11.1 三角形的边（第1课时）（教学课件）-2024-2025学年八年级人教版八年级数学

八年级人教版数学上册第一章三角形11.1与三角形有关的线段第一课时三角形的边1．三角形的定义提出问题（如上图）(1)哪些图形是三角形？①三角形及有关概念新知探究三角形的表示：三角形用符号“△”表示.记作“△ABC”读作“三角形ABC”.如图：线段AB、BC、CA是△ABC的三边；点A、B、C△ABC的三个顶点；∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角.边c边b边a顶点C角角角顶点A顶点BBCA在△ABC中，AB边所对的角是：∠A所对的边是：∠CB

C再说几个对边与对角的关系试试.三角形的对边与对角：5个，它们分别是△ABE,△ABC,△BEC,△BCD,△ECD.(1)图中有几个三角形？用符号表示出这些三角形？

ABCDE(2)以AB为边的三角形有哪些？△ABC、△ABE.（3）以E为顶点的三角形有哪些？△ABE

、△BCE、△CDE.练一练（4）以∠D为角的三角形有哪些？△BCD、△DEC.（5）说出△BCD的三个角和三个顶点所对的边.△BCD的三个角是∠BCD、∠BDC、∠CBD.顶点B所对应的边为DC，顶点C所对应的边为BD，顶点D所对应的边为BC.ABCDE练一练①位置关系：不在同一直线上；②联接方式：首尾顺次相接.三角形应满足以下两个条件：表示方法：三角形用符号“△”表示；记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，除此△ABC还可记作△BCA,△CAB,△ACB等.总结归纳基本要素：三角形的边：边AB、BC、CA；三角形的顶点：顶点A、B、C；三角形的内角(简称为三角形的角）：∠A、∠B、∠C.特别规定：三角形ABC的三边,一般的顶点A所对的边记作a,顶点B所对的边记作b,顶点C所对的边记作c.总结归纳腰不等边三角形等腰三角形等边三角形底边顶角底角问题2：你能找出下列三角形各自的特点吗？三边均不相等有两条边相等三条边均相等三条边各不相等的三角形叫做不等边三角形；有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都相等的三角形叫做等边三角形．思考：等边三角形和等腰三角形之间有什么关系？概念归纳

在A点的小狗，为了尽快吃到B点的香肠，它选择AB路线，而不选择A

CB路线，难道小狗也懂数学？CBAAC+CB>AB（两点之间线段最短）三角形的三边关系新知探究ABC路线1：从A到C再到B的路线走；路线2：沿线段AB走.请问：路线1、路线2哪条路程较短，你能说出根据吗？解：路线2较短；两点之间线段最短.由此可以得到：三角形两边的和大于第三边.三角形两边的差小于第三边.

1.在同一个三角形中,任意两边之和与第三边有什么大小关系?2.在同一个三角形中,任意两边之差与第三边有什么大小关系?3.三角形三边有怎样的不等关系?

通过动手实验同学们可以得到哪些结论?理由是什么？想一想例1有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，用长度为2cm的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？长度为13cm的木棒呢？方法点拨：判断三条线段是否可以组成三角形，只需说明两条较短线段之和大于第三条线段即可.解：取长度为2cm的木棒时，由于2+5=7<8，出现了两边之和小于第三边的情况，所以它们不能摆成三角形.取长度为13cm的木棒时，由于5+8=13，出现了两边之和等于第三边的情况，所以它们也不能摆成三角形.典例剖析例2一个三角形的三边长分别为4，7，x，那么x的取值范围是(

)

A．3＜x＜11B．4＜x＜7C．－3＜x＜11D．x＞3方法点拨：判断三角形边的取值范围要同时运用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．解析：∵三角形的三边长分别为4，7，x，∴7－4＜x＜7＋4，即3＜x＜11.A典例剖析例3如图，D是△ABC的边AC上一点，AD=BD，试判断AC与BC的大小.解：在△BDC中，有BD+DC>BC（三角形的任意两边之和大于第三边）.又因为AD=BD，则BD+DC=AD+DC=AC，所以AC>BC.典例剖析例4根据下列条件，判断△ABC的形状.①∠A=45°，∠B=65°，∠C=70°;②∠C=110°;③∠C=90°;④AB=BC=3，AC=4解：①∵∠A，∠B，∠C都小于90°，

∴△ABC是锐角三角形②∵∠C=110°＞90°，∴△ABC是钝角三角形③∵∠C=90°=90°，∴△ABC是直角三角形④∵AB=BC=3，AC=4，∴△ABC是等腰三角形典例剖析例5下列长度的各组线段能否组成一个三角形？(1)15cm、10cm、7cm(2)4cm、5cm、10cm(3)3cm、8cm、5cm(4)4cm、5cm、6cm(2)因为4cm+5cm<10cm，所以这三条线段不能组成一个三角形.(3)因为3cm+5cm=8cm，所以这三条线段不能组成一个三角形.(1)因为10cm+7cm>15cm，所以这三条线段能组成一个三角形.解：(4)因为4cm+5cm>6cm，所以这三条线段能组成一个三角形.典例剖析技巧点拨只要满足较小的两条线段之和大于第三条线段，或较长线段与最短线段之差小于中间线段，便可构成三角形;若不满足，则不能构成三角形.1.一位同学用三根木棒拼成的图形如下，则其中符合三角形定义的是(

