2023-2024学年广东省惠州市高一下学期期末质量检测数学试题（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年广东省惠州市高一下学期期末质量检测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在复平面中，复数z=2−3i1+i对应的点的坐标在(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.下列命题中正确的是(

)A.零向量没有方向 B.共线向量一定是相等向量

C.若λ为实数，则向量a与λa方向相同 D.3.已知数据x1,x2,x3,⋯,x8A.32，90 B.32，92 C.30，90 D.30，924.已知向量a=1,2，b=2,0，则向量aA.1,2 B.2,0 C.1,0 D.2,15.某校有小学生、初中生和高中生，其人数比是5:4:3，为了解该校学生的视力情况，采用按比例分层抽样的方法抽取一个样本量为n的样本，已知样本中高中生的人数比小学生的人数少20，则n=(

)A.100 B.120 C.200 D.2406.设α，β是两个不重合的平面，m，n是两条直线，则下列命题为真命题的是(

)A.若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βB.若m//α，n⊂α，则m//n

C.若m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，则α//βD.若m⊥α，n⊂α，则m⊥n7.掷两颗骰子，观察掷得的点数．设事件A表示“两个点数都是偶数”，事件B表示“两个点数都是奇数”，事件C表示“两个点数之和是偶数”，事件D表示“两个点数的乘积是偶数”.那么下列结论正确的是(

)A.A与B是对立事件 B.A与C∩D是互斥事件

C.B与D是相互独立事件 D.B与C∪D是相互独立事件8.已知直三棱柱ABC−A1B1C1的体积为8，二面角C1−AB−C的大小为π4，且AC=BCA.2 B.22 C.二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是(

)

A.圆柱的侧面积为4πR2 B.圆锥的侧面积为5πR210.设z为复数(i为虚数单位)，下列命题正确的有(

)A.若(1+i)z=−i，则|z|=1

B.对任意复数z1，z2，有|z1z2|=|z1|⋅|z2|

C.对任意复数11.在▵ABC中，角A,B,C所对的边分别是a，b，c，下列命题正确的是(

)A.若A=60∘，a=2，则▵ABC面积的最大值为3

B.若A=60∘，a=1，则▵ABC面积的最大值为3

C.若a=23，b=4，要使满足条件的三角形有且只有两个，则A∈三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.甲、乙两人独立的解同一道题，甲、乙解对题的概率分别是23、35，那么恰好只有1人解对题的概率是

．13.已知频率分布直方图如图所示，记其平均数为a，中位数为b，则a与b的大小关系为

．

14.如图，已知在直三棱柱ABC−A1B1C1中，F为A1C1的中点，E为棱BB1上的动点，AA1=2，AB=2，BC=32，AC=4.当E四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)在▵ABC中，已知BC=3，AC=4，点P为线段BC中点，AQ=23AB，设

(1)用向量a，b表示CQ；(2)若∠ACB=90∘，求AP16.(本小题12分)已知有下面三个条件：①S=32⋅AC请从这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题：在▵ABC中，角A,B,C所对的边分别是a，b，c，且________．(1)求角A的大小；(2)若AD是▵ABC的角平分线，且b=2，c=3，求线段AD的长．17.(本小题12分)为了研究学生每天总结整理数学错题情况，某课题组在我市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时总结整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内总结整理数学错题天数的扇形图.若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上总结整理数学错题视为“经常总结整理”，少于4天视为“不经常总结整理”.已知数学成绩优秀的学生中，经常总结整理错题的学生占70%．数学成绩优秀数学成绩不优秀合计经常总结整理不经常总结整理合计(1)根据图1、图2中的数据，补全表格；(2)求图1中m的值及学生期中考试数学成绩的第65百分位数；(3)抽取的100名学生中按“经常总结整理错题”与“不经常总结整理错题”进行分层抽样，随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈；求这2名同学均来自“经常总结整理错题”的概率．18.(本小题12分)如图，在四棱锥Q−ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面QAD是正三角形，面QAD⊥面ABCD，M是QD的中点．(1)求证：QB//平面AMC；(2)求直线AC与平面QCD所成角的正弦值；(3)在棱QC上是否存在点N使平面BDN⊥平面AMC成立？如果存在，求出QNNC如果不存在，说明理由．19.(本小题12分)将连续正整数1，2，⋯，n(n∈N∗)从小到大排列构成一个数123⋯n，F(n)为这个数的位数(如当n=12时，此数为123456789101112，共有15个数字，F(12)=15)，现从这个数中随机取一个数字，p(n)(1)求p(100)．(2)当n≤2021时，求F(n)的表达式．(3)令g(n)为这个数中数字0的个数，f(n)为这个数中数字9的个数，ℎ(n)=f(n)− g(n)，S={n|ℎ(n)=1,n≤100,n∈N∗}，求当n∈S时p(n)答案解析1.C

