2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二考研真题及答案解析

第第页2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二考研真题与全面解析（Word版）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1.若，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】()【解析】由重要极限可得，因此，或用“洛必达”：，故，选（B）.2.下列函数中在处不可导的是（）（A）（B）（C）（D）【答案】()【解析】根据导数定义，A.，可导；B.,可导；C.，可导；D.，极限不存在。故选（）.3.设函数，，若在上连续，则（）.（A）（B）（C）（D）【答案】（）【解析】令，则因为函数连续，所以极限值等于函数值，即，故选（D）.4.设函数在上二阶可导。且，则（）（A）当时，（B）当时，（C）当时，（D）当时，【答案】（）【解析一】有高于一阶导数的信息时，优先考虑“泰勒展开”。从选项中判断，展开点为。将函数在处展开，有，其中。两边积分，得，由于，所以，应选（D）.【解析二】排除法。（A）错误。令，易知，，但是。（B）错误。令，易知，，但是。（C）错误。令，易知，，但是。故选（D）.5.设，，，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】（）【解析】积分区间是对称区间，先利用对称性化简，能求出积分最好，不能求出积分则最简化积分。，，令，则，当时，，当时，，故对，有，因而，，故。应选（）.6.（）（A）（B）（C）（D）【答案】（）【解析】还原积分区域，如图所示：积分区域关于轴对称，被积函数中关于是奇函数，所以，故选（C）。7.下列矩阵中阵，与矩阵相似的是（）（A）（B）（C）（D）【答案】（）【解析】记矩阵，则秩，迹,特征值（三重）。观察四个选项，它们与矩阵的秩相等、迹相等、行列式相等，特征值也相等，进一步分析可得：,，,。如果矩阵与矩阵相似，则必有与相似（为任意常数），从而），故选（A）,8.设是阶矩阵，记为矩阵的秩，表示分块矩阵，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】（）【解析】把矩阵按列分块，记，则向量组可以由向量组线性表出，从而与，，等价，于是，故选（）。,二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.9.若。【答案】1.【解析】【方法一】由拉格朗日中值定理可得其中，可知，而，根据夹逼定理可得，。【方法二】型未定式的极限必须化成商式。。10.曲线在其拐点处的切线方程为。【答案】.【解析】函数的定义域为，，；。令，解得，而，故点是曲线唯一的拐点。曲线在该点处的斜率，所以切线方程为。11.；【答案】。【解析】。12.曲线，在对应处的曲率。【答案】。【解析】有参数方程求导公式可知，，故曲率，代入，可得。13.设函数由方程确定，则。【答案】。【解析】方程两边同时对求导，得，将代入原方程可得，整理可得。14.设为3阶矩阵，为线性无关的向量组，，，，则的实特征值为。【答案】.【解析】，令,则,可逆，故相似于，于有相同的特征值。解得矩阵的实特征值为。,三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分10分）求不定积分.【解析】16.（本题满分10分）已知连续函数满足（I）求；（II）若在区间上的平均值为，求的值。【解析】令，则，从而，原方程化为，等式两边对求导，得，且，由于连续，可知可导，进而有可导。上式再求导可得。由一阶线性微分方程的通解公式可得，将代入，解得，于是有。（II）根据题意可知，将代入，可得。17.（本题满分10分）设平面区域由曲线与围成，计算二重积分。【解析】画积分区域的草图，化二重积分为二次积分，利用边界曲线方程换元，，其中，，故。18.（本题满分10分）已知常数，证明：。【分析】该题的本质是：证明“大于号左边式子构成的函数的最小值为0”。由于左边式子是两个因式的乘积且较为简单，因此只需要以的正负来论证另一个因式的各种变化即可。【证明】当（的定义域是）时，仅需证；当时，仅需证。令，则，令，则。（1）当时，单调递减，，从而，单调递增，于是有，命题成立。（2）当时，；当时，。故在内的最小值在取得，而，因此，当时，，从而，且仅在处可能有。于是，当时，单调递增，，也即。综上所述，对任意的，均有。19.（本题满分10分）将长为的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形，三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值。【答案】面积之和存在最小值，。【解析】设圆的半径为，正方形的边长为，三角形的边长为，则，三个图形的面积之和为，则问题转化为“在条件，下，求三元函数的最小值”。令解方程组，得到唯一驻点由实际问题可知，最小值一定存在，且在该驻点处取得最小值。最小面积和为.20.（本题满分11分）已知曲线，点,点。设是上的动点，直线与直线及曲线所围图形的面积。若运动到点时沿轴方向的速度是，求此时关于时间的变化率。【解析】画草图，可以看出所求面积等于一个梯形面积减去一个曲边三角形（空白部分）面积。设时刻，动点的坐标为，则面积，所求变化率为。21.（本题满分10分）设数列满足。证明收敛，并求。【证明一】因为，所以。根据拉格朗日中值定理，存在，使得，即，因此。完全类似，假设，则，即，故数列单调减少且有下界，从而数列收敛。设，在等式两边取极限，得，解方程得唯一解，故。【证明二】首先证明数列有下界，即证明：当时，。根据题设，由可知；假设当时，；则当时，，其中，可知。根据数学归纳法，对任意的，。再证明数列的单调性：，(离散函数连续化)设，则当时，，单调递减，，即。从而，故，即数列的单调递减。综上，数列的单调递减且有下界。由单调有界收敛原理可知收敛。设，在等式两边同时令，得，解方程得唯一解，故。22.（本题满分11分）设二次型，其中是参数。（I）求的解；（II）求的规范型。【解析】（I）由可得对上述齐次线性方程组的系数矩阵作初等行变换得当时，只有零解：。当时，，有非零解：，为任意常数。（II）当时，若不全为0，则二次型恒大于0，即二次型为正定二次型，其规范型为。当时，二次型对应的实对称矩阵，其特征方程为解得特征值，可知二次型的规范型为。23.（本题满分11分）设是常数，且矩阵可经过初等列变换化为矩阵。(I)求；（II）求满足的可逆矩阵？【解析】（I）由于矩阵的初等变换