统考版2025届高考数学全程一轮复习选修4-5不等式选讲第二节不等式的证明学生用书

其次节不等式的证明·最新考纲·通过一些简洁问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法．·考向预料·考情分析：综合法、分析法、比较法证明不等式是高考考查的热点，题型仍将以解答题为主．学科素养：通过不等式的证明考查逻辑推理的核心素养．积累必备学问——基础落实赢得良好开端一、必记2个学问点1．比较法比较法是证明不等式最基本的方法，可分为作差比较法和作商比较法两种．名称作差比较法作商比较法理论依据a>b⇔a－b>0a<b⇔a－b<0a＝b⇔a－b＝0b>0，ab>1⇒a>b<0，ab>1⇒a<适用类型适用于具有多项式特征的不等式证明主要适用于积、商、幂、对数、根式形式的不等式证明证明步骤作差→变形→推断符号→得出结论作商→变形→推断与1的大小关系→得出结论2.综合法和分析法(1)综合法一般地，从已知条件动身，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理，论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法．综合法又叫顺推证法或由因导果法．(2)分析法证明命题时，从要证的结论动身，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种执果索因的思索和证明方法．二、必明3个常用结论1．作差比较法的实质是把两个数或式子的大小推断问题转化为一个数(或式子)与0的大小关系．2．用分析法证明数学问题时，要留意书写格式的规范性，经常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等．3．几个重要不等式(1)ba+ab≥2((2)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.提升关键实力——考点突破驾驭类题通法考点一综合法、分析法证明不等式[基础性、应用性][例1]已知a，b，c为正数，且满意abc＝1.证明：(1)1a+1b+1c≤a2(2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.听课笔记：反思感悟用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简洁、条理清晰，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，相互渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野．【对点训练】设不等式||x＋1|－|x－1||＜2的解集为A.(1)求集合A；(2)若a，b，c∈A，求证：1-abcab-c考点二反证法证明不等式[基础性、应用性][例2]若x，y都是正实数，且x＋y＞2，求证：1+xy＜2和1+y听课笔记：反思感悟利用反证法证明问题的一般步骤(1)否定原结论；(2)从假设动身，导出冲突；(3)证明原命题正确．【对点训练】已知a＋b＋c＞0，ab＋bc＋ca＞0，abc＞0，求证：a，b，c＞0.考点三放缩法证明不等式[基础性、应用性][例3]若a，b∈R，求证：a+b1+听课笔记：反思感悟在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧，常见的放缩变换有：(1)变换分式的分子和分母，如1k2＜1kk-1，1k2＞1kk+1，1(2)利用函数的单调性．(3)真分数性质“若0＜a＜b，m＞0，则ab＜a+m[提示]在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度．【对点训练】设n是正整数，求证：12≤1其次节不等式的证明提升关键实力考点一例1解析：(1)因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，且abc＝1，故有a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝ab+bc+caabc＝1当且仅当a＝b＝c＝1时等号成立．所以1a+1b+1c≤a2(2)因为a，b，c为正数且abc＝1，故有(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥33＝3(a＋b)(b＋c)(a＋c)≥3×(2ab)×(2bc)×(2ac)＝24.当且仅当a＝b＝c＝1时等号成立．所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.对点训练解析：(1)由已知，令f(x)＝|x＋1|－|x－1|＝2，x≥1由|f(x)|＜2得－1＜x＜1，即A＝{x|－1＜x＜1}．(2)要证1-abcab-c＞1，只需证|1－abc|＞|ab－c只需证1＋a2b2c2＞a2b2＋c2，只需证1－a2b2＞c2(1－a2b2)，只需证(1－a2b2)(1－c2)＞0，由a，b，c∈A，得－1＜ab＜1，c2＜1，所以(1－a2b2)(1－c2)＞0恒成立，综上，1-abcab-c考点二例2证明：假设1+xy＜2和1+y则有1+xy≥2和1+y因为x＞0且y＞0，所以1＋x≥2y，且1＋y≥2x.两式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，所以x＋y≤2.这与已知条件x＋y＞2冲突，因此1+xy＜2和1+y对点训练证明：(1)设a＜0，因为abc＞0，所以bc＜0.又由a＋b＋c＞0，则b＋c＞－a＞0，所以ab＋bc＋ca＝a(b＋c)＋bc＜0，与题设冲突．(2)若a＝0，则与abc＞0冲突，所以必有a＞0.同理可证：b＞0，c＞0.综上可证a，b，c＞0.考点三例3证明：当|a＋b|＝0时，不等式明显成立．当|a＋b|≠0时，由0＜|a＋b|≤|a|＋|b|⇒