2024九年级数学下册 第28章 锐角三角函数28.2解直角三角形及其应用 2应用举例解直角三角形在实际中的一般应用教学设计（新版）新人教版

2024九年级数学下册第28章锐角三角函数28.2解直角三角形及其应用2应用举例（解直角三角形在实际中的一般应用教学设计（新版）新人教版授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间课程基本信息1.课程名称：锐角三角函数28.2解直角三角形及其应用

2.教学年级和班级：九年级

3.授课时间：第2课时

4.教学时数：45分钟

【教学目标】

1.让学生掌握解直角三角形的方法，并能运用到实际问题中。

2.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

【教学内容】

1.通过实例引入，回顾解直角三角形的方法。

2.分析实际应用问题，引导学生运用解直角三角形的知识解决问题。

3.总结解直角三角形的步骤和注意事项。

【教学过程】

一、导入（5分钟）

1.让学生回顾上节课学习的解直角三角形的内容，简要介绍解直角三角形在实际问题中的应用。

2.提问：解直角三角形的方法有哪些？它们在实际问题中有什么作用？

二、新课讲解（20分钟）

1.通过实例讲解，引导学生掌握以下知识点：

a.锐角三角函数的定义及互化关系；

b.解直角三角形的步骤和方法；

c.实际问题中如何运用解直角三角形的知识。

2.分析以下实际应用问题：

a.如何通过测量树的高度来计算树的影子长度？

b.如何通过测量两地之间的直线距离和角度，计算出实际距离？

三、课堂练习（15分钟）

1.让学生独立完成课本中的例题，巩固所学知识。

2.引导学生思考如何将解直角三角形的方法应用到其他实际问题中。

四、总结与拓展（5分钟）

1.让学生总结解直角三角形的步骤和注意事项。

2.提问：如何在实际问题中发现直角三角形，并运用解直角三角形的知识解决问题？

3.拓展：引导学生思考解直角三角形在其他学科领域的应用。

【课后作业】

1.完成课本中的练习题。

2.思考并举例说明解直角三角形在实际生活中的应用。

【教学反思】

本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学方法，以便更好地为下一节课的教学做好准备。核心素养目标1.数学抽象：使学生理解锐角三角函数的概念，掌握解直角三角形的原理，培养数学抽象思维。

