高一数学必修四教案

所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S＝{β|β=α+k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和．注意：⑴k∈Z⑵α是任一角；⑶终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差360°的整数倍；⑷角α+k·720°与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角．例3．在0°到360°范围内，找出与以下各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角．⑴－120°；⑵640°；⑶－950°12＇．答：⑴240°,第三象限角；⑵280°,第四象限角；⑶129°48＇,第二象限角；例4．写出终边在y轴上的角的集合(用0°到360°的角表示)．解:{α|α=90°+n·180°,n∈Z}．例5．写出终边在上的角的集合S,并把S中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来．三．课堂小结①角的定义；②角的分类：负角：按顺时针方向旋转形成的角正角：按逆时针方向旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角正角：按逆时针方向旋转形成的角零角：射线没有任何旋转形成的角③象限角；④终边相同的角的表示法．四．课后作业：①2-P5；②5练习第1-5题；③P.9习题1.1第1、2、3题思考题：α角是第三象限角，那么2α，各是第几象限角？解：角属于第三象限，k·360°+180°＜α＜k·360°+270°(k∈Z)因此，2k·360°+360°＜2α＜2k·360°+540°(k∈Z)即(2k+1)360°＜2α＜(2k+1)360°+180°(k∈Z)故2α是第一、二象限或终边在y轴的非负半轴上的角．又k·180°+90°＜＜k·180°+135°(k∈Z)．∈Z)，那么n·360°+90°＜＜n·360°+135°(n∈Z)，此时，属于第二象限角∈Z)，那么n·360°+270°＜＜n·360°+315°(n∈Z)，此时，属于第四象限角因此属于第二或第四象限角．五．六．教学反思弧度制〔一〕教学目标知识与技能理解弧度的意义；了解角的集合与实数集R之间的可建立起一一对应的关系；熟记特殊角的弧度数．能正确地进行弧度与角度之间的换算，能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式，并能运用公式解决一些实际问题情感态度与价值观通过新的度量角的单位制(弧度制)的引进，培养学生求异创新的精神；通过对弧度制与角度制下弧长公式、扇形面积公式的比照，让学生感受弧长及扇形面积公式在弧度制下的简洁美．教学重点弧度的概念．弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明．教学难点“角度制〞与“弧度制〞的区别与联系．教学过程一、复习角度制：初中所学的角度制是怎样规定角的度量的?规定把周角的作为1度的角,用度做单位来度量角的制度叫做角度制．二、新课：1．引入：由角度制的定义我们知道,角度是用来度量角的,角度制的度量是60进制的,运用起来不太方便.在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？2．定义我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制．在弧度制下,1弧度记做1rad．在实际运算中，常常将rad单位省略．3．思考：〔1〕一定大小的圆心角所对应的弧长与半径的比值是否是确定的？与圆的半径大小有关吗？〔2〕引导学生完成P6的探究并归纳：弧度制的性质：①半圆所对的圆心角为②整圆所对的圆心角为③正角的弧度数是一个正数．④负角的弧度数是一个负数．⑤零角的弧度数是零．⑥角α的弧度数的绝对值|α|=4．角度与弧度之间的转换：①将角度化为弧度：；；；．②将弧度化为角度：；；；．5．常规写法：①用弧度数表示角时,常常把弧度数写成多少π的形式,不必写成小数．②弧度与角度不能混用．6．特殊角的弧度角度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度07．弧长公式弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积．例1．把67°30＇化成弧度．例2．把化成度．例3．计算：；．例4．将以下各角化成0到2π的角加上2kπ〔k∈Z〕的形式：；．例5．将以下各角化成2kπ+α(k∈Z,0≤α＜2π)的形式,并确定其所在的象限．；．解:(1)而是第三象限的角,是第三象限角.(2)是第二象限角.证法一:∵圆的面积为,∴圆心角为1rad的扇形面积为,又扇形弧长为l,半径为R,∴扇形的圆心角大小为rad,∴扇形面积．证法二:设圆心角的度数为n，那么在角度制下的扇形面积公式为，又此时弧长，∴．可看出弧度制与角度制下的扇形面积公式可以互化，而弧度制下的扇形面积公式显然要简洁得多．三．课堂小结①什么叫1弧度角?②任意角的弧度的定义③“角度制〞与“弧度制〞的联系与区别．四．课后作业：①6–P8；②9练习第1、2、3、6题；③五六.教学反思4-教学目标：知识与技能1.2.3.情感态度与价值观学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；教学重点：正弦、余弦、正切线的概念。教学难点：正弦、余弦、正切线的利用。教学过程：一、复习引入：1.2.诱导公式练习1.D练习2.B练习3.C二、讲解新课：当角的终边上一点的坐标满足值的几何表示——1．有向线段：坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。有向线段：带有方向的线段。设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点，过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点.〔Ⅰ〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕〔Ⅳ〔Ⅳ〕〔Ⅲ〕由四个图看出：当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，于是有，，我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。说明：〔1〕三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段；余弦线在轴上；正切线在过单位圆与轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。〔2〕三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与的终边的交点。〔3〕三条有向线段的正负：三条有向线段凡与轴或轴同向的为正值，与轴或轴反向的为负值。〔4〕4．例题分析：例1．作出以下各角的正弦线、余弦线、正切线。〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕．