它们的位似比为,∴△DEF的面积是△ABC的面积的4倍,∵S△ABC=10,∴S△DEF=1.故答案为:1.【点睛】本题主要考查位似变换,熟练掌握位似图形的面积比是位似比的平方比是解题的关键.17、2【详解】解:∵小明通过多次摸球实验后发现其中摸到红色球的频率稳定在0.1,设黄球有x个,∴0.1(x+10)=10,解得x=2.答:口袋中黄色球的个数很可能是2个.18、【分析】根据相似多边形的性质列出比例式,计算即可.【详解】∵矩形ABCD与矩形EABF相似,∴=,即=,解得,AD=,∴矩形ABCD的面积=AB•AD=,故答案为:.【点睛】本题考查了相似多边形的性质,掌握相似多边形的对应边的比相等是解题的关键.三、解答题(共66分)19、(1);(2)①有三个:,理由见解析;②.【分析】(1)设,根据题意得到,由三角形的外角性质,即可求出x的值,从而得到答案;(2)①根据黄金三角形的定义,即可得到答案;②由①可知,是黄金三角形,则根据比例关系,求出,然后求出AD的长度.【详解】解:(1),则,设,则,又,,,解得:,;(2)①有三个:是黄金三角形;或,是黄金三角形;或,,又,,,是黄金三角形;②∵是黄金三角形,,,,,.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及黄金三角形的定义,三角形的内角和定理以及三角形的外角性质,解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质,三角形的外角性质.20、(1)这两年藏书的年均增长率是20%;(2)到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%.【分析】(1)根据题意可以列出相应的一元二次方程,从而可以得到这两年藏书的年均增长率;(2)根据题意可以求出这两年新增加的中外古典名著,从而可以求得到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几.【详解】解:(1)设这两年藏书的年均增长率是,,解得,,(舍去),答:这两年藏书的年均增长率是20%;(2)在这两年新增加的图书中,中外古典名著有(万册),到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分比是:,答:到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%.【点睛】本题考查一元二次方程的应用,解答本题的关键是明确题意,列出相应的方程,利用方程的知识解答,这是一道典型的增长率问题.21、(1);(2)w=;(3)当x为60元时,可以获得最大利润,最大利润是1元【分析】(1)设每箱的销售价为x元(x>50),则价格提高了元,平均每天少销售箱,所以平均每天的销售量为,化简即可;(2)平均每天的销售利润每箱的销售利润平均每天的销售量,由此可得关系式;(3)当时(2)中的关于二次函数有最大值,将x的值代入解析式求出最大值即可.【详解】(1).(2)=.w=∴当时,w最大值=1.∴当x为60元时,可以获得最大利润,最大利润是1元.【点睛】本题考查了二次函数的实际应用,正确理解题意,根据题中等量关系列出函数关系式是解题的关键.22、比赛组织者应邀请8个队参赛.【解析】本题可设比赛组织者应邀请x队参赛,则每个队参加(x-1)场比赛,则共有场比赛,可以列出一个一元二次方程,求解,舍去小于0的值,即可得所求的结果.解:设比赛组织者应邀请个队参赛.依题意列方程得:,解之,得,.不合题意舍去,.答:比赛组织者应邀请8个队参赛.“点睛”本题是一元二次方程的求法,虽然不难求出x的值,但要注意舍去不合题意的解.23、(1)y=x2﹣4x+1;(2);(1)见解析.【分析】(1)利用待定系数法进行求解即可;(2)设点M的坐标为(m,m2﹣4m+1),求出直线BC的解析,根据MN∥y轴,得到点N的坐标为(m,﹣m+1),由抛物线的解析式求出对称轴,继而确定出1<m<1,用含m的式子表示出MN,继而利用二次函数的性质进行求解即可;(1)分AB为边或为对角线进行讨论即可求得.【详解】(1)将点B(1,0)、C(0,1)代入抛物线y=x2+bx+c中,得:,解得:,故抛物线的解析式为y=x2﹣4x+1;(2)设点M的坐标为(m,m2﹣4m+1),设直线BC的解析式为y=kx+1,把点B(1,0)代入y=kx+1中,得:0=1k+1,解得:k=﹣1,∴直线BC的解析式为y=﹣x+1,∵MN∥y轴,∴点N的坐标为(m,﹣m+1),∵抛物线的解析式为y=x2﹣4x+1=(x﹣2)2﹣1,∴抛物线的对称轴为x=2,∴点(1,0)在抛物线的图象上,∴1<m<1.∵线段MN=﹣m+1﹣(m2﹣4m+1)=﹣m2+1m=﹣(m﹣)2+,∴当m=时,线段MN取最大值,最大值为;(1)存在.点F的坐标为(2,﹣1)或(0,1)或(4,1).当以AB为对角线,如图1,∵四边形AFBE为平行四边形,EA=EB,∴四边形AFBE为菱形,∴点F也在对称轴上,即F点为抛物线的顶点,∴F点坐标为(2,﹣1);当以AB为边时,如图2,∵四边形AFBE为平行四边形,∴EF=AB=2,即F2E=2,F1E=2,∴F1的横坐标为0,F2的横坐标为4,对于y=x2﹣4x+1,当x=0时,y=1;当x=4时,y=16﹣16+1=1,∴F点坐标为(0,1)或(4,1),综上所述,F点坐标为(2,﹣1)或(0,1)或(4,1).【点睛】本题考查了二次函数的综合题,涉及了待定系数法,二次函数的性质,平行四边形的性质,菱形的判定等,综合性较强,有一定的难度,熟练掌握相关知识,正确进行分类讨论是解题的关键.24、2秒,4秒或秒【分析】首先求得直线与两坐标轴的
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