2.逻辑推理：引导学生运用逻辑推理分析问题，学会从实际问题中抽象出数学模型，提高解题能力。

3.数学建模：培养学生将实际问题转化为数学问题的能力，通过解直角三角形解决实际问题，增强数学建模素养。

4.数学运算：加强学生对基本三角函数的计算和应用，提高数学运算能力。

5.数据分析：让学生在实际问题中学会收集、整理和分析数据，提高数据分析素养。

6.数学应用：培养学生将数学知识应用到实际生活中的意识，增强数学应用能力，体会数学在生活中的价值。教学难点与重点1.教学重点

（1）锐角三角函数的定义及其互化关系：强调正弦、余弦、正切函数的定义，以及它们之间的互化关系，这是解直角三角形的基础。

-举例：在直角三角形中，对于锐角α，正弦函数定义为对边比斜边，余弦函数定义为邻边比斜边，正切函数定义为对边比邻边。

（2）解直角三角形的步骤和方法：包括已知两边一角、已知一角两边等不同情况的解法。

-举例：已知直角三角形的斜边和一直角边，求另一直角边和锐角的大小。

（3）实际应用中解直角三角形的策略：如何从实际问题中抽象出直角三角形模型，并运用所学知识解决。

-举例：在测量建筑物高度、计算物体在斜面上的投影长度等实际问题中的应用。

2.教学难点

（1）锐角三角函数的记忆和理解：学生容易混淆三个函数的定义和记法，需要通过直观的图形和记忆技巧帮助学生记忆。

-突破方法：利用图形记忆法，如“SOH-CAH-TOA”，以及实际例题强化记忆。

（2）在实际问题中构建直角三角形模型：学生可能难以从复杂的实际问题中抽象出直角三角形，需要教师引导和示范。

-突破方法：通过多个实际例题，逐步引导学生学会识别问题中的直角三角形，并进行模型构建。

（3）解直角三角形的综合应用：如何将已知的各个量正确地代入解三角形的公式中，并进行计算。

-突破方法：通过步骤分解，让学生先练习单一情况的解法，再逐步过渡到综合应用。

（4）计算过程中的精确度控制：在计算过程中，学生可能会因为计算不准确而得出错误答案。

-突破方法：强调计算的准确性，提供计算技巧，如使用计算器进行精确计算，并进行检查。教学资源准备1.教材：

-确保每位学生都备有《2024九年级数学下册》教材，以便课堂上能跟随教学进度进行自主学习。

-准备课程相关内容的复印资料，包括锐角三角函数的定义、解直角三角形的步骤和例题等，以便学生在课堂上快速查阅。

2.辅助材料：

-准备直角三角形的图片和图表，用于辅助讲解锐角三角函数的定义和解直角三角形的方法。

-制作或搜集与解直角三角形相关的实际应用视频，如测量树的高度、建筑物的高度等，增强学生对知识点的理解和兴趣。

-设计并打印锐角三角函数记忆卡片，帮助学生记忆正弦、余弦和正切函数的定义和互化关系。

-准备解直角三角形的动画或动态图，直观展示解题过程，帮助学生理解。

3.实验器材：

-如果条件允许，准备直角三角形的模型或教具，让学生能够直观感受直角三角形的特点。

-准备测量工具，如尺子、量角器等，用于模拟实际场景下的测量活动。

4.教室布置：

-在教室前方设置讲台和投影仪，用于展示多媒体教学资源。

-在教室中央或两侧设置分组讨论区，便于学生进行小组合作学习。

-如果有实验操作活动，布置实验操作台，并确保实验器材的完整性和安全性。

-在教室内设置黑板或白板，用于板书解题过程和关键知识点。

5.其他资源：

-准备计算器，供学生在解决复杂计算问题时使用，提高解题效率。

-准备学习反馈表格，用于课后收集学生对课程内容的反馈，帮助教师了解学生的学习情况。教学流程（一）课前准备（预计用时：5分钟）

学生预习：

发放预习材料，引导学生提前了解锐角三角函数和解直角三角形的学习内容，标记出有疑问或不懂的地方。

设计预习问题，如“锐角三角函数的定义是什么？它们之间有什么关系？”激发学生思考，为课堂学习做好准备。

教师备课：

深入研究教材，明确教学目标和重难点。

准备教学用具和多媒体资源，确保教学过程的顺利进行。