解：图略。例2.例5.利用单位圆写出符合以下条件的角x的范围．答案：〔1〕；〔2〕；三、稳固与练习：P17面练习四、小结：本节课学习了以下内容：3。五、课后作业：作业4七、教学反思4-教学目标〔一〕知识与技能；2.角α终边上一点，会求角α3.〔3〕〔三〕情感态度与价值观〔2〕学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；教学重点：教学难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α教学过程：一、复习引入：在Rt△ABC中，设A对边为a，B对边为b，C对边为c，锐角A的正弦、余弦、正切依次为．二、讲解新课：在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点〔除了原点〕的坐标为，它与原点的距离为，那么〔1〕比值叫做α的正弦，记作，即；〔2〕比值叫做α的余弦，记作，即；〔3〕比值叫做α的正切，记作，即；〔4〕比值叫做α的余切，记作，即；说明：①α的始边与轴的非负半轴重合，α的终边没有说明α一定是正角或负角，以及α的大小，只说明与α的终边相同的角所在的位置；②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，四个比值不以点在α的终边上的位置的改变而改变大小；③当时，α的终边在轴上，终边上任意一点的横坐标都等于，所以无意义；同理当时，无意义；④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值、、、分别是一个确定的实数，定义域值域注意：(1)在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x轴的非负半轴重合.(3)sin3．例题分析〔1〕；〔2〕；〔3〕．解：〔1〕因为当时，，，所以，，，不存在。〔2〕因为当时，，，所以，，，不存在，〔3〕因为当时，，，所以，，不存在，，例2．角α的终边经过点，求α解：因为，所以，于是；；；．例3．角α的终边过点，求α解：因为过点，所以，当；；当；；．①正弦值对于第一、二象限为正〔〕，对于第三、四象限为负〔〕；②余弦值对于第一、四象限为正〔〕，对于第二、三象限为负〔〕；③正切值对于第一、三象限为正〔〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕．例4．求证：假设且，那么角是第三象限角，反之也成立。5．诱导公式，，其中．，，〔2〕，的值域解：定义域：cosx0∴x的终边不在x轴上又∵tanx0∴x的终边不在y轴上∴当x是第Ⅰ象限角时，cosx=|cosx|tanx=|tanx|∴y=2…………Ⅱ…………,|cosx|=cosx|tanx|=tanx∴y=2…………ⅢⅣ………,|cosx|=cosx|tanx|=tanx∴y=0四、小结：本节课学习了以下内容：3。五、稳固与练习2、作业P20面习题1．２A组第1、2、3〔1〕〔2〕〔3〕题及P21面第9题的〔1〕、〔3〕题。七、教学反思4-教学目标〔一〕知识与技能1.2.〔三〕情感态度与价值观灵活运用于解题，提高学生分析、解决三角的思维能力；教学重点：教学难点：教学过程：一、复习引入：1设角是一个任意角，终边上任意一点，它与原点的距离为，那么：，，，2．当角α分别在不同的象限时，sinα、cosα、tgα3．背景：如果4．问题：由于αα二、讲解新课：

〔1〕商数关系：〔2〕平方关系：说明：①注意“同角〞，至于角的形式无关重要，如等；②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如；③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用〔正用、反用、变形用〕，如：，，等。2．例题分析：一、求值问题例1．〔1〕，并且是第二象限角，求．〔2〕，求．解：〔1〕∵，∴又∵是第二象限角，∴，即有，从而，〔2〕∵，∴，又∵，∴在第二或三象限角。当在第二象限时，即有，从而，；当在第四象限时，即有，从而，．总结：解题时产生遗漏的主要原因是：①没有确定好或不去确定角的终边位置；②利用平方关系开平方时，漏掉了负的平方根。例2．为非零实数，用表示．解：∵，，∴，即有，又∵为非零实数，∴为象限角。当在第一、四象限时，即有，从而，；当在第二、三象限时，即有，从而，．例3、，求解：强调〔指出〕技巧：1分子、分母是正余弦的一次〔或二次〕齐次式注意所求值式的分子、分母均为一次齐次式，把分子、分母同除以,将分子、分母转化为的代数式；

2“化1法〞可利用平方关系，将分子、分母都变为二次齐次式，再利用商数关系化归为的分式求值；“1〞作巧妙的变形，二、化简练习1．化简．解：原式．练习2．三、证明恒等式例4．求证：．证法一：由题义知，所以．∴左边=右边．∴原式成立．证法二：由题义知，所以．又∵，∴．证法三：由题义知，所以．，∴．总结：〔2〕证明左右两边同等于同一个式子；〔3〕证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立。四、小结：本节课学习了以下内容：五、课后作业：?习案?作业第五课时七、教学反思参考资料化简．解：原式．思考1．，求解：1由由联立：22、求解：∵sin2+cos2=1∴化简，整理得：当m=0时，当m=8时，1．3诱导公式〔一〕教学目标〔一〕知识与技能⑴理解正弦、余弦的诱导公式．⑵培养学生化归、转化的能力．〔1〕能运用公式一、二、三的推导公式四、五．〔2〔三〕情感态度与价值观教学重点：掌握诱导公式四、五的推导，能观察分析公式的特点，明确公式用途，熟练驾驭公式．教学难点：灵活运用于解题，提高学生分析、解决三角的思维能力；教学过程一、复习：诱导公式〔一〕诱导公式〔二〕诱导公式〔三〕诱导公式〔四〕对于五组诱导公式的理解：①②这四组诱导公式可以概括为：练习1：P27面作业1、2、3、4。2：P25面的例2：化简二、新课讲授：1、诱导公式〔五〕2、诱导公式〔六〕例2．证明：〔1〕〔2〕例3．化简：解：小结：①公式一或二或四公式一或二或四任意负角的任意正角的00~3600间角00~900间角查表求值公式一或三②负化正，正化小，化到锐角就行了.P28页7．三．课堂小结①熟记诱导公式五、六；②③四．课后作业：①②作业七六、教学反思1．3诱导公式〔二〕教学目标〔一〕知识与技能⑴理解正弦、余弦的诱导公式．⑵培养学生化归、转化的能力．〔1〕能运用公式一、二、三的推导公式四、五．〔2〔三〕情感态度与价值观教学重点：掌握诱导公式四、五的推导，能观察分析公式的特点，明确公式用途，熟练驾驭公式．教学难点：教学过程一、复习：诱导公式〔一〕诱导公式〔二〕诱导公式〔三〕诱导公式〔四〕sin(p－a)=sinacos(p－a)=－cosatan(p－a)=－tana诱导公式(五)诱导公式〔六〕二、新课讲授：例1．证明：〔1〕〔2〕例2．化简：解：例4.小结：①公式一或二或四公式一或二或四任意负角的任意正角的00~3600间角00~900间角查表求值公式一或三②负化正，正化小，化到锐角就行了.P28页7．化简:例5.三．课堂小结①熟记诱导公式五、六；②③四．课后作业：①②六、教学反思教学目标〔一〕知识与技能的图象，明确图象的形状〔2〕根据关系，作出的图象；〔3〕用“五点法〞

