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文档简介
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题(每小题3分,共30分)1.西周时期,丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器,称为圭表。如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表,其中,立柱的高为。已知,冬至时北京的正午日光入射角约为,则立柱根部与圭表的冬至线的距离(即的长)作为()A. B. C. D.2.如图,在平面直角坐标系中,菱形的顶点与原点重合,顶点落在轴的正半轴上,对角线、交于点,点、恰好都在反比例函数的图象上,则的值为()A. B. C.2 D.3.一元二次方程x2-8x-1=0配方后为()A.(x-4)2=17 B.(x+4)2=15C.(x+4)2=17 D.(x-4)2=17或(x+4)2=174.二次函数y=a(x﹣m)2﹣n的图象如图,则一次函数y=mx+n的图象经过()A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限C.第二、三、四象限 D.第一、三、四象限5.实施新课改以来,某班学生经常采用“小组合作学习”的方式进行学习,学习委员小兵每周对各小组合作学习的情况进行了综合评分.下表是其中一周的统计数据:组别1234567分值90959088909285这组数据的中位数和众数分别是A.88,90 B.90,90 C.88,95 D.90,956.关于二次函数,下列说法错误的是()A.它的图象开口方向向上 B.它的图象顶点坐标为(0,4)C.它的图象对称轴是y轴 D.当时,y有最大值47.如图,在△ABC中,∠A=90°.若AB=12,AC=5,则cosC的值为()A. B. C. D.8.如图,的半径为5,的内接于,若,则的值为()A. B. C. D.9.已知甲、乙两地相距20千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,则汽车行驶时间t(单位:小时)关于行驶速度v(单位:千米/小时)的函数关系式是()A.t=20v B.t= C.t= D.t=10.下列各说法中:①圆的每一条直径都是它的对称轴;②长度相等的两条弧是等弧;③相等的弦所对的弧也相等;④同弧所对的圆周角相等;⑤90°的圆周角所对的弦是直径;⑥任何一个三角形都有唯一的外接圆;其中正确的有()A.3个 B.4个 C.5个 D.6个二、填空题(每小题3分,共24分)11.计算sin45°的值等于__________12.如图,河堤横断面迎水坡的坡比是,堤高,则坡面的长度是__________.13.如图,一段抛物线:记为,它与轴交于两点,;将绕旋转得到,交轴于;将绕旋转得到,交轴于;如此进行下去,直至得到,若点在第段抛物线上,则___________.14.有五张分别印有等边三角形、正方形、正五边形、矩形、正六边形图案的卡片(这些卡片除图案不同外,其余均相同).现将有图案的一面朝下任意摆放,从中任意抽取一张,抽到卡片的图案既是中心对称图形,又是轴对称图形的概率为_____.15.已知扇形的半径为,圆心角为,则该扇形的弧长为_______.(结果保留)16.如图,ABCD是平行四边形,AB是⊙O的直径,点D在⊙O上,AD=OA=2,则图中阴影部分的面积为______.17.两个相似多边形的一组对应边分别为2cm和3cm,那么对应的这两个多边形的面积比是__________18.《九章算术》是东方数学思想之源,该书中记载:“今有勾八步,股一十五步,问勾中容圆径几何.”其意思为:“今有直角三角形,勾(短直角边)长为8步,股(长直角边)长为15步,问该直角三角形内切圆的直径是多少步.”该问题的答案是________步.三、解答题(共66分)19.(10分)如图,在中,,于点,于点.(1)求证:;(2)若,求四边形的面积.20.(6分)(1)如图1,在△ABC中,点D,E,Q分别在AB,AC,BC上,且DE∥BC,AQ交DE于点P,求证:;(2)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上,连接AG,AF分别交DE于M,N两点.