【解析】z=2−3i1+i=故对应的点位于第三象限，故选：C2.D

【解析】对于选项A：根据向量的定义可知：任意向量均有方向，且规定零向量的方向是任意的，故A错误；对于选项B：例如a=0，b是非零向量，可知a,对于选项C：例如a是非零向量，且λ<0，可知向量a与λa方向相反，故C对于选项D：根据定义可知：单位向量的模均为1，所以单位向量的模都相等，故D正确；故选：D．3.A

【解析】因为x1,x2,所以3x1+2,3x2故选：A．4.C

【解析】根据题意得cosa所以向量a在b方向上的投影向量为acos故选：C．5.B

【解析】由题意可知：样本中高中生的人数为35+4+3n=1则14n+20=5故选：B．6.D

【解析】对于正方体ABCD−A1B1C对于选项A：例如AB⊂平面ABCD，A1D1⊂平面但平面ABCD//平面A1B1对于选项B：例如A1D1//平面ABCD，AB⊂平面ABCD，但对于选项C：例如AD,MN⊂平面ABCD，且AD,MN均与平面BB但平面ABCD∩平面BB1C对于选项D：若m⊥α，n⊂α，由线面垂直的性质可知m⊥n，故D正确；故选：D．7.D

【解析】对于选项A，因为掷两颗骰子，两个点数可以都是偶数，也可以都是奇数，还可以一奇一偶，即一次试验，事件A和事件B可以都不发生，所以选项A错误；对于选项B，因为C∩D即两个点数都是偶数，即A与C∩D可以同时发生，所以选项B错误，对于选项C，因为P(B)=3×36×6=14，P(D)=1−3×36×6对于选项D，因为P(C∪D)=1，P(B∩(C∪D))=936=14故选：D．8.A

【解析】取AB的中点O，连接OC,OC∵AC=BC，∴OC⊥AB,OC1⊥AB，则二面角C∵二面角C1−AB−C的大小为π4所以OC=CC1=2又∵直三棱柱ABC−A1B1C则S▵ABC=4，又∵平面ABC⊥平面A1ABB1，平面且OC⊥AB,OC⊂平面ABC，∴OC⊥平面A1设点A1到平面ABC1的距离为ℎ∴13S故选：A．9.ABC

【解析】解：依题意球的表面积为4πR圆柱的侧面积为2π×R×2R=4πR2，所以圆锥的侧面积为π×R×R2圆锥的表面积为πR圆柱的表面积为4πR2+2π故选：ABC10.BC

【解析】解：A选项，因为(1+i)z=−i，

所以z=−i1+i=−i1−i1+i1−i=−i+i22=−12−12i，

所以|z|=−122+−122=22，故A错误；

B选项，设z1=a+bi,z2=c+di，

所以z1·z2=ac−bd+ad+bci，

所以z1z2=ac−bd2+所以复数z在复平面内对应的点Z是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆及圆的内部区域，所以集合M所构成区域的面积为π×22=4π，故D错误．

11.AD

【解析】对于选项A：由余弦定理可得a2=b可得bc+4=b2+c2所以▵ABC面积的最大值为12×4×对于选项B：由余弦定理可得a2=b可得bc+1=b2+c2所以▵ABC面积的最大值为12×1×对于选项C：由余弦定理可得a2=b整理可得c2由题意可知：关于c的方程c2−8ccos则4>08cosA>0且A∈0,π，可得A∈0,π对于选项D，因为a+b=ccosA+cos则a+b=b2+注意到a+b≠0，则a2+b2−且c=1，则该三角形内切圆半径r=2又因为a+b−c=当且仅当a=b=22所以该三角形的内切圆面积的最大值是π2−1故选：AD．方法点睛：与解三角形有关的交汇问题的关注点(1)根据条件恰当选择正弦、余弦定理完成边角互化；(2)结合内角和定理、面积公式等，灵活运用三角恒等变换公式；(3)对于最值问题，常常利用基本不等式或三角函数分析求解．12.715【解析】设甲、乙解对题分别为事件A，B，则PA=所以恰好只有1人解对题的概率P=PA故答案为：71513.a>b

【解析】因为频率分布直方图在右侧“拖尾”，可知平均数大于中位数，即a>b．故答案为：a>b．14.72或12【解析】因为AB=2，BC=32，所以在▵ABC中，由余弦定理，得cos∠BAC=所以sin∠ABC=3所以VE−ABC作BH⊥AC，垂足为H，作B1H1易知棱BB1在平面ACC则点E在平面ACC1A1上的射影因为cos∠BAC=18，故AH故BH=37设AF的中点为Q1，外接球的球心为Q，半径为R则QQ1⊥平面AC在Rt▵FQQ1中，又因为Q由①②，可得372QQ1=此时Q1E1⊥HH1，因为Q1是AF的中点，则E因为AA1//BB1，所以直线EF与B因为cos∠得B1因为EB1=1故答案为：72；关键点点睛：本题解决的关键是，分析得当三棱锥A1−AEF的外接球的半径最小时，E为棱15.解：(1)如图所示，