〔2〕理解并掌握用“五点法〞〔三〕情感态度与价值观通过作神；教学过程：一、复习引入：1．弧度定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。是一个任意角，在的终边上任取〔异于原点的〕一点P〔x,y〕P与原点的距离r()那么比值叫做的正弦记作：比值叫做的余弦记作：3.正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，过P作x轴的垂线，垂足为M，那么有，有向线段MP叫做角α的正弦线，有向线段OM叫做角α的余弦线．二、讲解新课：第一步：在直角坐标系的x轴上任取一点，以为圆心作单位圆，从这个圆与x轴的交点A起把圆分成n(这里n=12)等份.把x轴上从0到2π这一段分成n(这里n=12)等份.〔预备：取自变量x值—弧度制下角与实数的对应〕.第二步：在单位圆中画出对应于角，，,…，2π的正弦线正弦线〔等价于“列表〞〕.把角x的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x“描点〞〕.第三步：连线.，x∈[0，2π]的图象．x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx，x∈R的图象.把角x的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x根据诱导公式“平移曲线〞〕，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)(,1)(,0)(,-1)(2,0)y=cosxx[0,2]的五个点关键是哪几个？(0,1)(,0)(,-1)(,0)(2,1)优点是方便，缺点是精确度不高，熟练后尚可以3、讲解范例：例1(1)y=1+sinx，x∈[0，2π]，〔2〕y=-COSx●探究2．如何利用y=sinx，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换〔平移、翻转等〕来得到〔1〕y＝1＋sinx,ｘ∈〔0，２π〕的图象；〔2〕y=sin(x-π/3)的图象？探究３．如何利用y=cosx，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换〔平移、翻转等〕来得到y＝-cosx，ｘ∈〔0，２π〕的图象？●探究４．如何利用y=cosx，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换〔平移、翻转等〕来得到y＝2-cosx，ｘ∈〔0，２π〕的图象？小结：先作y=cosxx轴对称的图形，得到y＝-cosx的图象，再将y＝-cosx的图象向上平移2个单位，得到y＝2-cosx的图象。●探究５．y=sin(x-3π/2)和y=cosx的图象有何关系吗？请在同一坐标系中画出它们的简图，以验证你的猜测。小结：sin(x-3π/2)=sin[(x-3π/2)+2π]=sin(x+π/2)=cosx例2x的集合：三、稳固与练习四、小结：本节课学习了以下内容：1．正弦、余弦曲线几何画法和五点法五、课后作业：?习案?作业：八七、教学反思教学目标〔一〕知识与技能〔三〕情感态度与价值观教学过程：一、复习引入：1．问题：〔1〕今天是星期一，那么过了七天是星期几？过了十四天呢？……〔2〕物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？自变量–––性质如下：〔观察图象〕12规律是：每隔2重复出现一次〔或者说每隔2k,kZ重复出现〕3这个规律由诱导公式sin(2k+x)=sinx可以说明增加〔〕时，总有．也即：〔1〕当自变量增加〔2〕对于定义域内的任意，恒成立。二、讲解新课：(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有：f(x+T)=f((T，有，能否说是它的周期？〔2〕〔，且〕的周期为，那么，也是的周期吗？为什么？〔是，其原因为：〕2、说明：1x定义域M，那么必有x+TM,且假设T>0那么定义域无上界；T<0那么定义域无下界；2“每一个值〞只要有一个反例，那么f((x0+t)f(x0)〕3T往往是多值的〔如y=sinx2,4,…,-2,-4,…都是周期〕周期T中最小的正数叫做f(y=sinx,y=cosx的最小正周期为2〔一般称为周期〕从图象上可以看出，；，的最小正周期为；没有最小正周期〕3、例题讲解①②〔3〕，．解：〔1〕∵，∴自变量只要并且至少要增加到，的值才能重复出现，，的周期是．〔2〕∵，∴自变量只要并且至少要增加到，的值才能重复出现，，的周期是．〔3〕∵，∴自变量只要并且至少要增加到，的值才能重复出现，所以，，的周期是．1y=sin(x+)2y=cos2x3y=3sin(+)解：1z=x+而sin(2+z)=sinz即：f(2+z)=f(z)f[(x+2)+]=f(x+)∴周期T=22z=2x∴f(x)=cos2x=cosz=cos(z+2)=cos(2x+2)=cos[2(x+)]即：f(x+)=f(x)∴T=3z=+那么：f(x)=3sinz=3sin(z+2)=3sin(++2)=3sin()=f(x+4)∴T=4，〔其中为常数，且，〕的周期；〔2〕假设，如：①；②；③，．，的周期1y=sin(2x+)+2cos(3x-)2y=|sinx|解：1y1=sin(2x+)最小正周期T1=y2=2cos(3x-)最小正周期T2=yxo1-123-∴T为yxo1-123-2T=作图三、稳固与练习P36面四、小结：本节课学习了以下内容：五、课后作业：七、教学反思教学目标〔一〕知识与技能〔三〕情感态度与价值观激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。教学过程：复习引入：二、讲解新课：奇偶性请同学们观察图形例如：f(-)=,f()=,即f(-)=f()；……由于cos(－x)=cosx∴f(-x)=f(x).以上情况反映在图象上就是：如果点〔x,y〕y=cos-x,y)y=cosxy=图形y=也就是说，如果点〔x,y〕y=-x,-y〕y=y=2.单调性从y＝sinx，x∈［－］的图象上可看出：当x∈［－，］时，曲线逐渐上升，sinx的值由－1增大到1.当x∈［，］时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到－1.结合上述周期性可知：＋2kπ，＋2kπ］(k∈＋2kπ，＋2kπ］(k∈π，2kπ］(k∈在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈3.有关对称轴观察图形，可知y=sinx的对称轴为x=k∈Zy=cosx的对称轴为x=k∈Z

的对称轴；

〔2〕的一条对称轴是〔C〕(A)x轴，(B)y轴，(C)直线，(D)直线思考：P46面11题。4.例题讲解例1(1)(2)；对称中心是.例3．P38面例3例4不通过求值，指出以下各式大于0还是小于0；

