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文档简介

第=page11页,共=sectionpages11页2023-2024学年广西梧州市高一(下)期末数学试卷一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1.475°角的终边所在的象限是(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知点A(1,−1),B(−1,2),则向量AB=(

)A.(0,1) B.(−2,3) C.(2,−3) D.(−2,1)3.化简cos

15°cos

45°−sin15°sin

45°的值为(

)A.−12 B.32 C.4.若一个圆锥的轴截面是一个腰长为22,底边上的高为2的等腰三角形,则该圆锥的侧面积为(

)A.82π B.42π5.已知m,n为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,则下列命题正确的是(

)A.若m//α,n//β,α//β,则m//n

B.若m//α,m//β,α∩β=n,则m//n

C.若n//α,n//β,则α//β

D.若m//n,n⊂α,则m//α6.在△ABC中,D为BC上一点,且BD=2DC,则AD=(

)A.AB+13AC B.AB−17.已知角α的终边经过点(−1,3),则tanA.32 B.−34 C.−8.若函数f(x)=tan(ωx+π4)(ω>0)的最小正周期为A.f(2)>f(0)>f(−π5) B.f(0)>f(2)>f(−π5)二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。9.下列说法正确的是(

)A.△ABC中,D为BC的中点,则AB⋅AC=AD2−BD2

B.向量a=(1,2),b=(2,4)可以作为平面向量的一组基底

C.若非零向量AB与AC满足(AB|AB|+AC|10.若函数f(x)=sin(2x+φ)(|φ|<π2)的图象经过点A.函数f(x)的最小正周期为π

B.点(π3,0)为函数y=f(x)图象的对称中心

C.直线x=π6为函数y=f(x)图象的对称轴

11.如图,已知棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1,点E为AA1的中点,点F为A.D1E/​/平面C1FG

B.直线CD与直线C1F所成角的余弦值为23

C.点C与点D1到平面C1FG的距离之比为2:1三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.平面α截球O所得的截面圆的半径为1,球心O到平面α的距离为2,则此球的体积为______.13.在△ABC中,AB=3,AC=5,BC=2,则14.若1+sinαcosα−cos2αcos2α=2,则四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知平面向量a=(1,−2),b=(−1,−1).

(1)求|2a−b|的值;

(2)16.(本小题15分)

已知cos(π+α)=−35.

(1)求sin(π2+α),cos2α的值;

(2)若α∈(17.(本小题15分)

如图所示,ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO⊥底面ABCD,底面边长为a,E是PC的中点.

(Ⅰ)求证:PA//平面BDE;

(Ⅱ)平面PAC⊥平面BDE;

(Ⅲ)若二面角E−BD−C为30°,求四棱锥P−ABCD的体积.18.(本小题17分)

∫如图为函数f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象,且|CD|=π4,A(−5π12,−2).

(1)求ω,φ的值;

(2)将f(x)的图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍(纵坐标不变),再向右平移3π419.(本小题17分)

在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,m=(c,b),n=(cosA+B2,cos(3π2+B)),且m//n.

(1)若a=4,c=答案解析1.B

【解析】解:因为475°=360°+115°,

因为115°是第二象限角,而475°与115°终边相同,

故475°角的终边所在的象限是第二象限.

故选:B.

利用终边相同的角进行分析判断即可.

本题考查了象限角的判断,涉及了终边相同角的应用,解题的关键是将475°角的终边转化为115°角的终边.2.B

【解析】解:向量AB=(−1,2)−(1,−1)=(−2,3),

故选:B.

利用向量坐标运算性质即可得出.

3.C

【解析】解:cos

15°cos

45°−sin15°sin

45°=cos(15°+45°)=cos60°=12.

故选:4.B

【解析】解:根据题意,该圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形,其腰长为22,

则其底边长为22×2=4,

故圆锥的母线长l=22,底面圆半径r=2,

5.B

【解析】解:若m//α,n//β,α//β,则m//n或m与n相交或m与n异面,故A错误;

若m//α,则在平面α内存在不同于n的直线l,使得l//m,则l//β,从而l//n,故m//n,故B正确;

若n//α,n//β,则α//β或α与β相交,故C错误;

若m//n,n⊂α,则m//α或m⊂α,故D错误.

故选:B.6.D

【解析】解:∵BD=2DC,

∴AD=AB+BD=AB+7.D

【解析】解:因为角α的终边经过点(−1,3),

所以tanα=3−1=−3,

则tan8.C

【解析】解:∵函数f(x)=tan(ωx+π4)(ω>0)的最小正周期为π,

∴T=πω=π,得ω=1,

即f(x)=tan(x+π4),

则f(0)=tanπ4,f(−π5)=tanπ9.AC

【解析】解:对于A,由题意得DC=−DB,

则AB⋅AC=(AD+DB)⋅(AD+DC)=(AD+DB)⋅(AD−DB)=AD2−DB2=AD2−BD2,A正确;

对于B,因为b=2a,不能作为平面向量的一组基底,B错误;

对于C,因为AB|AB|和AC|AC|分别表示与向量AB和AC同向的单位向量,

所以以AB|AB|和AC|AC|为邻边的平行四边形是菱形,AB|AB|+AC|AC|在∠BAC的平分线上,

又(AB|AB|+AC|AC|)⋅BC10.AC

【解析】解:因为函数f(x)=sin(2x+φ)(|φ|<π2)的图象经过点P(0,12),则f(0)=sinφ=12,

因为|φ|<π2,

所以φ=π6,则f(x)=sin(2x+π6).

