控制工程第二章-控制系统的数学基础和数学模型

第二章控制系统的数学基础和数学模型

基本要求

1.掌握拉氏变换、拉氏反变换的定义、定理。

2.了解数学模型的基本概念。能够运用动力学、电学及专业知识，列

写机械系统、电网络系统的微分方程。

3.掌握传递函数的概念、特点，会求传递函数的零、极点。

4.掌握各个典型环节的特点，传递函数的基本形式及相关参数的物理

意义。

5.摹握闭环系统中前向通道传递函数、开环传递函数、闭环传递函数

的定义及求法。掌握干扰作用下，系统传递函数的求法和特点。

6.了解传递函数框图的组成及意义；能够根据系统的微分方程，绘制

系统传递函数框图，并实现简化，从而求出系统的传递函数。

7.了解相似原理的概念。

本章重点

1.拉氏变换定理。

2.列写系统的微分方程。

3.传递函数的概念、特点及求法。

4.典型环节的传递函数。

5.系统的方框图及其化简。

本章难点

L列写系统微分方程。

2.系统的方框图及其化简。

2.1拉普拉斯（Laplace）变换

2.1.1拉氏变换概述

L拉氏变换的定义

尸⑸=耳/⑺]二「/⑺「力

双方）：原函数（实域、时间域）F（s）：

象函数（s域、复数域）

S:复变量，S=O+j3

L：拉氏算子

•A__

2.基本函数的拉氏变换

\Xi(t)

,3(/)

序号原函数/⑺象函数b(s)\

一0

01单位脉冲函数5(。1

1_at

AM(f)2k:e-

单位阶跃函数1(。s

1

3K常数

1-，sD>

1

4

t单位斜坡函数s1lsin<2?Z

vJ-

5■nL\__t

Itsc〃+loV

1

6at

e~S+Q

coscot

7sinatfS2+。2

之,*

c、r,

8cos的

s2+co20i

2.L2拉氏变换的主要性质

1.线性性质

设/［/（方）［二A（s）,/［玄（力］二巴（s）,kv股为常数，则

“左/⑺+/力⑺］=W.（3+左2〃力（3

=3（5）+左2尸2。）

2.微分性质

若/"（%）］二分（s）,且“0）二0,（初始条件为零）则

.df⑺卜s尸（s）

dt

3.积分定理

若/"⑺］"(s),且初始条件为零,则

山加)力］J/⑶

JS

4.平移定理

若/木方)］二户(s)］则

力］*(s+a)

5.初值定理

若£"(方)］二分(s),则

/(O+)=lim/⑺=lims・尸(s)

0sfoo

6.终值定理

若/"("]=Rs),则有

f(00)=lim/Q)=lims•尸(s)

oos-0

7.延迟定理

若若f(Z)]二上s),对任一正实数8则有

L[f(t-a)]=ff(t-a)e~stdt=e~asF(s)

JO

2.L2拉氏变换的主要性质

1.线性性质

设/［/（方）［二A（s）,/［玄（力］二巴（s）,kv股为常数，则

“左/⑺+/力⑺］=W.（3+左2〃力（3

=3（5）+左2尸2。）

2.微分性质

若/"（%）］二分（s）,且“0）二0,（初始条件为零）则

.df⑺卜s尸（s）

dt

3.积分定理

若/"⑺］"(s),且初始条件为零,则

山加)力］J/⑶

JS

4.平移定理

若/木方)］二户(s)］则

力］*(s+a)

5.初值定理

若£"(方)］二分(s),则

/(O+)=lim/⑺=lims・尸(s)

0sfoo

6.终值定理

若/"("]=Rs),则有

f(00)=lim/Q)=lims•尸(s)

oos-0

7.延迟定理

若若f(Z)]二上s),对任一正实数8则有

L[f(t-a)]=ff(t-a)e~stdt=e~asF(s)

JO

2.1.3拉氏反变换

定义：

/U）〃T/（S）］,将象函数变换成原函数S:

复

As）：象函数（s域、复数域）

以«•.原函数（实域、时间域）

2.2系统的数学模型

数学模型就是描述系统的输出、输入与系统本身结构

与参数之间的数学表达式。

工程上常用的数学模型有：

-微分方程

传递函数

■状态方程

建立数学模型的方法有：

■理论分析（解析法）

」试验的方法获取

111

2.21线性系统与非线性系统

1.线性系统

(1)定义：

系鳏微分方程的规范化形式如下:

*只〃)⑺十%一1町一1)⑺+…+⑺+旬X。⑺

=b(/)+b(力H-----vbx(t)+bx(0

mim-1i1i0i

nm

或£。产，)⑺=2>H')«)

j=Oi=Q

若系数电,瓦是常数，则方程是线性定常的，相应

的系统也称为线性定常系统，若系数是时间的函数，

则该方程为线性时变的，相应的系统也称为线性时变

系统。

(2)线性系统性质

线性系统的一个最重要的特性就是满足叠加原理。

Xzl（O-A系统AX01（r）

Xz2（t）--A系统---AX。2（1）

1（%）+〃2%02（%）

A系统

a2xi2（t）

2.非线性系统

工程上常见的非线性特性如下:

可饱和非线性

死区非线性

-间隙非线性

摩擦非线性

3.非线性系统的线性化

司具有本质非线性特性的系统：忽略非线性因素或用

非线性理论去处理。

,非本质非线性特性的系统：切线法，或称微小偏差

法处理。

2.2.2机械/电气系统微分方程

1.机械系统

任何机械系统的数学模型都可以应用牛顿定律来建立。都可以

使用质量、弹性和且尼三个要素来描述。y⑺一铳刀工件

*⑺二£/⑺、厂止闻二/⑺

1）机械平移系统台》

mx+ex+kx=f

F：外力；x：位移；m：质量；c：粘性阻力系数；A：弹簧刚度

2）机械旋转系统

J0^Bj3+kj3=T

7：扭转力；e:转角；/：转动惯量；与：回转粘性阻力系数；kj：

扭转弹簧刚度

例1写出下图机械系统的微分方程

/(t)：外力；j(t):位移；k：弹簧刚度；c：粘性阻力系数；m：质量

解:工于=ma

f(0-ky(t)-cj(/)=my\f)

m,y\t)+cy(t)+6⑺=f⑺

惯性力+阻尼力+弹簧力二外力

2.电气系统

电阻、电感和电容器是电路中的三个基本元件。通常利用基尔

霍夫定律来建立电气系统的数学模型。

基尔霍夫电流定律：Z&)=0

基尔霍夫电压定律：Z石=Z应

欧姆定律：UR~»RR

电感定律：UL=^~T

dt

电容定律：1/=」idt

C

例2写出下图电气系统的微分方程

L?

O®_TYYW

%⑺

*1

打⑺c氏2

.cTdi(t)

解:n(t)=，1凡+4-+u⑺(1)

at

⑵

rdt

1

M⑺二［(…)力(3)

IL

3.列写系统微分方程的步骤:

⑴分析系统工作原理和系统中各变量间的关系，确定系统的输出量

与输入量；

⑵从系统的输入端开始，依据物理学定律，依次列写组成系统各元

件的动力学方程，其中要考虑相邻两元件间的负载效应；

⑶将各方程式中的中间变量消去，求出描述输入量和输出量之间

关系的微分方程，并将与输入有关的各项放在方程右边，与输出

有关的各项放在方程左边，各阶导数项按降幕排列，即得系统

微分方程的标准形式；

⑷在列写元件的微分方程或求出系统的微分方程时，对非线性项应

加以线性化。

2.3传递函数

2.3.1传递函数的定义

线性定常系统的传递函数定义为：当全部初始条件

为零时，输出量X0(t)的拉氏变换〃(s)与输入量X](t)的

拉氏变换莅(S)之比叫做系统的传递函数负S)。表示

为：

Xfs)

G(s)=

XG)

Xj(s)—aG(s)—►Xo(s)

2.3.2传递函数的求法

L解析法

(1)根据定义求取

设线性定常系统输入为巷(方)，输出为演(方)，描述系统的微分

方程的一般形式为：

m

«)+•••+%无。⑺+a0xo(t)=bm*)⑺+…+瓦/⑺+%.⑺

式中，Gm；%,与均为系统结构参数所决定的定常数(力，

炉0、1、2、3…)o

如果变量及其各阶导数初值为零(初始条件为零)，取等式两边

拉氏变换后得：

anxsmml

(qs"+n-vs~+'-+a\+〃o)X。(s)=(bms+bm_ls-+•••+仇s+b)Xi(s)