①如图2,若AB=AC=1,直接写出MN的长;②如图3,求证MN2=DM·EN.21.(6分)先化简,再求值:,其中x=1﹣.22.(8分)定义:连结菱形的一边中点与对边的两端点的线段把它分成三个三角形,如果其中有两个三角形相似,那么称这样的菱形为自相似菱形.(1)判断下列命题是真命题,还是假命题?①正方形是自相似菱形;②有一个内角为60°的菱形是自相似菱形.③如图1,若菱形ABCD是自相似菱形,∠ABC=α(0°<α<90°),E为BC中点,则在△ABE,△AED,△EDC中,相似的三角形只有△ABE与△AED.(2)如图2,菱形ABCD是自相似菱形,∠ABC是锐角,边长为4,E为BC中点.①求AE,DE的长;②AC,BD交于点O,求tan∠DBC的值.23.(8分)综合与实践问题情境数学课上,李老师提出了这样一个问题:如图1,点是正方形内一点,,,.你能求出的度数吗?(1)小敏与同桌小聪通过观察、思考、讨论后,得出了如下思路:思路一:将绕点逆时针旋转,得到,连接,求出的度数.思路二:将绕点顺时针旋转,得到,连接,求出的度数.请参考以上思路,任选一种写出完整的解答过程.类比探究(2)如图2,若点是正方形外一点,,,,求的度数.拓展应用(3)如图3,在边长为的等边三角形内有一点,,,则的面积是______.24.(8分)根据学习函数的经验,探究函数y=x2+ax﹣4|x+b|+4(b<0)的图象和性质:(1)下表给出了部分x,y的取值;xL﹣3﹣2﹣1012345LyL30﹣1030﹣103L由上表可知,a=,b=;(2)用你喜欢的方式在坐标系中画出函数y=x2+ax﹣4|x+b|+4的图象;(3)结合你所画的函数图象,写出该函数的一条性质;(4)若方程x2+ax﹣4|x+b|+4=x+m至少有3个不同的实数解,请直接写出m的取值范围.25.(10分)某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店经营,了解到一种成本为20元/件的新型商品在第x天销售的相关信息如下表所示.销售量p(件)
P=50—x
销售单价q(元/件)
当1≤x≤20时,
当21≤x≤40时,
(1)请计算第几天该商品的销售单价为35元/件?(2)求该网店第x天获得的利润y关于x的函数关系式.(3)这40天中该网店第几天获得的利润最大?最大利润是多少?26.(10分)已知二次函数y=x2﹣2x﹣3(1)求函数图象的顶点坐标,与坐标轴的交点坐标,并画出函数的大致图象;(2)根据图象直接回答:当y<0时,求x的取值范围;当y>﹣3时,求x的取值范围.
参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、D【解析】在Rt△ABC中利用正切函数即可得出答案.【详解】解:在Rt△ABC中,tan∠ABC=,∴立柱根部与圭表的冬至线的距离(即BC的长)为=.故选:D.【点睛】本题考查解直角三角形的应用,解答本题的关键是明确题意,利用锐角三角函数解答.2、A【解析】利用菱形的性质,根据正切定义即可得到答案.【详解】解:设,,∵点为菱形对角线的交点,∴,,,∴,把代入得,∴,∵四边形为菱形,∴,∴,解得,∴,在中,,∴.故选A.【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,解题关键在于运用菱形的性质.3、A【解析】x2-8x-1=0,移项,得x2-8x=1,配方,得x2-8x+42=1+42,即(x-4)2=17.故选A.点睛:配方法的一般步骤:(1)把常数项移到等号的右边;(2)把二次项的系数化为1;(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.4、A【解析】由抛物线的顶点坐标在第四象限可得出m>0,n>0,再利用一次函数图象与系数的关系,即可得出一次函数y=mx+n的图象经过第一、二、三象限.【详解】解:观察函数图象,可知:m>0,n>0,∴一次函数y=mx+n的图象经过第一、二、三象限.故选A.【点睛】本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系,牢记“k>0,b>0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限”是解题的关键.5、B【解析】中位数是一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(最中间两个数的平均数).