①②的单调递增区间；思考：你能求的单调递增区间吗？练习2：P40面的练习三、小结：本节课学习了以下内容：1．单调性2．奇偶性3．周期性五、课后作业：七、教学反思教学目标〔一〕知识与技能法；〔三〕情感态度与价值观培养学生多方面的数学素养教学难点：。教学过程：一、复习引入：问题：1、正弦曲线是怎样画的？2、练习：画出以下各角的正切线：．下面二、讲解新课：的定义域是什么？，∴是的一个周期。3．作，的图象；，且的图象，称“正切曲线〞。yy0x0x〔3〕正切曲线是由被相互平行的直线所隔开的无穷多支曲线组成的。〔1〕定义域：；〔2〕值域：R观察：当从小于，时，当从大于，时，。〔3〕周期性：；〔4〕奇偶性：由〔5〕单调性：在开区间5.讲解范例：例1比拟与的大小解：，，内单调递增，例2〔1〕答：。〔2〕答：。的周期．例3的定义域、值域，指出它的周期性、奇偶性、单调性，解：1、由得，所求定义域为2、值域为R，周期，3、在区间思考1：你能判断它的奇偶性吗？〔的定义域、周期性、奇偶性、单调性。略解：定义域：单调性：在解：画出y＝tanx在(－，)上的图象，在此区间上满足tanx＞0的x的范围为：0＜x＜结合周期性，可知在x∈R，且x≠kπ＋上满足的x的取值范围为(kπ，kπ＋)(k∈Z)思考2的定义域吗？解：由得，利用图象知，所求定义域为00T00TA亦可利用单位圆求解。四、小结：本节课学习了以下内容：的定义域是，所以它的图象被等相互平行的直线所隔开，而在相邻平行线间的图象是连续的。π/2，ππ五、作业七、教学反思ωx+φ)的图象〔二〕教学目标〔一〕知识与技能〔1〕了解三种变换的有关概念；〔2〕能进行三种变换综合应用；〔3〕掌握y=Asin(ωx+φ)+h的图像信息．能运用多种变换综合应用时的图象信息解题．〔三〕情感态度与价值观教学重点：处理三种变换的综合应用时的图象信息．教学难点：处理三种变换的综合应用时的图象信息．教学过程一、复习1.如何由y=sinxA：这个量振动时离开平衡位置的最大距离，称为“振幅〞.T：f：称为“相位〞.x=0时的相位，称为“初相〞.三、应用解析：由图象可知A=2，解1：以点N为第一个零点，那么解2：以点为第一个零点，那么解析式为将点M的坐标代入得解由解得又又为“五点法〞作图得第二个点，那么有四、课堂小结：五、课后作业七、教学反思教学目标〔一〕知识与技能(1)根据图象建立解析式;(2)根据解析式作出图象;(3)2.讲练结合二、应用举例：例1如图，某地一天从6~14y＝Asin(wx＋j)＋b(1)求这一天6~14时的最大温差；(2).例2y＝|sinx|的图象并观察其周期.例3如图，设地球外表某地正午太阳高度角为q，d为此时太阳直射纬度，j为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是q＝90º－|j－d|.当地夏半年d取正值，冬半年d取负值.如果在北京地区(纬度数约为北纬40º)的一幢高为h0的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？例4海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深的关系表：时刻水深/米时刻水深/米时刻水深/米0:005.09:002.518:005.03:007.512:005.021:002.56:005.015:007.524:005.0(精确到0.001).一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米，平安条例规定至少要有1.5米的平安间隙(船底与洋底的距离)，该船何时能进入港口？在港口能呆多久？假设某船的吃水深度为4米，平安间隙为1.5米，该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？“思考〞问题，实际上，在货船的平安水深正好与港口水深相等时停止卸货将船驶向较深的水域是不行的，因为这样不能保证船有足够的时间发动螺旋桨。(1)根据图象建立解析式;(2)根据解析式作出图象;(3)四、补充例题：一半径为3m的水轮如右图所示,水轮圆心O距离水面2m,水轮每分钟转动4圈,如果当水轮上P点从水中浮现时(图中P0)点开始计算时间.P点第一次到达最高点约要多长时间?向量的物理背景与概念及向量的几何表示教学目标：〔一〕知识与技能了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.情感态度与价值观通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.学法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.教学思路：〔一〕一、情景设置：如图，老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？〔画图〕ABABCD分析：老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方向、有长短的量.引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？二、新课学习：〔一〕向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。〔二〕制作成幻灯片〕请同学阅读课本后答复：〔7个问题一次出现〕1、数量与向量有何区别？〔数量没有方向而向量有方向〕2、如何表示向量？3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？〔三〕探究学习A(起点A(起点)B〔终点〕a数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比拟大小；向量有方向，大小，双重性，不能比拟大小.①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ〔黑体，印刷用〕等表示；③用有向线段的起点与终点字母：；④向量的大小―长度称为向量的模，记作||.3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.向量与有向线段的区别：〔1〕向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量；〔2〕有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.4、零向量、单位向量概念：①②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.5、平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.说明：〔1〕综合①、②才是平行向量的完整定义；〔2〕向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.〔四〕理解和稳固：75页例1.例2判断：〔1〕平行向量是否一定方向相同？〔不一定〕〔2〕与任意向量都平行的向量是什么向量？〔零向量〕〔3〕假设两个向量在同一直线上，那么这两个向量一定是什么向量？〔平行向量〕课堂练习：77页练习1、2、3题三、小结：描述向量的两个指标：模和方向.2、平面向量的概念和向量的几何表示；3、向量的模、零向量、单位向量、平行向量等概念。四、课后作业：六、教学反思相等向量与共线向量教学目标：〔一〕知识与技能掌握相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.情感态度与价值观通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.教学重点：理解并掌握相等向量、共线向量的概念，教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.教学思路：一、情景设置：(一)、复习1、数量与向量有何区别？