双曲线的标准方程课 高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

人教2019B版选择性必修第一册第二章平面解析几何2.6.1双曲线的标准方程1.结合实际情景熟悉双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.(逻辑推理、数学抽象)2.掌握双曲线的标准方程及其求法.(数学运算)3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单实际问题.(数学运算)

4.与椭圆的标准方程进行比较，并加以区分.

(逻辑推理)如图所示，某中心O

接到其正西、正东、正北方向三个观测点A,B,C的报告：A,C

两个观测点同时听到一声巨响，B观测

点听到的时间比A

观测点晚4s,已知各观测点到该中心的距离都是

1020m,

假定当时声音传播的速度为340m/s,

且A,B,C,0均在同一

平面内.你能确定该巨响发生的点的位置吗?|PBI-|PA|=4×360=13601.双曲线的定义一般地，如果F₁,F₂

是平面内的两个

定点

，a是一个正常数，且2a<|F₁F₂],

则平面上满足|PF₁|-|PF₂||=2a的动点

P的轨迹称为双曲线a(常数),0<2a两个定点叫做双曲线的焦点，两

焦点的距离

|F₁F₂叫做双曲线的

焦距自然语言符号语言焦点与焦距你能利用拉链等日常生活中的物品作出双曲线吗?如图①所示，取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F₁,F₂

上，把笔尖放在点M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线，这就是双曲线的一支.把两个固定点的位置交换，如图②所示，类似可以画出双曲线的

另一支.这两条曲线合起来叫做双曲线.双曲线上的点到两定点F₁,F₂

的距离有何特点?图①

图②怎样从数学上证明满足双曲线定义的点一定是存在的?这样的点有多少个?你能想到什么办法来解决这两个问题?从椭圆的情形一样，下面我们用坐标法来探讨尝试与发现中的问题，并求出双曲线的标准方程。以F₁,F₂所在直线为x

轴，线段F₁F₂的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系x0y,

此时双曲线的焦点分别为F₁(-c,0),F₂(c,0)设P(x,y)是双曲线上一点，则因

IPFIP=J-+0²+;IPpI=√x-o²+v所以

√(x+c)²+y²-

√

(x-c)²+y²=±2a①因为c>a>0,

所以c²-a²>0设c²-a²=b²且b>0,

则④可化为且②与①右边同时取正号或负号，①+②整理得②④设双曲线的焦点为F₁和F₂,

焦距为2c,而且双曲线上的动点P满足||PF₁I-|PF₂I|=2a,其中c>a>0,以F₁,F₂所在直线为y轴，线段F₁F₂的垂直平分

线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时；(1)双曲线焦点的坐标分别是什么?(2)能否通

(a>0,b>0),来得到此双曲线方程形式?焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程焦点a,b,c的关系2.双曲线的标准方程椭圆双曲线定义MF₁

I+|MF₂

I=2a(2a>|F₁F₂

I)|MF₁

I-IMF₂

II=2a(0<2a<|F₁F₂

I)a,b,c的关系b²=a²-c²b²=c²-a²标

准

方

程焦点在

x轴上焦点在

y轴上双曲线与椭圆的比较1.在双曲线的定义中，若去掉条件0<2a<|F₁F₂I,

则点的轨迹是怎样的?提

示：①当2a等于|F₁F₂I时，动点的轨迹是以F₁,F₂

为端点的两条方向

相反的射线(包括端点).②当

2a大于

|F₁F₂

I时，动点的轨迹不存在.③当2a等于零时，动点轨迹为线段F₁F₂的垂直平分线.2.判断(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线.

()(2)平面内到点F₁(0,4),F₂(0,-4)

的距离之差等于5的点的轨迹是双曲线.

()(3)平面内到点F₁(0,4),F₂(0,-4)

的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.

()答案：(1)×(2)×(3)×当焦点在x轴上时，设双曲线方程为将点(1,1)代入方程中，得此时双曲线的标准方程为

.同理求得焦点在y

轴上时，双曲线的标准方程为答案：D3.过点(1,1),

的双曲线的标准方程是(

)解析：·

∴b²=2a².分析(1)设双曲线方程,代入点的坐标，解方程即可得到.(2)可设双曲线方程为mx²-ny²=1,代入点的坐标，得到方程组，解方程组即可得到.例1求适合下列条件的双曲线的标准方程.(1)焦点在x轴上，a=2√5,经过点A(-5,2);(2)经过两点A(-7,-6√2),B(2√7,3).解：(1)设双曲线方程

则a=2√5,

解得b²=16,则双曲线的标准方程为(2)设双曲线方程为mx²-ny²=1,则有

解

则双曲线的标准方程为求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程，然后用待定系数法求出a,b的值.若焦点位置不确定，可按焦

点在x轴和y轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂.若双曲线过两

定点，可设其方程为mx²+ny²=1(mn<0),

通过解方程组即可确定m,n,避免了讨论，

从而简化求解过程.跟踪训练1根据下列条件，求双曲线的标准方程.(1)焦点在x

轴上，经过点P(4,-2)