设计课堂互动环节，如小组讨论和问题解答，提高学生学习积极性。

（二）课堂导入（预计用时：3分钟）

激发兴趣：

提出问题，如“我们如何测量一个塔的高度？”引发学生的好奇心和求知欲，引导学生进入学习状态。

回顾旧知：

简要回顾上节课学习的锐角三角函数的定义和互化关系，帮助学生建立知识之间的联系。

提出问题，检查学生对旧知的掌握情况，为学习新课打下基础。

（三）新课呈现（预计用时：25分钟）

知识讲解：

清晰、准确地讲解解直角三角形的步骤和方法，结合实例帮助学生理解。

突出重点，强调难点，通过对比、归纳等方法帮助学生加深记忆。

互动探究：

设计小组讨论环节，让学生围绕实际问题展开讨论，如“如何通过测量角度和距离来计算高度？”培养学生的合作精神和沟通能力。

鼓励学生提出自己的观点和疑问，引导学生深入思考，拓展思维。

技能训练：

设计实践活动或实验，让学生在实践中体验知识的应用，提高实践能力。

在新课呈现结束后，对解直角三角形的知识点进行梳理和总结。

强调重点和难点，帮助学生形成完整的知识体系。

（四）巩固练习（预计用时：5分钟）

随堂练习：

随堂练习题，让学生在课堂上完成，检查学生对解直角三角形知识的掌握情况。

鼓励学生相互讨论、互相帮助，共同解决问题。

错题订正：

针对学生在随堂练习中出现的错误，进行及时订正和讲解。

引导学生分析错误原因，避免类似错误再次发生。

（五）拓展延伸（预计用时：3分钟）

知识拓展：

介绍与解直角三角形相关的拓展知识，如三角函数在其他学科领域的应用，拓宽学生的知识视野。

引导学生关注学科前沿动态，培养学生的创新意识和探索精神。

情感升华：

结合内容，引导学生思考数学与生活的联系，培养学生的社会责任感。

鼓励学生分享学习心得和体会，增进师生之间的情感交流。

（六）课堂小结（预计用时：2分钟）

简要回顾本节课学习的解直角三角形的内容，强调重点和难点。

肯定学生的表现，鼓励他们继续努力。

布置作业：

根据本节课学习的内容，布置适量的课后作业，巩固学习效果。

提醒学生注意作业要求和时间安排，确保作业质量。教学资源拓展1.拓展资源：

-推荐学生阅读《几何学的故事》等数学相关书籍，了解几何学的发展历程和解直角三角形在其中的应用。

-引导学生浏览数学相关的科普网站，如科普中国、科学网等，了解锐角三角函数和解直角三角形在科学研究和实际应用中的最新进展。

-鼓励学生观看与解直角三角形相关的科普视频，如TED演讲、科普纪录片等，拓展知识视野，激发学习兴趣。

-提供与解直角三角形相关的数学竞赛题目，如AMC、AIME等，供学生挑战，提高解题能力和数学思维。

2.拓展建议：

-建议学生参与数学建模竞赛，如高中数学建模竞赛，将解直角三角形的知识应用到实际问题中，培养数学建模能力。

-鼓励学生参与数学社团或数学竞赛，与同学交流解直角三角形的方法和技巧，互相学习，共同进步。

-建议学生尝试解决实际问题，如测量建筑物高度、计算物体在斜面上的投影长度等，将所学知识应用到实际生活中。

-鼓励学生参加数学讲座或研讨会，了解解直角三角形在其他学科领域的应用，拓宽知识面。

-建议学生订阅数学相关的期刊或杂志，如《数学通报》、《数学学报》等，关注数学学科前沿动态，培养创新意识。内容逻辑关系①知识点梳理

1.锐角三角函数的定义及其互化关系：

-正弦函数：对边比斜边

-余弦函数：邻边比斜边

-正切函数：对边比邻边

2.解直角三角形的步骤和方法：

-已知两边一角的情况

-已知一角两边的情况

3.实际应用中解直角三角形的策略：

-抽象出直角三角形模型

-应用三角函数知识解决问题

②重点句子

1."锐角三角函数是解直角三角形的基础，理解它们之间的关系至关重要。"

2."解直角三角形的步骤清晰，关键在于正确识别已知条件和目标，以及熟练运用三角函数。"

3."将实际问题转化为数学模型是解决问题的关键，需要学会从复杂情境中抽象出直角三角形。"