〔数量没有方向而向量有方向〕2、如何表示向量？3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？(二)、新课学习1、有一组向量，它们的方向相同、大小相同，这组向量有什么关系？2、任一组平行向量都可以移到同一直线上吗？这组向量有什么关系？三、探究学习1、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：〔1〕向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；〔2〕零向量与零向量相等；〔3〕任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关.2、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，因为任一组平行向量都可移到同一直线上〔与有向线段的起点无关〕.说明：〔1〕平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；〔2〕共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.四、理解和稳固：例1．如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量、、相等的向量.变式一：与向量长度相等的向量有多少个？〔11个〕变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？〔存在〕变式三：与向量共线的向量有哪些？〔〕例2判断：〔1〕不相等的向量是否一定不平行？〔不一定〕〔2〕与零向量相等的向量必定是什么向量？〔零向量〕〔3〕两个非零向量相等的当且仅当什么？〔长度相等且方向相同〕〔4〕共线向量一定在同一直线上吗？〔不一定〕例3以下命题正确的选项是〔〕A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，那么ａ与c也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量ａ与ｂ不共线，那么ａ与ｂ都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否认形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假假设ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C.课堂练习：1．判断以下命题是否正确，假设不正确，请简述理由.①向量与是共线向量，那么A、B、C、D四点必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD是平行四边形当且仅当＝⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；⑥共线的向量，假设起点不同，那么终点一定不同.解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、在同一直线上.②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.④、⑤正确.⑥不正确.如图与共线，虽起点不同，但其终点却相同.77页练习4题三、小结：描述向量的两个指标：模和方向.2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.3、共线向量与平行向量关系、相等向量。四、课后作业：六、教学反思向量的加法运算及其几何意义教学目标：知识与技能掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；会用向量加法的三角形法那么和平行四边形法那么作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；〔三〕情感态度与价值观教学重点：会用向量加法的三角形法那么和平行四边形法那么作两个向量的和向量.教学难点：理解向量加法的定义.教学思路：一、设置情景：复习：向量的定义以及有关概念强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置情景设置：〔1〕某人从A到B，再从B按原方向到C，那么两次的位移和：〔2〕假设上题改为从A到B，再从B按反方向到C，那么两次的位移和：〔3〕某车从A到B，再从B改变方向到C，那么两次的位移和：ABCABCABCABCABCCAB二、探索研究：１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.２、三角形法那么〔“首尾相接，首尾连〞〕如图，向量a、ｂ.在平面内任取一点，作＝a，＝ｂ，那么向量叫做a与ｂ的和，记作a＋ｂ，即a＋ｂ，规定：a+0-=0+aaaaaAABCa+ba+baabbaｂｂａ＋ｂa探究：〔1〕两向量的和与两个数的和有什么关系？两向量的和仍是一个向量；〔2〕当向量与不共线时，|+|<||+||；什么时候|+|=||+||，什么时候|+|=||－||，当向量与不共线时，+的方向不同向，且|+|<||+||；当与同向时，那么+、、同向，且|+|=||+||，当与反向时，假设||>||，那么+的方向与相同，且|+|=||-||；假设||<||，那么+的方向与相同，且|+b|=||-||.〔3〕“向量平移〞〔自由向量〕：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加OABOABaaabbb作法：在平面内取一点，作，那么.４．加法的交换律和平行四边形法那么问题：上题中+的结果与+是否相同？验证结果相同从而得到：１〕向量加法的平行四边形法那么〔对于两个向量共线不适应〕２〕向量加法的交换律：+=+５．你能证明：向量加法的结合律：(+)+=+(+)吗？6．由以上证明你能得到什么结论？多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.三、应用举例：例二〔P83—84〕略变式1、一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行速度的大小为，求水流的速度.变式2、一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为，船的实际航行的速度的大小为，方向与水流间的夹角是，求和.练习：P84面1、2、3、4题四、小结1、向量加法的几何意义；２、交换律和结合律；３、|+|≤||+||五、课后作业：七、教学反思向量的减法运算及其几何意义教学目标：〔一〕知识与技能：了解相反向量的概念；掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；〔三〕情感态度与价值观：通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物间可以相互转化的辩证思想.教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法.教学难点：减法运算时方向确实定.教学思路：复习：向量加法的法那么：三角形法那么与平行四边形法那么，向量加法的运算定律：例：在四边形中，.