对于A选项,函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π,A对;

对于B选项,f(π3)=sin5π6=12≠0,故点(π3,0)不是函数y=f(x)11.BCD

【解析】解:选项A,如图,连接AG,在正方体中,

AE//GD1,AE=GD1,则四边形AED1G为平行四边形,

故ED 1//AG,又AG∩FG=G,所以ED1与FG相交,

故D ​1E与平面C1FG相交,故A错误;

选项B,因为CD//C1D1,

故直线CD与直线C1F所成角即为∠D1C1F,

又C1D1⊥平面ADD1A1,D1F⊂平面ADD1A1,

所以C1D1⊥D1F,在Rt△C1D1F中,

C1F=CF2+CC12=5+4=3,

∴cos∠D1C1F=C1D1C1F=23,故B正确;

选项C,由已知,GF=2,C1G=5,C1F=3,

则cos∠GFC1=2+9−52×2×3=22,∴sin∠GFC1=22,

所以S△GF12.4【解析】解:作出对应的截面图,

∵截面圆的半径为1,即BC=1,

∵球心O到平面α的距离为2,

∴OC=2,

设球的半径为R,

在直角三角形OCB中,OB2=OC2+BC2=1+(2)2=3.

即R2=313.11【解析】解:因为△ABC中,AB=3,AC=5,BC=2,

所以由余弦定理得cosA=AB2+AC2−BC22AB⋅AC=3+5−42×3×5=215,14.23【解析】解:因为1+sinαcosα−cos2αcos2α=2,

所以sin2α+sinαcosαcos2α−sin2α=2,即tan2α+tanα1−tan2α=2,

15.解:(1)因为a=(1,−2),b=(−1,−1),

所以2a−b=(3,−3),

则|2a−b|=32+(−3)2=32;

(2)因为a=(1,−2),b=(−1,−1),所以a+b=(0,−3)【解析】(1)根据向量的坐标运算,由模长公式即可求解,

(2)利用夹角公式即可求解.

本题考查平面向量数量积的坐标运算,夹角的求法,属于基础题.16.解:(1)因为cos(π+α)=−cosα=−35,

所以cosα=35,

所以sin(π2+α)=cosα=35,cos2α=2cos2α−1=2×(35)2−1=−725;

(2)由(1)知cosα=35,

因为α∈(3π2,2π),

【解析】(1)先由诱导公式求cosα,然后利用诱导公式和二倍角公式可得;

(2)先求sinα,由和差公式可得sin(α−π4),利用二倍角公式求17.解:(Ⅰ)证明:连接OE,如图所示.

∵O、E分别为AC、PC中点,

∴OE/​/PA.

∵OE⊂平面BDE,PA⊄平面BDE,

∴PA/​/平面BDE.

(Ⅱ)证明:∵PO⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,

∴PO⊥BD.

在正方形ABCD中,BD⊥AC,

又∵PO∩AC=O,PO、AC⊂平面PAC,

∴BD⊥平面PAC.

又∵BD⊂平面BDE,∴平面PAC⊥平面BDE.

(Ⅲ)取OC中点F,连接EF.

∵E为PC中点,

∴EF为△POC的中位线,∴EF//PO.

又∵PO⊥平面ABCD,

∴EF⊥平面ABCD,

∵OF⊥BD,∴OE⊥BD.

∴∠EOF为二面角E−BD−C的平面角,

∴∠EOF=30°.

在Rt△OEF中,OF=12OC=14AC=24a【解析】本题考查平面与平面垂直,直线与平面平行的判定定理的应用,几何体的体积的求法,考查计算能力.

(Ⅰ)连接OE,证明OE/​/PA,然后证明PA//平面BDE.

(Ⅱ)证明PO⊥BD,BD⊥AC,推出BD⊥平面PAC,然后证明平面PAC⊥平面BDE.

(Ⅲ)取OC中点F,连接EF,说明∠EOF为二面角E−BD−C的平面角,求出OF,EF,OP=2EF=18.解:(1)根据题意得,T4=π4,故T=π,ω=2πT=2,故f(x)=2cos(2x+φ).

将A(−5π12,−2)代入,得2×(−5π12)+φ=−π+2kπ(k∈Z),解得φ=−π6+2kπ(k∈Z),

又|φ|<π2,故φ=−π6.

(2)依题意,g(x)=2cos[23(x−3π4)−π6]=2cos(23x−2π3).

函数y=g(x)−a在区间[−π,π2]的零点个数即为函数g(x)的图象与直线y=a在[−π,π2]上的交点个数.

当x∈[−π,π2]时,23x−2π3∈[−4π3,−π3],结合余弦函数图象可知,

【解析】(1)由周期求出ω,根据A(−5π12,−2)求出φ;

(2)首先求出g(x)的解析式,函数y=g(x)−a在区间[−π,π2]的零点个数即为函数g(x)的图象与直线y=a在[−π,π19.解:(1)因为m//n,故ccos(3π2+B)=bcosA+B2⇒csinB=bcosA+B2,

由正弦定理得,csinB=bsinC=bcosA+B2⇒sinBsinC=

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