2024-2025学年度北师版八上数学-期末复习课一（第一章 勾股定理）【课件】

总复习期末复习课期末复习课（一）（第一章勾股定理）数学八年级上册BS版知识梳理典例讲练目录CONTENTS

1.

勾股定理.（1）文字语言：直角三角形两直角边的

等于

⁠的平方.如果用a,b和c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边，那么

⁠；平方和

斜边

a2＋b2＝c2

（2）几何语言：

在Rt△ABC中（如图所示），∵∠ACB＝90°，∴

⁠.BC2＋AC2＝AB2

注意：勾股定理成立的前提是已知三角形是直角三角形.2.

勾股定理的逆定理.（1）文字语言：如果一个三角形的三边长为a,b,c且满足

，那么这个三角形是直角三角形；（2）几何语言：在△ABC中（如图所示），∵

，∴

且∠ACB＝

90°.3.

勾股数.（1）满足a2＋b2＝c2的三个

，称为勾股数.a2＋b2

＝c2

BC2＋AC2＝AB2

△ABC是直角三角形

正整数

（2）常见的勾股数：勾

a

股

b

弦

c

345512137242581517940414.

勾股定理的应用.（1）求边长（或线段长）.解决此类问题时，若没有直角三角形，则需要构造直角三角形，常见方法是作垂线段.（2）运用勾股定理的逆定理判断三角形的形状或求角度.（3）解决最短距离问题.常见思路：两点之间线段最短；点到直线上任一点的连线中，垂线段最短.此类问题都是在平面图形中解决，因此常将几何体展开转化成平面图形来解决问题.（4）解决实际生活中的问题.数学八年级上册BS版02典例讲练

类型一

利用勾股定理求边长或面积

（1）如图，将等腰直角三角形ABC（其中∠B＝90°）沿

EF折叠，使点A落在BC边的中点A1处.若BC＝8，则线段AE

的长为

⁠.5

【解析】由折叠的性质，得A1E＝AE.

∵△ABC为等腰直角三角形，BC＝8，∴AB＝8.∵点A1为BC的中点，∴A1B＝4.设

AE＝A1E＝x，则BE＝8－x.在Rt△A1BE中，由勾股定理，得42＋（8－x）2＝x2，解得x＝5.故答案为5.【点拨】利用勾股定理在折叠问题中求线段长的关键点：（1）折叠后，对应点、对应线段之间的位置、大小关系的变与不变；（2）抓住折叠问题中的相关点、线，寻找或构造直角三角形；（3）利用勾股定理列方程求解.（2）已知点A，B，C在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C到线段AB所在直线的距离为

⁠.

【点拨】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方和一定等于斜边的平方是解答此题的关键.

1.

“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长的直角边长为b，较短的直角边长为a.若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为

⁠.3

2.

在等腰三角形ABC中，已知AB＝5，BC＝6，求△ABC底边上的高.

类型二

勾股定理的逆定理的应用

如图，在四边形ABCD中，已知∠B＝90°，AB＝16

cm，

BC＝12

cm，AD＝21

cm，CD＝29

cm.（1）求证：∠DAC＝90°；（2）求四边形ABCD的面积.

（2）求四边形ABCD的面积.【点拨】判断一个三角形是否为直角三角形的两种方法：（1）利用定义，即若已知条件与角度有关，则可借助三角形的内角和判断；（2）利用直角三角形的判定条件，即若已知条件与边有关，一般通过计算得出三边的数量关系，看是否符合较短两边的平方和等于最长边的平方.

1.

在下列各组数据中，其中能构成直角三角形的三边长的是（

D

）A.2，3，4B.1，1，2C.1.5，2，2.8D2.

如图，已知方格纸中每个小正方形的边长均为1，且△ABC

的顶点均在格点上.试判断△ABC的形状，并说明理由.解：△ABC是直角三角形，理由如下：由题意，得AC2＝22＋42＝20，BC2＝22＋12＝5，AB2＝32＋42＝25.∵20＋5＝25，∴AC2＋BC2＝AB2.∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°.类型三

几何问题中的最短路程问题

（1）如图，一只蚂蚁沿着边长为1的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B.