AQ=所以CQ=所以CQ=(2)点P为线段BC中点，用三点共线的向量表达式结论得AP=由(1)知CQ=23∠ACB=90∘，则a⋅【解析】(1)用三点共线的向量表达式结论可解；(2)将AP⋅CQ用基底16.解：(1)选择①：由S=32即sinA=3因为A∈(0,π)，所以A=π选择②：因为②ac=可得3因为C∈(0,π)，可得sinC>0，所以即3sinA−因为A∈(0,π)，可得A−π6=选择③：由sinBsinC又由正弦定理得b2+c因为A∈(0,π)，所以A=π(2)若AD是▵ABC的角平分线，则∠BAD=∠CBD=π且S△ABC=S解得AD=6

【解析】(1)选择①：利用三角形的面积公式和向量的数量积的运算公式，求得sinA=3cosA，得到tanA=3，即可求解；选择②：由正弦定理化简得到3sinA=(2)根据题意结合S▵ABC17.解：(1)数学成绩优秀的有100×50%=50人，不优秀的人100×50%=50人，经常整理错题的有100×40%+20%不经常整理错题的是100−60=40人，经常整理错题且成绩优秀的有50×70%=35人，所以表格为数学成绩优秀数学成绩不优秀合计经常整理352560不经常整理152540合计5050100(2)由题意可知每组频率依次为0.05,0.1,0.35,20m,0.2，则0.05+0.1+0.35+20m+0.2=1，解得m=0.015；因为0.05+0.1+0.35=0.5<0.65，0.05+0.1+0.35+0.3=0.8>0.65，设第65百分位数为x，可知x∈则0.5+0.015x−110=0.65，解得所以学生期中考试数学成绩的第65百分位数为120．(3)由题意可知：样本中“经常总结整理错题”的人数为60100×5=3，设为“不经常总结整理错题”的人数为40100×5=2，设为从这5名学生中随机抽取2人，则样本空间Ω=ab,ac,aA,aB,bc,bA,bB,cA,cB,AB，可知n设这2名同学均来自“经常总结整理错题”为事件M，则M=ab,ac,bc，即n所以PM【解析】(1)根据题中数据补全表格；(2)根据频率和为1求得m=0.015，再结合百分位数的定义列式求解；(3)分别求相应的人数，利用列举法结合古典概型分析求解．18.解：(1)证明：设AC∩BD=O，连接OM，因为底面ABCD是正方形，所以O为BD的

中点，因为M是QD的中点，所以OM//QB，因为OM⊂平面ACM，QB⊄平面ACM，所以QB//平面ACM

(2)因为底面ABCD是正方形，所以AD⊥CD，因为平面QAD⊥平面ABCD，平面QAD∩平面ABCD=AD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥平面QAD，因为AM⊂平面QAD，所以CD⊥AM，因为▵QAD为等边三角形，M是QD的中点，所以AM⊥QD，因为QD∩CD=D，QD,CD⊂平面QCD，所以AM⊥平面QCD，所以直线AC与平面QCD所成角为∠ACM，设正方形ABCD的边长为2，则AM=因为AM⊥平面QCD，CM⊂平面QCD，所以AM⊥CM，所以sin∠ACM=即直线AC与平面QCD所成角的正弦值为6(3)存在，当DN⊥CM时，平面BDN⊥平面AMC，因为AM⊥平面QCD，DN⊂平面平面QCD，所以AM⊥DN，因为AM∩CM=M，AM,CM⊂平面AMC，所以DN⊥平面AMC，因为DN⊂平面BDN，所以平面BDN⊥平面AMC，设QNNC=k，则QN=kNC，所以由(2)知CD⊥平面QAD，因为QD⊂平面QAD，所以CD⊥DQ，所以DQ⋅因为CM=DN=所以CM⋅所以12(k+1)DQ2−k所以当QNNC=12时，平面【解析】(1)设AC∩BD=O，连接OM，利用三角形的中位线定理可得OM//QB，再利用线面平行的判定定理可证得结论；(2)由面面垂直的性质可证得CD⊥平面QAD，则CD⊥AM，再由等边三角形的性质可得AM⊥QD，然后由线面垂直的判定可得AM⊥平面QCD，则直线AC与平面QCD所成角为∠ACM，从而可求得答案；(3)当DN⊥CM时，可证得平面BDN⊥平面AMC，设QNNC=k，然后在等腰直角三角形19.解：(1)当n=100时，这个数中总共有192个数字，其中