根据传递函数的定义，即得系统的传递函数G(s)为：

C⑸———x。⑸

取⑺]Xj(s)

(2)传递函数的零、极点

系统的传递函数G(s)是以复变数s作为自变量的函数.经因子分解后,

G(s)可以写成如下一般形式：

G(s)=/(sZi)(sZ2>(sZm)l为常数

当s=z.(j=l，2,…,m)时,均能使G(s)=O,故称为G(s)的零

点。J

当3=2,.(i=l,2,…，n)时，均能使G(s)的分母为0,G(s)取极

值，limG(s)=oo(i=l,2,…，n),s—pt,称p(i=l,2,…，n)为

G(s)的极点.

2.实验法

例试写出具有下述微分方程式的传递函数。

5*+2仪+九2尸6射7、

解：取拉氏变换并求商得

G(s)=y(s)h6s+7

X(s)5s3+2s2+s+2

2.33传递函数的性质

1.传递函数是通过输入和输出之间的关系来描述系统本身特性的，而

系统本身特性与输入量无关；

2.传递函数不表明所描述系统的物理结构，不同的物理系统，只要它

们动态特性相同，就可用同一传递函数来描述。这样的系统称为相似

系统；

3.传递函数可以是有量纲的，也可以是无量纲的；

4.传递函数是复变量s的有理分式。传递函数多项式分子中s的阶数/小

于分母中s的阶数n,即HWT?。传递函数分母多项式中s的最高哥数

代表了系统的阶数，如s的最高哥数为77则该系统为77阶系统。

I1

次典型环节的传递函数

1.比例环节

微分方程：儿(。二心,⑺

传递函数:G(s)=K

齿轮传动副

例1图示为齿轮传动副，Xi、X。分别为输入、输出轴的转速，zP

Z2为齿轮齿数。求系统传递函数。

解：系统微分方程为：xiz{=xoz2

此方程经Laplace变换后得传递函数为：

G(S)=^^=^K

Xj(s)z2

K为齿轮传动比，也就是齿轮传动副的放大系数或增益。

2.惯性环节

微分方程：及。+儿=也，

传递函数：G(s)=受呼二KTT

A八3J13-rl..」

式中，/为时间常数，4为惯性环节的增益。

质量一阻尼一弹簧环节

例2图示为质量一阻尼一弹簧环节，求略去质量m影响时，系统的传递

函数。

解：系统微分方程为：cx0+优=g

此方程经Laplace变换后得传递函数为：G(s)=葭=七=；^

A.(5)CS+KIS+1

T为惯性环节的时间常数。

3.微分环节

微分方程：/⑺=Txi(t)

传递函数：G(s)=4m=仆

X，(s)

式声次微分时间常数。

4.积分环节]

微分方程：“")一"%⑺山

传递函数：G(S)=K9=L

X.(s)Ts

式中网积分时间常数。

5.振荡环节

微分方程：T2%Q)+2Q1。⑺+4⑺=修⑺

12---------------

传递函数：as)=_%—一3

T2S2+2CTs+1~S2+2^coS+CD2卜2+2如sj”

7nn

式中①〃为无阻尼固有频率；，为阻尼比。

例3图示为质量一阻尼一弹簧环节，求系统的传递函数。

质量一阻尼一弹簧环节

2

取拉氏变换得：rnsXo⑸+csX。⑸+kXo(5)=kXj⑸

其传递函数为：G(s)=X°G)=------1-----

Xj(s)ms2+cs+k

八2

写成标准形式：G(s)=3〃

/+2卜0术+0：

两式比较得:

例4如图所示为电感L、电阻R与电容C的串、并联线路，4为输入，uo

为输出，求系统传递函数。

解：电路的动力学方程为:

ui=LiL+uo

Uo~用汽=《J力

将后两式代入前一式，得:

G=IR+lc

L

u：—LCvio+"o+U

Rn

—

其传递函数为：G(s)=-=____,_

U/(s)LCs2+s+1

R

或：G。)二加

/+2gs+吟

6.延时环节

延时环节是输出滞后输入时间，但不失真地反映输入的环节。

其微分方程为：

儿（。=玉”一工）

式中，为延迟时间。

传递函数:

L[x(0]L[xa-r)]X(s)L

Xj(5)二|X0(S)

G(s)=°=i=i-------e,一

£区(川L[xz(0]X,(s)

马

8种典型环节的传递函数如下:

(1)比例环节：G(s)=K

(2)理想微分环节：G(s)=Ts

(3)一阶微分环节：G(s)=Ts+l

(4)二阶微分环节:G(S)=T2S2+2G+I,(0Y4Y1)

G(s)=1

(5)积分环节：s

1

G(s)=

(6)惯性环节：(Ts+1)

八2

G(s)=CDn

(7)振荡环节：M+2&弟+例2

延迟环节:G(s)=L

■■

2.5系统的方框图及其联接

2.5.1环节的基本联系方式

1.串联

*⑸G1⑸G2⑸等效为X1(S)►G1⑸G2(S)X。⑸A

G(s)=X。(s)=X。(s)X(s)-G(s)G(s)

凡⑸X(s)XG)12

系统的传递函数是各串联环节的传递函数之积:

n

G（S）=HG（S）

i=1

2.并联

G(s)=X。(s)一X](s)+(s)_X](s)x2(s)=G(s)+G(5)

Xj(s)—x(s)-x,(s)Xj(s)-12

系统的传递函数是各并联环节的传递函数之和:

n

G(S)=ZG(S)

Z=1

3.反馈联接

X.(s)

(1)前向通道传递函数G(s)=

E⑸

如)

⑵反馈回路传递函数H(s)=

X.(s)

⑶开环传递函数

4(s)

(4)闭环传递函数G(s)=4(s)=X0(s)一^)__G(s)

BXj(s)E(s)干5(s).BM1+G(5)H(5)

十小)

___________________________________________________

(5)单位反馈

当H(s)=l时，则此闭环系统为单位反馈系统。

G(s)=线⑸.G(s)

+

Xi⑶1TG(s)t-

(6)负反馈与正反馈

负反馈：反馈信号减弱输入信号，使误差信号减小；

G(s)二.⑸

1+G(s)

正反馈：反馈信号加强输入信号，使误差信号增大。

G(s)

G(s)=

1—G(s)

⑺干扰作用下的闭环系统

1）在输入量为（S）的作用下可把干扰量Ms）看作为零,系统的输出为

及（S）,则X(s)=GG)X(s)=GI(S)-G2(S)X.(S)

RRil+G(s)・G(s)H(s)，

12

2)在干扰量Ms)作用下[可把输入量用.(s)看作为零],系统的输出为

X"(S),贝I]X(s)=G(s)N(s)=G2G)N(s)

NNl+Gi(s)-G(s)H(s)

3)系统总的输出量：

X(s)=X(s)+X(s)=.........G2(5)...........[G(5)-Xi(s)+N(s)]

oRN1+G(s)：G(S)H(S)1

12

若Gi(s)G2(s)H(5)»1XN(S)=SN(s)

负反馈能有效的抑制被反馈回路所包围的干扰。

2.5.2方框图的变换与简化

1,分支点

分支

XiA2

前移G(s)

Xt3(=X2)

Xi「—x2Xi-X2

■

后移G(s)一-G(s)

X3(=X1)1X3(=X1)

G(s)

2.相加点

后移

前移

3.梅逊公式

若系统的传递函数方框图同时满足以下两个条件:

-(1)整个方框图只有一条前向通道；

(2)各局部反馈回路间存在公共的传递函数方框.

前向通道的传递函数之积

i+E［每一反馈回路的开环传递函数之积〕

括号内每一项的符号是这样决定的：在相加点处，对反馈信号为

相加时取负号，对反馈信号为相减时取正号。

4.方框图的简化步骤

若方框图中仅有多个无交叉回路，则按照先里后外的原则，逐个简

化，直至简化成一个方框的形式。若方框图中有交叉的连接，用如下的

方法：

1）若系统的传递函数方框图同时满足以下两个条件，可以运用梅逊公

式化简：

条件1,整个系统方框图中只有一条前向通道；

条件2,各局部反馈回路间存在公共的传递函数方框。

2）若系统的传递函数方框图不同时满足以上两个条件，则可通过相加

点、分支点的前后移动等法则，将