解：提出课题：向量的减法用“相反向量〞定义向量的减法〔1〕“相反向量〞的定义：与a长度相同、方向相反的向量.记作a〔2〕规定：零向量的相反向量仍是零向量.(a)=a.任一向量与它的相反向量的和是零向量.a+(a)=0如果a、b互为相反向量，那么a=b，b=a，a+b=0〔3〕向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差.即：ab=a+(b)求两个向量差的运算叫做向量的减法.用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：OabBabab假设b+x=a，那么xOabBabab求作差向量：向量a、b，求作向量ab∵(ab)+b=a+(b)+b=a+0=a作法：在平面内取一点O，作=a，=b那么=ab即ab可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.OABaB’bbbBa+(OABaB’bbbBa+(b)ab2用“相反向量〞定义法作差向量，ab=a+(b)探究：如果从向量a的终点指向向量b的终点作向量，那么所得向量是ba.２〕假设a∥b，如何作出ab？aabAABBB’OabaabbOAOBababBAOb例题：例一、〔P86例三〕向量a、b、c、d，求作向量ab、cd.解：在平面上取一点O，作=a，=b，=c，=d，ABCDObadc作ABCDObadcABABDC例二、平行四边形中，a，b，用a、b表示向量、.解：由平行四边形法那么得：=a+b，==ab变式一：当a，b满足什么条件时，a+b与ab垂直？〔|a|=|b|〕变式二：当a，b满足什么条件时，|a+b|=|ab|？〔a，b互相垂直〕变式三：a+b与ab可能是相等向量吗？〔不可能，∵对角线方向不同〕练习：1。Ｐ87面1、2题2．在△ABC中，=a，=b，那么等于(B)A.a+bB.-a+(-b)C.a-bD.b-a四：小结：向量减法的定义、作图法|五：作业：七、教学反思平面向量根本定理、平面向量的正交分解和坐标表示及运算教学目标〔一〕知识与技能：了解平面向量根本定理；理解平面向量的坐标的概念；〔三〕情感态度与价值观：能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.教学重点：平面向量根本定理.教学难点：平面向量根本定理的理解与应用.向量的坐标表示的理解及运算的准确性.教学过程：复习引入：1．实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ〔1〕|λ|=|λ|||；〔2〕λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ=2．运算定律结合律：λ(μ)=(λμ)；分配律：(λ+μ)=λ+μ，λ(+)=λ+λ3.向量共线定理向量与非零向量共线那么：有且只有一个非零实数λ，使=λ.二、讲解新课：1．思考：〔1〕给定平面内两个向量，，请你作出向量3+2，-2，〔2〕同一平面内的任一向量是否都可以用形如λ1+λ2的向量表示？平面向量根本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2.2．探究：(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一.λ1，λ2是被，，唯一确定的数量OAOABP例1向量，求作向量2.5+3例2此题实质是4．练习1：1.设e1、e2是同一平面内的两个向量，那么有(D)A.e1、e2一定平行B.e1、e2的模相等C.同一平面内的任一向量a都有a＝λe1+μe2(λ、μ∈R)D.假设e1、e2不共线，那么同一平面内的任一向量a都有a=λe1+ue2(λ、u∈R)2.向量a＝e1-2e2，b＝2e1+e2，其中e1、e2不共线，那么a+b与c＝6e1-2e2的关系〔Ｂ〕A.不共线B.共线C.相等D.无法确定３.λ1＞0，λ2＞0，e1、e2是一组基底，且a＝λ1e1+λ2e2，那么a与e1不共线，a与e2不共线．(填共线或不共线).5．向量的夹角:两个非零向量、，作，，那么∠AOB＝，叫向量、的夹角，当=0°，、同向，当=180°，、反向，当=90°，与垂直，记作⊥。6．平面向量的坐标表示〔1〕正交分解：把向量分解为两个互相垂直的向量。〔2〕思考：在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数表示，平面内的每一个向量，如何表示呢？如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量根本定理知，有且只有一对实数、，使得…………eq\o\ac(○,1)我们把叫做向量的〔直角〕坐标，记作…………eq\o\ac(○,2)其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，eq\o\ac(○,2)式叫做向量的坐标表示.与相等的向量的坐标也为.特别地，，，.如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作，那么点的位置由唯一确定.设，那么向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.7．讲解范例：8．课堂练习：P100面第3题。三、小结：〔1〕平面向量根本定理；〔2〕平面向量的坐标的概念；四、课后作业：六、教学反思2．3．3平面向量的坐标运算教学目标〔一〕知识与技能：理解平面向量的坐标的概念；掌握平面向量的坐标运算；〔三〕情感态度与价值观：会根据向量的坐标，判断向量是否共线.教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性.教学过程：一、复习引入：1．平面向量根本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一.λ1，λ2是被，，唯一确定的数量二、讲解新课：1．平面向量的坐标运算思考1：：，，你能得出、、的坐标吗？设基底为、，那么即，同理可得〔1〕假设，，那么，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.〔2〕假设和实数，那么.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.设基底为、，那么，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。思考2：，，怎样求的坐标？〔3〕假设，，那么==(x2，y2)(x1，y1)=(x2x1，y2y1)一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.思考3：你能标出坐标为(x2x1，y2y1)的P点吗？向量的坐标与以原点为始点、点P为终点的向量的坐标是相同的。三、讲解范例：例1=(2，1)，=(-3，4)，求+，-，3+4的坐标.例2平面上三点的坐标分别为A(2，1)，B(1，3)，C(3，4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.解：当平行四边形为ABCD时，由得D1=(2，2)当平行四边形为ACDB时，得D2=(4，6)，当平行四边形为DACB时，得D3=(6，0)例3三个力(3，4)，(2，5)，(x，y)的合力++=，求的坐标.