2025年高考数学一轮复习（基础版）课时精讲第1章　§1.1　集合（含解析）

第第页§1.1集合课标要求1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算.知识梳理1.集合与元素(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示.(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法.(4)常见数集的记法集合非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)ZQR2.集合的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A).(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作A⫋B(或B⫋A).(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3.集合的基本运算表示运算集合语言图形语言记法并集{x|x∈A，或x∈B}A∪B交集{x|x∈A，且x∈B}A∩B补集{x|x∈U，且x∉A}∁UA常用结论1.若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集.2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3.A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.4.∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB).自主诊断1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1，0，1}.(×)(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.(×)(3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1.(×)(4)对任意集合A，B，都有(A∩B)⊆(A∪B).(√)2.设集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，则(∁RA)∩B等于()A.{x|2<x≤3}B.{x|7<x<10}C.{x|2<x<3或7≤x<10}D.{x|2<x≤3或7<x<10}答案为：C解析：因为∁RA＝{x|x<3或x≥7}，B＝{x|2<x<10}，所以(∁RA)∩B＝{x|2<x<3或7≤x<10}.3.(必修第一册P35T9改编)已知集合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a＋2}，若A∪B＝A，则实数a＝________.答案为：2解析：因为A∪B＝A，所以B⊆A，所以a＋2∈A.当a＋2＝3，即a＝1时，A＝{1，3，1}，不满足集合中元素的互异性，不符合题意；当a＋2＝a2时，a＝－1(舍去)或a＝2，此时A＝{1，3，4}，B＝{1，4}，符合题意.综上，实数a＝2.4.已知集合A＝{x|0<x<a}，B＝{x|0<x<2}，若B⊆A，则实数a的取值范围为________.答案为：[2，＋∞)解析：因为B⊆A，所以利用数轴分析法(如图)，可知a≥2.题型一集合的含义与表示例1(1)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|x＋y＝0}，则A∩B的子集个数为()A.1B.2C.3D.4答案为：D解析：集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}表示以(0，0)为圆心，2为半径的圆上的所有点，集合B＝{(x，y)|x＋y＝0}表示直线x＋y＝0上的所有点，因为直线x＋y＝0经过圆心(0，0)，所以直线与圆相交，所以A∩B的元素个数为2，则A∩B的子集个数为4.(2)已知集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A，则实数m的值为()A.2B.3C.0D.－2答案为：B解析：因为集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A，则m＝2或m2－3m＋2＝2，解得m∈{0，2，3}.当m＝0时，集合A中的元素不满足互异性；当m＝2时，m2－3m＋2＝0，集合A中的元素不满足互异性；当m＝3时，A＝{0，3，2}，符合题意.综上所述，m＝3.思维升华解决集合含义问题的关键点(1)一是确定构成集合的元素.(2)确定元素的限制条件.(3)根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题.跟踪训练1(1)设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，C＝{x＋y|x∈A，y∈B}，则C中元素的个数为()A.3B.4C.5D.6答案为：B解析：因为集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，C＝{x＋y|x∈A，y∈B}，所以C＝{5，6，7，8}.即C中元素的个数为4.