由此将这组数据重新排序为85,88,1,1,1,92,95,∴中位数是按从小到大排列后第4个数为:1.众数是在一组数据中,出现次数最多的数据,这组数据中1出现三次,出现的次数最多,故这组数据的众数为1.故选B.6、D【分析】由抛物线的解析式可求得其开口方向、对称轴、函数的最值即可判断.【详解】∵,∴抛物线开口向上,对称轴为直线x=0,顶点为(0,4),当x=0时,有最小值4,故A、B、C正确,D错误;故选:D.【点睛】本题主要考查二次函数的性质,掌握二次函数的顶点式是解题的关键,即在y=a(x−h)2+k中,对称轴为x=h,顶点坐标为(h,k).7、A【解析】∵∠A=90°,AC=5,AB=12,∴BC==13,∴cosC=,故选A.8、C【分析】连接OA、OB,作OH⊥AB,利用垂径定理和勾股定理求出OH的长,再根据圆周角定理求出∠ACB=∠AOH,即可利用等角的余弦值相等求得结果.【详解】如图,连接OA、OB,作OH⊥AB,∵AB=8,OH⊥AB,∴AH=AB=4,∠AOB=2∠AOH,∵OA=5,∴OH=,∵∠AOB=2∠ACB,∴∠ACB=∠AOH,∴=cos∠AOH=,故选:C.【点睛】此题考查圆的性质,垂径定理,勾股定理,三角函数,圆周角定理,利用圆周角定理求得∠ACB=∠AOH,由此利用等角的函数值相等解决问题.9、B【解析】试题分析:根据行程问题的公式路程=速度×时间,可知汽车行驶的时间t关于行驶速度v的函数关系式为t=.考点:函数关系式10、A【分析】根据对称轴、等弧、圆周角定理、三角形外接圆的定义及弦、弧、圆心角的相互关系分别判断后即可解答.【详解】①对称轴是直线,而直径是线段,圆的每一条直径所在直线都是它的对称轴,①错误;②在同圆或等圆中,长度相等的两条弧是等弧,不在同圆或等圆中不一定是等弧,②错误;③在同圆或等圆中,相等的弦所对的弧也相等,不在同圆或等圆中,相等的弦所对的弧不一定相等,③错误;④根据圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半,④正确;⑤根据圆周角定理推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径,⑤正确;⑥根据三角形外接圆的定义可知,任何一个三角形都有唯一的外接圆,⑥正确.综上,正确的结论为③④⑤.故选A.【点睛】本题了考查对称轴、等弧、圆周角、外接圆的定义及其相互关系,熟练运用相关知识是解决问题的关键.二、填空题(每小题3分,共24分)11、【分析】根据特殊锐角的三角函数值求解.【详解】解:,故答案为:.【点睛】本题主要考查特殊锐角的三角函数值,解题的关键是熟记特殊锐角的三角函数值.12、【分析】先根据坡比求出AB的长度,再利用勾股定理即可求出BC的长度.【详解】故答案为:.【点睛】本题主要考查坡比及勾股定理,掌握坡比的定义及勾股定理是解题的关键.13、-1【分析】将这段抛物线C1通过配方法求出顶点坐标及抛物线与x轴的交点,由旋转的性质可以知道C1与C2的顶点到x轴的距离相等,且OA1=A1A2,照此类推可以推导知道点P(11,m)为抛物线C6的顶点,从而得到结果.【详解】∵y=−x(x−2)(0≤x≤2),∴配方可得y=−(x−1)2+1(0≤x≤2),∴顶点坐标为(1,1),∴A1坐标为(2,0)∵C2由C1旋转得到,∴OA1=A1A2,即C2顶点坐标为(3,−1),A2(4,0);照此类推可得,C3顶点坐标为(5,1),A3(6,0);C4顶点坐标为(7,−1),A4(8,0);C5顶点坐标为(9,1),A5(10,0);C6顶点坐标为(11,−1),A6(12,0);∴m=−1.故答案为:-1.【点睛】本题考查了二次函数的性质及旋转的性质,解题的关键是求出抛物线的顶点坐标,学会从一般到特殊的探究方法,属于中考常考题型.14、【解析】判断出即是中心对称,又是轴对称图形的个数,然后结合概率计算公式,计算,即可.【详解】解:等边三角形、正方形、正五边形、矩形、正六边形图案中既是中心对称图形,又是轴对称图形是:正方形、矩形、正六边形共3种,故从中任意抽取一张,抽到卡片的图案既是中心对称图形,又是轴对称图形的概率为:.故答案为.【点睛】考查中心对称图形和轴对称图形的判定,考查概率计算公式,难度中等.15、【分析】根据弧长公式是,代入就可以求出弧长.【详解】∵扇形的半径是30cm,圆心角是60°,
∴该扇形的弧长是:.