)D练一练2.下列说法：①等边三角形是等腰三角形；②等腰三角形也可能是直角三角形；③三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形；④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．其中正确的有(

)A．1个B．2个C．3个D．4个C练一练3.如图：(1)△ADC的三个顶点分别是_________，三个内角分别是_____________________．(2)在△ABC中，∠C的对边是________；在△AEC中，∠C的对边是________．A、D、C∠C∠DAC∠ADCABAE练一练4.下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？（1）3，4，8（）（2）2，5，6（）（3）5，6，10（）（4）3，5，8（）不能能能不能练一练7.如果等腰三角形的一边长是4cm,另一边长是9cm,则这个等腰三角形的周长为______________.6.如果等腰三角形的一边长是5cm,另一边长是8cm,则这个等腰三角形的周长为______________.5.五条线段的长分别为1cm,2cm,3cm,4cm,5cm,以其中三条线为边长可以构成________个三角形.322cm18cm或21cm练一练8.若三角形的两边长分别是2和7,第三边长为奇数,求第三边的长.解：设第三边长为x,根据三角形的三边关系，可得，7-2＜x＜7+2，即5＜x＜9，又x为奇数，则第三边的长为7.练一练9.若a，b，c是△ABC的三边长，化简|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|.解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，得a－b－c＜0，b－c－a＜0，c＋a－b＞0.∴|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|＝b＋c－a＋c＋a－b＋c＋a－b＝3c＋a－b.练一练例

用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形.(1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？(2)能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？为什么？解：(1)设底边长为xcm，则腰长为2xcm,x+2x+2x=18.解得x=3.6.所以三边长分别为3.6cm、7.2cm、7.2cm.课本例题(2)因为长为4cm的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论.①若底边长为4cm，设腰长为xcm,则有4+2x=18.解得x=7.②若腰长为4cm,设底边长为xcm，则有2×4+x=18.

解得x=10.因为4+4＜10，不符合三角形两边的和大于第三边，所以不能围成腰长是4cm的等腰三角形.由以上讨论可知，可以围成底边长是4cm的等腰三角形.课本练习1.图中有几个三角形？用符号表示这些三角形.ABCDE解：图中有5个三角形．用符号表示为：△ABE，△ABC，△BEC，△EDC，△BDC．2.（口答）下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？（1）3，4，8；（2）5，6，11；（3）5，6，10.解：（1）能．因为3+4＞5，3+5＞4，4+5＞3，符合三角形两边的和大于第三边.

（2）不能．因为5+6=11，不符合三角形两边的和大于第三边.（3）能．因为5+6＞10，10+6＞5，10+5＞6，符合三角形两边的和大于第三边.课本练习不在同一条直线上首尾顺次相接△ABD、△ACD

△ABD、△ABC

分层练习-基础不相等腰和底等边D分层练习-基础大于小于是否大于3＜x＜13C分层练习-基础5或9分层练习-基础BD分层练习-巩固C7350＜a＜12b＞2分层练习-巩固分层练习-巩固分层练习-巩固分层练习-巩固分层练习-拓展11.1与三角形有关的线段11.1.1三角形的边请你根据小学认识的三角形，判断下列图形是不是三角形．问题×××√(一)三角形的相关概念（1）由三条线段组成；（2）三条线段不在同一条直线上；（3）三条线段首尾顺次相接．你能说出三角形有哪些特征吗？由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．思考位置关系联接方式(一)三角形的相关概念A

B

C

三角形用符号“△”表示，如左图的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”.注意：表示三角形时，字母没有先后顺序.

如图，组成三角形的三条线段叫做三角形的边，它们的公共端点叫做三角形的顶点，相邻两边组成的角(图中∠A、∠B、∠C)叫做三角形的内角，简称角.A

B

C

边

内角

顶点

(一)三角形的相关概念A

B

C

一般情况下，我们把边BC叫做

A的对边，AC、AB叫

A的邻边；边AC叫

B的对边，AB、BC叫

B的邻边；边AB叫

C的对边，AC、BC叫

C的邻边.