若蚂蚁运动的路线是最短的，则最短路程为

⁠.

【点拨】此题考查了平面展开——最短路程问题和勾股定理，

熟练求出AB的长是解本题的关键.（2）如图，已知圆柱形玻璃杯高14

cm，底面圆周长为32

cm，在杯内壁离杯底5

cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁离杯口3

cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁点

A

处爬到内壁点

B

处的最短路程为

cm（杯壁厚度不计）.20

【点拨】涉及从杯壁外面与里面的最短路程问题时，一般要将侧面展开，同时找到起始点的对称点，连接对称点和终点，从而找到最短路程，最后利用勾股定理进行求解即可.

2.

如图，已知四边形ABCD是长方形地面，AB＝10

m，AD＝5

m，中间竖有一堵砖墙，高MN＝1

m.一只蚂蚁从点A爬到点

C，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走

m.13

类型四

利用勾股定理解决实际问题

某初中数学兴趣小组开展实践活动.如图，在校园里测量一块四边形场地ABCD的周长，其中边CD上有水池和建筑物遮挡，没有办法直接测量其长度.经测量，得知AB＝AD＝BD＝60

m，BC＝80

m，∠ABC＝150°.如果你是数学兴趣小组的成员，请想办法求出四边形ABCD的周长.

台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米的范围内形成气旋风暴，具有极强的破坏力.据气象观测，距沿海某城市所在位置点A的东南某方向240

km的点B处有一台风中心（如图所示），其中心风力为12级，该台风中心现在以20

km/h的速度向正西方向往点F移动，∠ABF＝30°，且台风中心的风力不变.若每远离台风中心25

km，则风力就会减弱一级，当城市所受风力达到或超过4级时，城市会受台风影响.（1）该城市是否受到台风影响？请说明理由.

答图

答图（2）若该城市受到台风影响，则该城市受台风影响持续的时间有多长？类型五

利用勾股定理解决动点问题

如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝12

cm，

CD＝6

cm，DA＝3

cm，∠D＝∠A＝90°，点P沿AB边从点

A开始向点B以2

cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点

A以1

cm/s的速度移动.如果点P，Q同时出发，用t（单位：s）表示移动的时间，且0≤t≤3.（1）是否存在这样的t，使得∠PCQ＝90°？若存在，请求出t

的值；若不存在，请说明理由.（2）△PBC能否构成直角三角形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由.解：（1）不存在t

值满足要求.理由如下：如图1，过点C作

CE⊥AB，垂足为

E.

∵AB∥CD，CD

＝6

cm，DA＝3

cm，∴AE＝6

cm，CE

＝3

cm.∴CQ2＝CD2＋

DQ2＝36＋t2，

CP2＝CE2＋（AE

－AP）2＝9＋（6－2t）2，

PQ2＝（AD－DQ）2＋

AP2＝（3－t）2＋（2t）2.要使∠PCQ＝90°，则CQ2

＋

CP2＝PQ2，即36＋t2＋9＋（6－2t）2＝（3－

t）2＋（2t）2，解得t＝4.

∵0≤t≤3，∴不存在使∠PCQ＝90°的t值.图1

（1）是否存在这样的t，使得∠PCQ＝90°？若存在，请求出t

的值；若不存在，请说明理由.（2）△PBC能否构成直角三角形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由.

图2【点拨】解与时间t有关的几何动点问题的基本方法：通过公式“速度×时间＝路程（线段的长度）”，用时间t表示出所需要的线段的长度.当涉及能否构成直角三角形时，就是看该三角形的三边长度的数量关系是否符合勾股定理，并能求出符合要求的t值，如果可以求出符合要求的t值，就能判断能形成直角三角形，否则不能形成直角三角形，从而解决问题.

解：由题意可知，P（t，2t），B（6，2），Q（5t，0）.根据勾股定理，得PB2＝（6－t）2＋（2－2t）2，

QB2＝（6－5

t）