故答案为:.【点睛】本题考查的是扇形的弧长公式的运用,正确记忆弧长公式是解题的关键.16、【分析】根据题意,作出合适的辅助线,由图可知,阴影部分的面积=△CBF的面积,根据题目的条件和图形,可以求得△BCF的面积,从而可以解答本题.【详解】连接OD、OF、BF,作DE⊥OA于点E,∵ABCD是平行四边形,AB是⊙O的直径,点D在⊙O上,AD=OA=2,∴OA=OD=AD=OF=OB=2,DC∥AB,∴△DOA是等边三角形,∠AOD=∠FDO,∴∠AOD=∠FDO=60°,同理可得,∠FOB=60°,△BCD是等边三角形,∵弓形DF的面积=弓形FB的面积,DE=OD•sin60°=,∴图中阴影部分的面积为:=,故答案为:.【点睛】本题考查了求阴影部分面积的问题,掌握三角形面积公式是解题的关键.17、4:9【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方列式计算即可.【详解】解:因为两个三角形相似,
∴较小三角形与较大三角形的面积比为()2=,故答案为:.【点睛】此题考查相似三角形的性质,掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键.18、1【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边,根据直角三角形的内切圆的半径的求法确定出内切圆半径,得到直径.【详解】解:根据勾股定理得:斜边为=17,设内切圆半径为r,由面积法r=3(步),即直径为1步,
故答案为:1.考点:三角形的内切圆与内心.三、解答题(共66分)19、(1)见解析;(2)【分析】(1)连接OC,先根据得出∠AOC=∠BOC,利用角平分线的性质即可得出结论;(2)在直角三角形中利用的特性结合勾股定理,利用面积公式即可求得的面积,同理可求得的面积,继而求得答案.【详解】(1)连接,∵,∴,∵,∴;(2)∵,∴,∵,∴,∵,∴,∴,∴,同理可得,∴.【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系,熟知在同圆和等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等是解答此题的关键.20、(1)证明见解析;(2)①;②证明见解析.【分析】(1)易证明△ADP∽△ABQ,△ACQ∽△ADP,从而得出;(2)①根据等腰直角三角形的性质和勾股定理,求出BC边上的高,根据△ADE∽△ABC,求出正方形DEFG的边长.从而,由△AMN∽△AGF和△AMN的MN边上高,△AGF的GF边上高,GF=,根据MN:GF等于高之比即可求出MN;②可得出△BGD∽△EFC,则DG•EF=CF•BG;又DG=GF=EF,得GF2=CF•BG,再根据(1),从而得出结论.【详解】解:(1)在△ABQ和△ADP中,∵DP∥BQ,∴△ADP∽△ABQ,∴,同理在△ACQ和△APE中,,∴;(2)①作AQ⊥BC于点Q.∵BC边上的高AQ=,∵DE=DG=GF=EF=BG=CF∴DE:BC=1:3又∵DE∥BC∴AD:AB=1:3,∴AD=,DE=,∵DE边上的高为,MN:GF=:,∴MN:=:,∴MN=.故答案为:.②证明:∵∠B+∠C=90°∠CEF+∠C=90°,∴∠B=∠CEF,又∵∠BGD=∠EFC,∴△BGD∽△EFC,∴,∴DG•EF=CF•BG,又∵DG=GF=EF,∴GF2=CF•BG,由(1)得,∴,∴,∵GF2=CF•BG,∴MN2=DM•EN.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质以及正方形的性质,是一道综合题目,难度较大.21、1﹣x,原式=.【分析】先利用分式的加减乘除运算对分式进行化简,然后把x的值代入即可.【详解】原式=当x=1﹣时,∴原式=1﹣(1﹣)=;【点睛】本题主要考查分式的化简求值,掌握分式混合运算的顺序和法则是解题的关键.22、(1)见解析;(2)①AE=2,DE=4;②tan∠DBC=.【分析】(1)①证明△ABE≌△DCE(SAS),得出△ABE∽△DCE即可;②连接AC,由自相似菱形的定义即可得出结论;③由自相似菱形的性质即可得出结论;(2)①由(1)③得△ABE∽△DEA,得出,求出AE=2,DE=4即可;②过E作EM⊥AD于M,过D作DN⊥BC于N,则四边形DMEN是矩形,得出DN=EM,DM=EN,∠M=∠N=90°,设AM=x,则EN=DM=x+4,由勾股定理得出方程,解方程求出AM=1,EN=DM=5,由勾股定理得出DN=EM==,求出BN=7,再由三角函数定义即可得出答案.