△ABC的三边也可以用a，b，c表示；顶点A所对应的边BC用

表示，顶点B所对应的边AC用

表示，顶点C所对应的边AB用

表示.abc(一)三角形的相关概念

a

b

c跟踪训练（见课本第4页）找一找：(1)图中有几个三角形？用符号表示出这些三角形？

ABCDE5个，它们分别是△ABE,△ABC,△BEC,△BCD,△ECD.(2)以AB为边的三角形有哪些？△ABC、△ABE.（3）以E为顶点的三角形有哪些？△ABE

、△BCE、△CDE.（4）以∠D为角的三角形有哪些？△BCD、△DEC.（5）说出△BCD的三个角和三个顶点所对的边.△BCD的三个角是∠BCD、∠BDC、∠CBD.顶点B所对应的边为DC，顶点C所对应的边为BD，顶点D所对应的边为BC.(二)三角形的分类观察下列三角形，它们有何特殊之处？试着说出它们的名称．问题三边都相等的三角形叫做等边三角形，如图（1）；有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，如图（2）;图（3）中的三角形是三边都不相等的三角形．ABCABCABC（1）（2）（3）(二)三角形的分类在等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角．等边三角形是特殊的等腰三角形，即底边和腰相等的等腰三角形．ABCABC（1）（2）等腰三角形的边还有其他名称吗？等腰三角形与等边三角形有何联系？问题腰腰顶角底边底角底角(二)三角形的分类如何按照边的关系对三角形进行分类呢？思考三角形三边都不相等的三角形等腰三角形底和腰不相等的等腰三角形等边三角形三边都不相等的三角形等腰三角形等边三角形三角形(二)三角形的分类如何按照三个内角的大小对三角形进行分类呢？直角三角形锐角三角形钝角三角形思考跟踪训练1.判断：（2）等边三角形是特殊的等腰三角形.（）（1）一个钝角三角形一定不是等腰三角形.（）√×（3）等腰三角形的腰和底一定不相等.（）×（4）等边三角形是锐角三角形.（）（5）直角三角形一定不是等腰三角形.（）×√跟踪训练2.已知△ABC的三边长分别是a，b，c，且(a－b)(b－c)(c－a)＝0，则△ABC是()A.

等腰三角形B.

等边三角形C.

三边都不相等的三角形D.底边和腰不相等的等腰三角形A(三)三角形的三边关系任意画一个△ABC，从点B出发，沿三角形的边到点C，有几条线路可以选择？各条线路的长有什么关系？能证明你的结论吗？探究ABC有两条线路可以选择：一条线路是由点B到点C；另一条线路是由点B到点A，再由点A到点C．两条线路的长分别是BC，

AB＋AC．由“两点之间，线段最短”可以得到AB＋AC＞BC．(三)三角形的三边关系探究AB＋AC＞BC，即三角形两边的和大于第三边．观察下列动图，试着说出你的发现．(三)三角形的三边关系观察下列动图，试着说出你的发现．探究AC＞BC－AB，即三角形两边的差小于第三边．(三)三角形的三边关系ABC对于任意一个△ABC，如果把其中任意两个顶点（例如B，C）看成定点，由“两点之间，线段最短”可得探究

AB＋AC＞BC，

①同理，AC＋BC＞AB，②

AB＋BC＞AC．③

即三角形两边的和大于第三边．

由不等式②③移项可得

BC＞AB－AC，BC＞AC－AB．

即三角形两边的差小于第三边．(三)三角形的三边关系典例精析例1.判断下列长度的三条线段能否拼成三角形？为什么？（1）3，8，4；（2）5，6，11；（3）5，6，10.

判断三条线段是否可以组成三角形，只需说明两条较短线段之和大于第三条线段即可.解：（1）不能，因为3+4<8；（2）不能，因为5+6=11；（3）能，因为5+6>10.归纳针对训练一根木棒长为7，另一根木棒长为2，那么用长度为4的木棒能和它们拼成三角形吗？长度为11的木棒呢？若不能拼成，则第三条边应在什么范围呢？设x为三角形第三条边的长，则有两边之差＜x＜两边之和.解：设第三边长为x，则应有7-2<x<7+2，即5<x<9.归纳则用长度为4的木棒不能和它们拼成三角形，长度为11的木棒也不能和它们拼成三角形.第三边长的范围为5<x<9.(三)三角形的三边关系(三)三角形的三边关系

例2用一条长为18

cm

的细绳围成一个等腰三角形．（1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？解：设底边长为x

cm，则腰长为2x

cm．

x＋2x＋2x＝18．解得x＝3.6．所以三边长分别为3.6

cm，7.2

cm，7.2cm．(三)三角形的三边关系

例2用一条长为18

cm

的细绳围成一个等腰三角形．（2）能围成有一边的长为4cm的等腰三角形吗？为什么？

分析：因为长为4cm

的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论．

(三)三角形的三边关系

解：如果4cm长的边为底边，设腰长为x

cm，则

4＋2x＝18

，解得x＝7．如果4cm长的边为腰，设底边长为xcm，则

4×2＋x＝18，解得

x＝10．因为4＋4＜10，不符合三角形两边之和大于第三边，所以不能围成腰长为4cm

的等腰三角形．由以上讨论