解：由题设++=得：(3，4)+(2，5)+(x，y)=(0，0)即：∴∴(5，1)四、课堂练习：1．假设M(3，-2)N(-5，-1)且，求P点的坐标2．假设A(0，1)，B(1，2)，C(3，4)，那么2=.3．：四点A(5，1)，B(3，4)，C(1，3)，D(5，-3)，求证：四边形ABCD是梯形.五、小结：平面向量的坐标运算；六、课后作业：八、教学反思平面向量的数量积的物理背景及其含义教学目标〔一〕知识与技能1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；1.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题；2.掌握向量垂直的条件.〔三〕情感态度与价值观培养学生多方面的数学素养教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用教学过程：一、复习引入：〔1〕两个非零向量夹角的概念：非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，那么∠ＡＯＢ＝θ〔０≤θ≤π〕叫ａ与ｂ的夹角.说明：〔1〕当θ＝０时，ａ与ｂ同向；〔2〕当θ＝π时，ａ与ｂ反向；〔3〕当θ＝时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；〔4〕注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0≤≤180〔2〕两向量共线的判定〔3〕练习1.假设a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，那么y=〔C〕A.6B.5C.7D.82.假设A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，那么x的值为〔B〕A.-3B.-1C.1D.3〔4〕力做的功：W=|F||s|cos，是F与s的夹角.二、讲解新课：1．平面向量数量积〔内积〕的定义：两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，那么数量|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作ab，即有ab=|a||b|cos，〔０≤θ≤π〕.并规定0向量与任何向量的数量积为0.2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？〔2〕两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积a×b，而a〔3〕在实数中，假设a0，且ab=0，那么b=0；但是在数量积中，假设a0，且ab=0，不能推出b=0.因为其中cos有可能为0.〔4〕实数a、b、c(b0)，那么ab=bca=c.但是ab=bca=c如右图：ab=|a||b|cos=|b||OA|，bc=|b||c|cos=|b||OA|ab=bc但ac(5)在实数中，有(ab)c=a(bc)，但是(ab)ca(bc)显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.2．“投影〞的概念：作图定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为|b|；当=180时投影为|b|.3．向量的数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.探究：两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，1、abab=02、当a与b同向时，ab=|a||b|；当a与b反向时，ab=|a||b|.特别的aa=|a|2或|ab|≤|a||b|cos=探究：平面向量数量积的运算律1．交换律：ab=ba证：设a，b夹角为，那么ab=|a||b|cos，ba=|b||a|cos∴ab=ba2．数乘结合律：(a)b=(ab)=a(b)证：假设>0，(a)b=|a||b|cos，(ab)=|a||b|cos，a(b)=|a||b|cos，假设<0，(a)b=|a||b|cos()=|a||b|(cos)=|a||b|cos，(ab)=|a||b|cos，a(b)=|a||b|cos()=|a||b|(cos)=|a||b|cos.3．分配律：(a+b)c=ac+bc在平面内取一点O，作=a，=b，=c，∵a+b〔即〕在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即|a+b|cos=|a|cos1+|b|cos2∴|c||a+b|cos=|c||a|cos1+|c||b|cos2，∴c(a+b)=ca+cb即：(a+b)c=ac+bc说明：〔1〕一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ〔ｂ·с〕〔2〕ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ〔3〕有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，〔ａ＋ｂ〕〔с＋ｄ〕＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ三、讲解范例：例1．证明：(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２例2．|a|=12，|b|=9，，求与的夹角。例3．|a|=6，|b|=4，a与b的夹角为60o求：〔1〕(a+2b)·(a-3b).〔2〕|a+b|与|a-b|.〔利用〕例4．|a|=3，|b|=4，且a与b不共线，k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直.四、课堂练习：1．P106面1、2、3题。2．以下表达不正确的选项是〔〕A.向量的数量积满足交换律B.向量的数量积满足分配律C.向量的数量积满足结合律D.a·b是一个实数3．|a|=3，|b|=4，向量a+b与a-b的位置关系为〔〕A.平行B.垂直C.夹角为D.不平行也不垂直4．|a|=8，|b|=10，|a+b|=16，求a与b的夹角.五、小结：1．平面向量的数量积及其几何意义；2．平面向量数量积的重要性质及运算律；3．向量垂直的条件.六、作业：八、教学反思平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学目标〔一〕知识与技能1.掌握平面向量数量积运算规律；2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.〔三〕情感态度与价值观培养学生多方面的数学素养教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用教学过程：一、复习引入：1．平面向量数量积〔内积〕的定义：2．两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.1ea=ae=|a|cos；2abab=03当a与b同向时，ab=|a||b|；当a与b反向时，ab=|a||b|.特别的aa=|a|2或4cos=；5|ab|≤|a||b|3．