【详解】解:(1)①正方形是自相似菱形,是真命题;理由如下:如图3所示:∵四边形ABCD是正方形,点E是BC的中点,∴AB=CD,BE=CE,∠ABE=∠DCE=90°,在△ABE和△DCE中,∴△ABE≌△DCE(SAS),∴△ABE∽△DCE,∴正方形是自相似菱形,故答案为:真命题;②有一个内角为60°的菱形是自相似菱形,是假命题;理由如下:如图4所示:连接AC,∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD,AD∥BC,AB∥CD,∵∠B=60°,∴△ABC是等边三角形,∠DCE=120°,∵点E是BC的中点,∴AE⊥BC,∴∠AEB=∠DAE=90°,∴只能△AEB与△DAE相似,∵AB∥CD,∴只能∠B=∠AED,若∠AED=∠B=60°,则∠CED=180°﹣90°﹣60°=30°,∴∠CDE=180°﹣120°﹣30°=30°,∴∠CED=∠CDE,∴CD=CE,不成立,∴有一个内角为60°的菱形不是自相似菱形,故答案为:假命题;③若菱形ABCD是自相似菱形,∠ABC=α(0°<α<90°),E为BC中点,则在△ABE,△AED,△EDC中,相似的三角形只有△ABE与△AED,是真命题;理由如下:∵∠ABC=α(0°<α<90°),∴∠C>90°,且∠ABC+∠C=180°,△ABE与△EDC不能相似,同理△AED与△EDC也不能相似,∵四边形ABCD是菱形,∴AD∥BC,∴∠AEB=∠DAE,当∠AED=∠B时,△ABE∽△DEA,∴若菱形ABCD是自相似菱形,∠ABC=α(0°<α<90°),E为BC中点,则在△ABE,△AED,△EDC中,相似的三角形只有△ABE与△AED,故答案为:真命题;(2)①∵菱形ABCD是自相似菱形,∠ABC是锐角,边长为4,E为BC中点,∴BE=2,AB=AD=4,由(1)③得:△ABE∽△DEA,∴∴AE2=BE•AD=2×4=8,∴AE=2,DE===4,故答案为:AE=2;DE=4;②过E作EM⊥AD于M,过D作DN⊥BC于N,如图2所示:则四边形DMEN是矩形,∴DN=EM,DM=EN,∠M=∠N=90°,设AM=x,则EN=DM=x+4,由勾股定理得:EM2=DE2﹣DM2=AE2﹣AM2,即(4)2﹣(x+4)2=(2)2﹣x2,解得:x=1,∴AM=1,EN=DM=5,∴DN=EM==,在Rt△BDN中,∵BN=BE+EN=2+5=7,∴tan∠DBC=,故答案为:.【点睛】本题考查了自相似菱形的定义和判定,菱形的性质应用,三角形全等的判定和性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理的应用,锐角三角函数的定义,掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键.23、(1)∠APB=135°,(2)∠APB=45°;(3).【分析】(1)思路一、先利用旋转求出∠PBP'=90°,BP'=BP=2,AP'=CP=3,利用勾股定理求出PP',进而判断出△APP'是直角三角形,得出∠APP'=90°,即可得出结论;
思路二、同思路一的方法即可得出结论;(2)将绕点逆时针旋转,得到,连接,然后同(1)的思路一的方法即可得出结论;(3)可先将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°,得到△AP'C,根据旋转性质,角的计算可得到△APP'是等边三角形,再根据勾股定理,得到AP的长,最后根据三角形面积得到所求.【详解】解:(1)思路一,如图1,将绕点逆时针旋转,得到,连接,则≌,,,,∴,根据勾股定理得,,∵,∴.又∵,∴,∴是直角三角形,且,∴;思路二、同思路一的方法.(2)如图2,将绕点逆时针旋转,得到,连接,则≌,,,,∴,根据勾股定理得,.∵,∴.又∵,∴,∴是直角三角形,且,∴;(3)如图3,将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°,得到△AP'C,
∴∠AP'C=∠APB=360°-90°-120°=150°.∵AP=AP',∴△APP'是等边三角形,∴PP'=AP,∠AP'P=∠APP'=60°,∴∠PP'C=90°,∠P'PC=30°,∴,即.∵APC=90°,∴AP2+PC2=AC2,且,∴PC=2,∴,∴.【点睛】此题是四边形综合题,主要考查了正方形的性质,等边三角形的性质,旋转的性质,全等三角形的性质,勾股定理及其逆定理,正确作出辅助线是解本题的关键.24、(1)﹣1,﹣1;(1)详见解析;(3)函数关于x=1对称;(4)0<m<1.【分析】(1)将点(0,0)、(1,3)代入函数y=x1+ax﹣4|x+b|+4,得到关于a、b的一元二次方程,解方程组即可求得;(1)描点法画图即可;(3)根据图象即可得到函数关于x=1对称;(4)结合图象找,当x=﹣1时,y=﹣1;当x=1,y=3;则当0<m<1时,方程x1+ax﹣4|x+b|+4=x+m至少有3个不同的实数解.【详解】解:(1)将点(0,0)、(1,3)代入函数y=x1+ax﹣4|x+b|+4(b<0),得,解得a=﹣1,b=﹣1,故答案为﹣1,﹣1;(1)画出函数图象如图:(3)该函数的一条性质:函数关于x=1对称;(4)∵方程x1+a
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