2025年高考数学一轮复习（基础版）课时精讲第6章　§6.1　数列的概念（原卷版）

第第页§6.1数列的概念课标要求1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．知识梳理1．数列的有关概念概念含义数列按照确定的顺序排列的一列数数列的项数列中的每一个数通项公式如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式数列{an}的前n项和把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an2.数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列an＋1>an其中n∈N*递减数列an＋1<an常数列an＋1＝an摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列与函数的关系数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)．常用结论1．已知数列{an}的前n项和为Sn，则an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))2．在数列{an}中，若an最大，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1))(n≥2，n∈N*)；若an最小，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1))(n≥2，n∈N*)．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)数列1,2,3与3,2,1是两个不同的数列．()(2)数列1,0,1,0,1,0，…的通项公式只能是an＝eq\f(1＋－1n＋1,2).()(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．()(4)若数列用图象表示，则从图象上看是一群孤立的点．()2．已知数列{an}的通项公式为an＝9＋12n，则在下列各数中，不是{an}的项的是()A．21B．33C．152D．1533．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，那么它的通项公式an等于()A．nB．2nC．2n＋1D．n＋14．如图，古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．如图中的数1,5,12,22，…称为五边形数，则第8个五边形数是________．题型一由an与Sn的关系求通项公式例1(1)设Sn为数列{an}的前n项和，若2Sn＝3an－3，则a4等于()A．27B．81C．93D．243(2)已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则an＝________.跟踪训练1(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sm＋Sn＝Sm＋n，若a1＝2，则a20等于()A．2B．4C．20D．40(2)设数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝3且当n≥2时，2an＝Sn·Sn－1，则{an}的通项公式an＝________________.题型二由数列的递推关系求通项公式命题点1累加法例2若数列{an}满足an＋1－an＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))，且a1＝1，则数列{an}的第100项为()A．2B．3C．1＋lg99D．2＋lg99命题点2累乘法例3设在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝eq\f(n,n＋1)an，则an＝________.跟踪训练2(1)设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为______．(2)已知数列{an}满足a1＝2，(n＋1)an＋1＝2(n＋2)an，则数列{an}的通项公式为____________．题型三数列的性质命题点1数列的单调性例4已知数列{an}的通项公式为an＝n2－3λn，则“λ<1”是“数列{an}为递增数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件命题点2数列的周期性例5若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝eq\f(1＋an,1－an)，则a2024的值为()A．2B．－3C．－eq\f(1,2)D.eq\f(1,3)命题点3数列的最值例6数列{bn}满足bn＝eq\f(3n－7,2n－1)，则当n＝________时，bn取最大值为________．跟踪训练3(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝a2＝1，a3＝a4＝2，an＋an＋4＝0，则()A．S23>S21>S22 B．S21>S22>S23C．S21>S23>S22 D．S23>S22>S21(2)已知数列{an}的通项an＝eq\f(2n－19,2n－21)，n∈N*，则数列{an}前20项中的最大项与最小项的值分别为________．课时精练一、单项选择题1．若数列的前4项分别是eq\f(1,2)，－eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，－eq\f(1,5)，则此数列的一个通项公式为()A.eq\f(－1n＋1,n＋1)B.eq\f(－1n,n＋1)C.eq\f(－1n,n)D.eq\f(－1n－1,n)2．已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝n2－1，则a3等于()A．－5B．5C．7D．83．已知数列{an}的首项为3，an＋1－an＝2n－8(n∈N*)，则a8等于()A．0B．3C．8D．114．若数列{an}的前n项积为n2，那么当n≥2时，an等于()A．2n－1B．n2C.eq\f(n＋12,n2)D.eq\f(n2,n－12)5．已知在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an·an＋2＝an＋1(n∈N*)，则a2024的值为()A．2B．1C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,4)6．已知数列{an}的通项an＝eq\f(n,n2＋90)，则数列{an}中的最大项的值是()A．3eq\r(10)B．19C.eq\f(1,19)D.eq\f(\r(10),60)二、多项选择题7．已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,7)))n，则下列说法正确的是()A．a1是数列{an}的最小项B．a4是数列{an}的最大项C．a5是数列{an}的最大项D．当n≥5时，数列{an}是递减数列三、填空题8．若an＝－2n2＋29n＋3，则数列{an}的最大项是第________项．9．已知数列{an}的前n项和Sn＝eq\f(1,3)an＋eq\f(2,3)，则{an}的通项公式an＝________.10．已知数列{an}满足a1＝1，(n－1)an＝n·2nan－1(n∈N*，n≥2)，则数列{an}的通项公式为________．四、解答题11．已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和为