练习：〔1〕|a|=1，|b|=，且(a-b)与a垂直，那么a与b的夹角是〔〕A.60°B.30°C.135°D.４５°〔2〕|a|=2，|b|=1，a与b之间的夹角为，那么向量m=a-4b的模为〔〕A.2B.2C.6D.12二、讲解新课：探究：两个非零向量，，怎样用和的坐标表示？.1、平面两向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即2.平面内两点间的距离公式〔1〕设，那么或.〔2〕如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式)向量垂直的判定设，，那么 两向量夹角的余弦〔〕cos=二、讲解范例：例1A(1，2)，B(2，3)，C(2，5)，试判断△ABC的形状，并给出证明.例2设a=(5，7)，b=(6，4)，求a·b及a、b间的夹角θ(精确到1o)分析：为求a与b夹角，需先求a·b及｜a｜·｜b｜，再结合夹角θ的范围确定其值.例3a＝〔１，〕，b＝〔＋１，－１〕，那么a与b的夹角是多少?分析：为求a与b夹角，需先求a·b及｜a｜·｜b｜，再结合夹角θ的范围确定其值.解：由a＝〔１，〕，b＝〔＋１，－１〕有a·b＝＋１＋〔－１〕＝４，｜a｜＝２，｜b｜＝２．记a与b的夹角为θ，那么ｃｏｓθ＝又∵０≤θ≤π，∴θ＝三、课堂练习：1、P107面1、2、3题2、A(3，2)，B(-1，-1)，假设点P(x，-)在线段AB的中垂线上，那么x=.四、小结：1、2、平面内两点间的距离公式3、向量垂直的判定：设，，那么 课后作业教学反思2.5教学目标〔一〕知识与技能〞三步曲〞；明确平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示.；〔三〕情感态度与价值观让学生深刻理解向量在处理平面几何问题中的优越性.教学重点：“三步曲〞.教学难点：如何将几何等实际问题化归为向量问题.教学过程：一、复习引入：1.两个向量的数量积：2.平面两向量数量积的坐标表示:3.向量平行与垂直的判定:4.平面内两点间的距离公式：5.求模：练习P.106练习第1、2、3题.P.107练习第1、2题.二、讲解新课：例1.AC为⊙O的一条直径，∠ABC为圆周角.求证：∠ABC＝90o.证明：设 例2.如图，AD，BE，CF是△ABC的三条高.求证：AD，BE，CF相交于一点.例3.平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型.如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？思考1：思考2：“三步曲〞：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译〞成几何关系.例4．如图，□ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？三、课堂小结“三步曲〞：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译〞成几何关系.四、课后作业：P.109到P.111;六、教学反思2.5教学目标〔一〕知识与技能；通过对具体问题的探究解决，进一步培养学生的数学应用意识，提高应用数学的能力，体会〔三〕情感态度与价值观数学在现实生活中的作用.教学重点：运用向量的有关知识对物理中的力的作用、速度分解进行相关分析来计算.教学难点：将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题.教学过程：一、复习引入：你能掌握物理中的哪些矢量？向量运算的三角形法那么与四边形法那么是什么？二、讲解新课：例1.在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种形象吗？探究1：(1)q为何值时，||最小，最小值是多少?(2)||能等于||吗?为什么?探究2:你能总结用向量解决物理问题的一般步骤吗?(1)问题的转化：把物理问题转化为数学问题；(2)模型的建立：建立以向量为主体的数学模型；(3)参数的获得：求出数学模型的有关解——理论参数值；(4)问题的答案：回到问题的初始状态，解决相关物理现象.例2.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝500m，一艘船从A处出发到河对岸.船的速度||＝10km/h，水流速度||＝2km/h，问行驶航程最短时，所用时间是多少〔精确到0.1min〕？思考:1.“行驶最短航程〞是什么意思？2.怎样才能使航程最短？三、课堂小结向量解决物理问题的一般步骤:(1)问题的转化：把物理问题转化为数学问题；(2)模型的建立：建立以向量为主体的数学模型；(3)参数的获得：求出数学模型的有关解——理论参数值；(4)问题的答案：回到问题的初始状态，解决相关物理现象.四、课后作业P.111到P.112;教学反思两角差的余弦公式教学目标〔一〕知识与技能通过简单运用。使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和〔差〕公式打好根底.〔三〕情感态度与价值观培养学生多方面的数学素养教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；教学设想：一导入：问题1：我们在初中时就知道

，，由此我们能否得到大家可以猜测，是不是等于呢？根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜测是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式二探讨过程：的终边与单位圆的交点为，等于角与单位圆交点的横坐标，也可以用角的余弦线来表示。思考1：怎样构造角和角？〔注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.〕思考2：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明？〔1〕结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？〔2〕怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？两角差的余弦公式：三例题讲解例1、利用和、差角余弦公式求、的值.解：分析：把、构造成两个特殊角的和、差.，要学会灵活运用.例2、，是第三象限角，求的值.解：因为，由此得又因为是第三象限角，所以所以点评：注意角、思考：此题中没有，呢？四练习：1.不查表计算以下各式的值：解:五小结：两角差的余弦公式，首先要认识公式结构的特征，了解公式的推导过程，熟知由此衍变的两角和的余弦公式.在解题过程中注意角、〔1〕牢记公式〔2〕在“给值求值〞题型中，要能灵活处理已、未知关系．六作业：八、教学反思两角和与差的正弦、余弦、正切公式〔一〕教学目标〔一〕知识与技能理。体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用.〔三〕情感态度与价值观培养学生多方面的数学素养教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.教学设想：一复习式导入：〔1〕大家首先回忆一下两角差的余弦公式：．〔2〕？二新课讲授问题：由两角差的余弦公式，怎样得到两角差的正弦公