(2)若含有3个实数的集合既可表示成{a，eq\f(b,a)，1}，又可表示成{a2，a＋b，0}，则a2024＋b2024＝________.答案为：1解析：因为{a，eq\f(b,a)，1}＝{a2，a＋b，0}，显然a≠0，所以eq\f(b,a)＝0，即b＝0；此时两集合分别是{a，1，0}，{a，a2，0}，则a2＝1，解得a＝1或a＝－1.当a＝1时，不满足互异性，故舍去；当a＝－1时，满足题意.所以a2024＋b2024＝(－1)2024＋02024＝1.题型二集合间的基本关系例2(1)已知集合A＝{x|x>5}，B＝{x|1－log2x<0}，则()A.A⊆BB.B⊆AC.A∩B＝∅D.A∪B＝R答案为：A解析：因为集合A＝{x|x>5}，集合B＝{x|1－log2x<0}＝{x|x>2}，所以A⊆B.(2)已知集合A＝{x|x<－1或x≥3}，B＝{x|ax＋1≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是()A.[－eq\f(1,3)，1)B.[－eq\f(1,3)，1]C.(－∞，－1)∪[0，＋∞)D.[－eq\f(1,3)，0)∪(0，1)答案为：A解析：∵B⊆A，∴①若B＝∅，即ax＋1≤0无解，此时a＝0，满足题意.②若B≠∅，即ax＋1≤0有解，当a>0时，可得x≤－eq\f(1,a)，要使B⊆A，则需要eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,－\f(1,a)<－1，))解得0<a<1；当a<0时，可得x≥－eq\f(1,a)，要使B⊆A，则需要eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,－\f(1,a)≥3，))解得－eq\f(1,3)≤a<0，综上，实数a的取值范围是[－eq\f(1,3)，1).思维升华(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解.(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.跟踪训练2(1)已知集合M＝{x|y＝eq\r(1－x2)，x∈R}，N＝{x|x＝m2，m∈M}，则集合M，N的关系是()A.M⫋NB.N⫋MC.M⊆∁RND.N⊆∁RM答案为：B解析：因为M＝{x|y＝eq\r(1－x2)，x∈R}＝{x|－1≤x≤1}，N＝{x|x＝m2，m∈M}＝{x|0≤x≤1}，所以N⫋M.(2)设集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1<x<2m＋1}，当x∈Z时，集合A的非空真子集的个数为________；当B⊆A时，实数m的取值范围是________.答案为：254{m|m≤－2或－1≤m≤2}解析：易得A＝{x|－2≤x≤5}.若x∈Z，则A＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}，即A中含有8个元素，∴A的非空真子集的个数为28－2＝254.①当m－1≥2m＋1，即m≤－2时，B＝∅，B⊆A；②当m>－2时，B＝{x|m－1<x<2m＋1}≠∅，因此，要使B⊆A，则需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－1≥－2，,2m＋1≤5，))解得－1≤m≤2.综上所述，m的取值范围是{m|m≤－2或－1≤m≤2}.题型三集合的基本运算命题点1集合的运算例3(1)若集合M＝{x|eq\r(x)<4}，N＝{x|3x≥1}，则M∩N等于()A.{x|0≤x<2}B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤x<2))))C.{x|3≤x<16}D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤x<16))))答案为：D解析：因为M＝{x|eq\r(x)<4}，所以M＝{x|0≤x<16}；因为N＝{x|3x≥1}，所以N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥\f(1,3))))).所以M∩N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤x<16)))).(2)(多选)已知M，N均为实数集R的子集，且N∩(∁RM)＝∅，则下列结论中正确的是()A.M∩(∁RN)＝∅B.M∪(∁RN)＝RC.(∁RM)∪(∁RN)＝∁RMD.(∁RM)∩(∁RN)＝∁RM答案为：BD解析：∵N∩(∁RM)＝∅，∴N⊆M，如图，若N是M的真子集，则M∩(∁RN)≠∅，故A错误；由N⊆M可得M∪(∁RN)＝R，故B正确；由N⊆M可得∁RN⊇∁RM，故C错误，D正确.命题点2利用集合的运算求参数的值(范围)例4(1)(多选)已知A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且A∪B＝A，则m的值可能为()A.－eq\f(1,3)B.eq\f(1,3)C.0D.－eq\f(1,2)答案为：BCD解析：由题意知A＝{x|x2＋x－6＝0}，由x2＋x－6＝0，解得x＝2或x＝－3，所以A＝{2，－3}，因为A∪B＝A，所以B⊆A，当B＝∅时，m＝0，满足题意；当B≠∅时，B＝{－eq\f(1,m)}，－eq\f(1,m)＝2或－eq\f(1,m)＝－3，解得m＝－eq\f(1,2)或m＝eq\f(1,3)，综上，m＝0或－eq\f(1,2)或eq\f(1,3).