和点Q(2√6,2√2);(2)过点且焦点在坐标轴上.解：(1)因为焦点在x

轴上，可设双曲线方程为将点(4,-2)和(2

√6,2解得a²=8,b²=4,所以双曲线的标准方程为(2)设双曲线的方程为Ax²+By²=1,AB<0.因为点P,Q

在双曲线上，则

解故双曲线的标准方程为例2.已知F₁(-2,0),F₂(2,0),动点P满足|PF₁

I-|PF₂I=2,

求动点P的轨迹方程。解：因

所以根据双曲线的定义可知，P一定在a=1,c=2且

焦点在x轴上的双曲线上，这就是说，点P的坐标(x,y)一定满足，另一方面，由|PF₁I-|PF₂I=2>0可知|PF₁I>|PF₂|,因此P的横坐标要大于零，从而可知P的轨迹方程为例3“神舟”九号飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记A,B,C),A在B的正东方向，相距6千米，C

在B的北偏西30°方向，相距4千米，P

为航天员着陆点.某一时刻，A接收到P的求救信号，由

于B,C两地比A距P

远，在此4秒后，B,C两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号

的传播速度为1千米/秒，求在A处发现P的方位角.所以双曲线方程为BC

的垂直平分线方程为x-√3y+7=0.

联立两方程解得x=8(舍负),y=5√3,

所以P(8,5

√3),kpA=tan∠PAx=√3,所以∠PAx=60°,所以P

点

在A点的北偏东30°方向.以线段AB的中点为坐标原点，AB的垂直平分线所在直线为y轴，正东方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示.则A(3,0),B(-3,0),C(-5,2√3).解：因为|PC|=|PB|,

所以P

在线段BC的垂直平分线上.

又因为|PBI-|PA|=4<6=|AB|,所以P

在以A,B为焦点的双曲线的右支上.1.利用双曲线解决实际问题的基本步骤如下：(1)建立适当的坐标系；(2)求出双曲线的标准方程；(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题.

2.注意事项：(1)解答与双曲线有关的应用问题时，除要准确把握题意，了解一些

实际问题的相关概念，同时还要注意双曲线的定义及性质的灵活应

用

.(2)实际应用问题要注意其实际意义以及在该意义下隐藏着的变量

范围.跟踪训练2

一块面积为12公顷的三角形形状的农场.如图所示△PEF,已知

,tan∠PFE=-2,试建立适当直角坐标系，求出分别以E,F为左、右焦

点且过点P的双曲线方程.设以E,F为焦点且过点P

的双曲线方程为

焦点为E(-c,0),F(c,0).由

设∠PFx=a,则tan

a=tan(π-∠EFP)=2,得直线PE和直线PF

的方程分别为

和

y=2(x-c).联立两方程，解得

即P

点坐标为解：以E,F所在直线为x轴，EF

的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，如图.∵在△EFP

中，|EF|=2c,EF上的高为点P的纵坐标，∴c=3,

即P点坐标为(5,4).由两点间的距离公式∴a=√5.又b²=c²-a²=4,故所求双曲线的方程为错解：将双曲线方程化为标准方程为由题意知焦点在y

轴上，所以所以所以错因分析上述解法有两处错误：一是a²,b²确定错误，应该是a²=-

是a,b,c的关系式用错了，在双曲线中应为c²=a²+b².典例已知双曲线8kx²-ky²=8的一个焦点为(0,3),求k的值.正解：将双曲线方程化为

因为一个焦点是(0,3),

所以焦点在y

轴上，所以c=3,

所以

所以k=-1.1.已知两定点F₁(-5,0),F₂(5,0),动点P满足|PF₁I-|PF₂I=2a,

则当a=3

和5时，P点的轨迹为()A.双曲线和一条直线B.双曲线和一条射线C.双曲线的一支和一条直线D.双曲线的一支和一条射线解析：当a=3

时，根据双曲线的定义及|PF₁I>|PF₂I

可推断出其轨迹是双曲线的一支.当a=5

时，方程y²=0,可知其轨迹与x轴重合，舍去在x轴负半轴上的一段，又因为|PF₁I-IPF₂I=2a,说明|PF₁I>|PF₂I,所以应该是起点为(5,0),与x轴重合向x轴正方向延伸的射线.支相交，且所得弦长|AB|=m,

则△ABF₂的周长为(

)A.4a

B.4a-mC.4a+2m

D.4a-2m解析：不妨设|AF₂

I>|AF₁

I,由双曲线的定义，知|AF₂I-AF₁I=2a,|BF₂I-IBF₁I=2a,所以|AF₂

I+|BF₂

I=(|AF₁

I+|BF₁

I)+4a=m+4a,于是△ABF₂的周长

l=|AF₂I+|BF₂I+|AB|=4a+2m.故选C.答案：C(a>0h>0).F₁.F,为其两个焦点,若过焦点F₁的直线与双曲线的同一2.已知双曲线解

析：∵方

,

∴(m-2)(m+1)<0,解得-1<m<2,∴m

的取值范围是(-1,2).答案：D3.

已知方

表示双曲线，则m

的取值范围是(

)A.(-1,+0)C.

(-00,-1)U(2,+0)B.(2,+0)D.

(-1,2)4.经过点P(-3,2√7)和Q(-6√2,-7),且