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第第页2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二考研真题与全面解析(Word版)一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1.若,则()(A)(B)(C)(D)【答案】()【解析】由重要极限可得,因此,或用“洛必达”:,故,选(B).2.下列函数中在处不可导的是()(A)(B)(C)(D)【答案】()【解析】根据导数定义,A.,可导;B.,可导;C.,可导;D.,极限不存在。故选().3.设函数,,若在上连续,则().(A)(B)(C)(D)【答案】()【解析】令,则因为函数连续,所以极限值等于函数值,即,故选(D).4.设函数在上二阶可导。且,则()(A)当时,(B)当时,(C)当时,(D)当时,【答案】()【解析一】有高于一阶导数的信息时,优先考虑“泰勒展开”。从选项中判断,展开点为。将函数在处展开,有,其中。两边积分,得,由于,所以,应选(D).【解析二】排除法。(A)错误。令,易知,,但是。(B)错误。令,易知,,但是。(C)错误。令,易知,,但是。故选(D).5.设,,,则()(A)(B)(C)(D)【答案】()【解析】积分区间是对称区间,先利用对称性化简,能求出积分最好,不能求出积分则最简化积分。,,令,则,当时,,当时,,故对,有,因而,,故。应选().6.()(A)(B)(C)(D)【答案】()【解析】还原积分区域,如图所示:积分区域关于轴对称,被积函数中关于是奇函数,所以,故选(C)。7.下列矩阵中阵,与矩阵相似的是()(A)(B)(C)(D)【答案】()【解析】记矩阵,则秩,迹,特征值(三重)。观察四个选项,它们与矩阵的秩相等、迹相等、行列式相等,特征值也相等,进一步分析可得:,,,。如果矩阵与矩阵相似,则必有与相似(为任意常数),从而),故选(A),8.设是阶矩阵,记为矩阵的秩,表示分块矩阵,则()(A)(B)(C)(D)【答案】()【解析】把矩阵按列分块,记,则向量组可以由向量组线性表出,从而与,,等价,于是,故选()。,二、填空题:914小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.9.若。【答案】1.【解析】【方法一】由拉格朗日中值定理可得其中,可知,而,根据夹逼定理可得,。【方法二】型未定式的极限必须化成商式。。10.曲线在其拐点处的切线方程为。【答案】.【解析】函数的定义域为,,;。令,解得,而,故点是曲线唯一的拐点。曲线在该点处的斜率,所以切线方程为。11.;【答案】。【解析】。12.曲线,在对应处的曲率。【答案】。【解析】有参数方程求导公式可知,,故曲率,代入,可得。13.设函数由方程确定,则。【答案】。【解析】方程两边同时对求导,得,将代入原方程可得,整理可得。14.设为3阶矩阵,为线性无关的向量组,,,,则的实特征值为。【答案】.【解析】,令,则,可逆,故相似于,于有相同的特征值。解得矩阵的实特征值为。,三、解答题:15—23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本题满分10分)求不定积分.【解析】16.(本题满分10分)已知连续函数满足(I)求;(II)若在区间上的平均值为,求的值。【解析】令,则,从而,原方程化为,等式两边对求导,得,且,由于连续,可知可导,进而有可导。上式再求导可得。由一阶线性微分方程的通解公式可得,将代入,解得,于是有。(II)根据题意可知,将代入,可得。17.(本题满分10分)设平面区域由曲线与围成,计算二重积分。【解析】画积分区域的草图,化二重积分为二次积分,利用边界曲线方程换元,,其中,,故。18.(本题满分10分)已知常数,证明:。【分析】该题的本质是:证明“大于号左边式子构成的函数的最小值为0”。由于左边式子是两个因式的乘积且较为简单,因此只需要以的正负来论证另一个因式的各种变化即可。【证明】当(的定义域是)时,仅需证;当时,仅需证。令,则,令,则。(1)当时,单调递减,,从而,单调递增,于是有,命题成立。(2)当时,;当时,。故在内的最小值在取得,而,因此,当时,,从而,且仅在处可能有。于是,当时,单调递增,,也即。综上所述,对任意的,均有。19.(本题满分10分)将长为的铁丝分成三段,依次围成圆、正方形与正三角形,三个图形的面积之和是否存在最小值?若存在,求出最小值。【答案】面积之和存在最小值,。【解析】设圆的半径为,正方形的边长为,三角形的边长为,则,三个图形的面积之和为,则问题转化为“在条件,下,求三元函数的最小值”。令解方程组,得到唯一驻点由实际问题可知,最小值一定存在,且在该驻点处取得最小值。最小面积和为.20.(本题满分11分)已知曲线,点,点。设是上的动点,直线与直线及曲线所围图形的面积。若运动到点时沿轴方向的速度是,求此时关于时间的变化率。【解析】画草图,可以看出所求面积等于一个梯形面积减去一个曲边三角形(空白部分)面积。设时刻,动点的坐标为,则面积,所求变化率为。21.(本题满分10分)设数列满足。证明收敛,并求。【证明一】因为,所以。根据拉格朗日中值定理,存在,使得,即,因此。完全类似,假设,则,即,故数列单调减少且有下界,从而数列收敛。设,在等式两边取极限,得,解方程得唯一解,故。【证明二】首先证明数列有下界,即证明:当时,。根据题设,由可知;假设当时,;则当时,,其中,可知。根据数学归纳法,对任意的,。再证明数列的单调性:,(离散函数连续化)设,则当时,,单调递减,,即。从而,故,即数列的单调递减。综上,数列的单调递减且有下界。由单调有界收敛原理可知收敛。设,在等式两边同时令,得,解方程得唯一解,故。22.(本题满分11分)设二次型,其中是参数。(I)求的解;(II)求的规范型。【解析】(I)由可得对上述齐次线性方程组的系数矩阵作初等行变换得当时,只有零解:。当时,,有非零解:,为任意常数。(II)当时,若不全为0,则二次型恒大于0,即二次型为正定二次型,其规范型为。当时,二次型对应的实对称矩阵,其特征方程为解得特征值,可知二次型的规范型为。23.(本题满分11分)设是常数,且矩阵可经过初等列变换化为矩阵。(I)求;(II)求满足的可逆矩阵?【解析】(I)由于矩阵的初等变换
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