(2)设集合A＝{x|x<a2}，B＝{x|x>a}，若A∩(∁RB)＝A，则实数a的取值范围为()A.[0，1]B.[0，1)C.(0，1)D.(－∞，0]∪[1，＋∞)答案为：A解析：因为B＝{x|x>a}，所以∁RB＝{x|x≤a}，又A∩(∁RB)＝A，所以A⊆∁RB，又A＝{x|x<a2}，所以a2≤a，解得0≤a≤1，即实数a的取值范围为[0，1].思维升华对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况.跟踪训练3(1)(多选)已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|1<x<3}，则()A.(∁RA)∪B＝{x|0≤x<3}B.(∁RA)∩B＝{x|1<x<2}C.A∩B＝{x|2<x<3}D.A∩B是{x|2<x<5}的真子集答案为：ACD解析：由x2－2x>0，得x<0或x>2，所以A＝{x|x<0或x>2}，所以∁RA＝{x|0≤x≤2}，对于A，因为B＝{x|1<x<3}，所以(∁RA)∪B＝{x|0≤x<3}，所以A正确；对于B，因为B＝{x|1<x<3}，所以(∁RA)∩B＝{x|1<x≤2}，所以B错误；对于C，因为A＝{x|x<0或x>2}，B＝{x|1<x<3}，所以A∩B＝{x|2<x<3}，所以C正确；对于D，因为A∩B＝{x|2<x<3}，所以A∩B是{x|2<x<5}的真子集，所以D正确.(2)已知集合A，B满足A＝{x|x>1}，B＝{x|x<a－1}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围为()A.(－∞，1]B.(－∞，2]C.[1，＋∞)D.[2，＋∞)答案为：B解析：因为集合A，B满足A＝{x|x>1}，B＝{x|x<a－1}，且A∩B＝∅，则a－1≤1，解得a≤2.课时精练一、单项选择题1.设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M满足∁UM＝{1，3}，则()A.2∈MB.3∈MC.4∉MD.5∉M答案为：A解析：由题意知M＝{2，4，5}.2.已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N等于()A.{－2，－1，0，1}B.{0，1，2}C.{－2}D.{2}答案为：C解析：方法一因为N＝{x|x2－x－6≥0}＝(－∞，－2]∪[3，＋∞)，而M＝{－2，－1，0，1，2}，所以M∩N＝{－2}.方法二因为M＝{－2，－1，0，1，2}，将－2，－1，0，1，2代入不等式x2－x－6≥0，只有－2使不等式成立，所以M∩N＝{－2}.3.集合A＝{x∈N|1<x<4}的子集个数为()A.2B.4C.8D.16答案为：B解析：A＝{x∈N|1<x<4}＝{2，3}，故子集个数为22＝4.4.已知全集U，若集合A和集合B都是U的非空子集，且满足A∪B＝B，则下列集合中表示空集的是()A.(∁UA)∩BB.A∩BC.(∁UA)∩(∁UB)D.A∩(∁UB)答案为：D解析：由Venn图表示集合U，A，B如图，由图可得(∁UA)∩B＝∁BA，A∩B＝A，(∁UA)∩(∁UB)＝∁UB，A∩(∁UB)＝∅.5.已知A＝{1，4，m2}，B＝{1，m}，若B⊆A，则m等于()A.0或4B.1或4C.0D.4答案为：A解析：∵B⊆A且A＝{1，4，m2}，B＝{1，m}，∴m＝4或m＝m2，当m＝4时，A＝{1，4，16}，B＝{1，4}，满足题意；当m＝m2时，得m＝0或m＝1，当m＝0时，A＝{1，4，0}，B＝{1，0}，满足题意；当m＝1时，代入集合中，不满足集合的互异性.综上，m可取0，4.6.已知M，N均为R的子集，若存在x使得x∈M，且x∉∁RN，则()A.M∩N≠∅B.M⊆NC.N⊆MD.M＝N答案为：A解析：因为x∉∁RN，所以x∈N，又因为x∈M，所以x∈M∩N，故M∩N≠∅，故A正确；由于题目条件是存在x，所以不能确定集合M，N之间的包含关系，故B，C，D错误.7.已知全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x2－x>0}，则图中的阴影部分表示的集合为()A.(－∞，1]∪(2，＋∞)B.(－∞，0)∪(1，2)C.[1，2)D.(1，2]答案为：A解析：B＝{x|x2－x>0}＝{x|x<0或x>1}，由题意可知阴影部分对应的集合为∁U(A∩B)∩(A∪B)，所以A∩B＝{x|1<x≤2}，A∪B＝R，即∁U(A∩B)＝{x|x≤1或x>2}，所以∁U(A∩B)∩(A∪B)＝(－∞，1]∪(2，＋∞).二、多项选择题8.已知I为全集，集合M，N⊆I，若M⊆N，则()A.M∪N＝NB.M∩N＝NC.∁IM⊆∁IND.(∁IN)∩M＝∅答案为：AD解析：因为M⊆N，则M∪N＝N，M∩N＝M，则A正确，B错误；又I为全集，集合M，N⊆I，则∁IM⊇∁IN，(∁IN)∩M＝∅，C错误，D正确.9.已知集合A＝{x|x2＝1}，B＝{x|ax＝1}，且A∪B＝A，则实数a的取值可以是()A.－1B.0C.1D.2答案为：ABC解析：A＝{x|x2＝1}＝{－1，1}，集合B表示关于x的方程ax