③板书设计

1.定义与关系：

-正弦：对/斜

-余弦：邻/斜

-正切：对/邻

2.解直角三角形步骤：

-两边一角

-一角两边

3.实际应用：

-抽象模型

-应用三角函数

板书设计应条理清楚，重点突出，以直观的方式呈现知识点之间的逻辑关系，便于学生理解和记忆。通过板书，学生可以清晰地看到每个知识点的核心内容，以及它们之间的联系和应用方式。教学反思与改进本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学方法，以便更好地为下一节课的教学做好准备。首先，我会设计反思活动，包括让学生填写学习反馈问卷，了解他们对本节课知识点的理解程度，以及他们认为的难点和疑问。同时，我会观察学生在课堂上的表现，特别是他们在小组讨论和互动探究环节的参与情况，以评估他们对知识点的理解和应用能力。其次，我会根据学生的反馈和课堂表现，识别本节课的不足之处。例如，如果发现学生在解直角三角形的步骤和方法上有困难，我会考虑是否需要更加详细地讲解和示范，或者提供更多的练习机会。此外，如果发现学生对实际应用中的问题解决能力较弱，我会考虑增加相关案例的分析和讨论，以培养学生的应用能力。最后，我将根据反思的结果，制定改进措施并计划在未来的教学中实施。例如，如果发现学生在三角函数的定义和互化关系上有混淆，我会设计更多的记忆技巧和练习，以帮助他们更好地理解和记忆。另外，如果发现学生在实际问题中的应用能力较弱，我会增加更多与实际情境相关的练习，并提供更多的指导和反馈，以帮助他们提高解决问题的能力。通过这样的反思和改进，我相信我能够更好地满足学生的学习需求，提高他们的数学素养和解题能力。重点题型整理题型1:已知直角三角形的两个直角边长度，求斜边的长度。

解题步骤：

1.确定已知条件：直角三角形的两个直角边长度。

2.应用勾股定理：a^2+b^2=c^2，其中c为斜边长度。

3.将已知直角边长度代入公式，求解斜边长度。

举例：已知直角三角形的两个直角边长度分别为3cm和4cm，求斜边长度。

解答：根据勾股定理，斜边长度为√(3^2+4^2)=√(9+16)=√25=5cm。

题型2:已知直角三角形的一直角边和斜边长度，求另一直角边长度。

解题步骤：

1.确定已知条件：直角三角形的一直角边和斜边长度。

2.应用勾股定理：c^2=a^2+b^2，其中c为斜边长度，b为未知直角边长度。

3.将已知直角边和斜边长度代入公式，求解未知直角边长度。

举例：已知直角三角形的一直角边长度为5cm，斜边长度为13cm，求另一直角边长度。

解答：根据勾股定理，另一直角边长度为√(13^2-5^2)=√(169-25)=√144=12cm。

题型3:已知直角三角形的两个锐角，求两个直角边长度。

解题步骤：

1.确定已知条件：直角三角形的两个锐角。

2.应用正弦、余弦函数：sin(θ)=对边/斜边，cos(θ)=邻边/斜边。

3.将已知锐角代入公式，求解直角边长度。

举例：已知直角三角形的两个锐角分别为30°和60°，求两个直角边长度。

解答：根据正弦函数，对边长度为5cm*sin(30°)=2.5cm。根据余弦函数，邻边长度为5cm*cos(60°)=2.5cm。

题型4:已知直角三角形的一直角边和锐角，求斜边和另一直角边长度。

解题步骤：

1.确定已知条件：直角三角形的一直角边和锐角。

2.应用正弦、余弦函数：sin(θ)=对边/斜边，cos(θ)=邻边/斜边。

3.将已知直角边和锐角代入公式，求解斜边和另一直角边长度。

举例：已知直角三角形的一直角边长度为6cm，锐角为45°，求斜边和另一直角边长度。

解答：根据正弦函数，斜边长度为6cm/sin(45°)=6cm/0.707=8.49cm。根据余弦函数，另一直角边长度为6cm*cos(45°)=6cm*0.707=4.24cm。

题型5:已知直角三角形的斜边和锐角，求两个直角边长度。

解题步骤：

1.确定已知条件：直角三角形的斜边和锐角。

2.应用正弦、余弦函数：sin(θ)=对边/斜边，cos(θ)=邻边/斜边。

3.将已知斜边和锐角代入公式，求解直角边长度。

举例：已知直角三角形的斜边长度为10cm，锐角为30°，求两