机械控制理论基础 课件 第4章 控制系统的瞬态响应与误差分析

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Chapter4

Thetransientresponse&erroranalysisofControlSystems

控制系统的瞬态响应与误差分析FundamentalsofMechanicalControl机械控制理论基础2主要内容(MainContents)时间响应

(timeresponse)一阶系统的时间响应(timeresponseofthefirst-ordersystem)二阶系统的时间响应(timeresponseofthesecond-ordersystem)高阶系统动态分析(dynamicanalysisofhigh-ordersystems)瞬态响应的性能指标(thepropertiesoftransientresponse)系统误差分析(erroranalysisofcontrolsystems)3系统分析方法时域分析方法(time-domainmethod)频域分析方法(frequency-domainmethod)时域分析采用的输入信号（激励信号）：单位脉冲函数、单位阶跃函数、单位斜坡函数、单位加速度函数。频域分析采用的输入信号：正弦函数或余弦函数。44.1时间响应的概念

(Theconceptoftimeresponse)系统在输入作用下，其输出量随时间变化的函数关系，即系统的时间响应。典型的输入信号：阶跃函数1(t)，脉冲函数δ(t)，斜坡函数t，加速度函数线性系统时间响应的数学表达式就是其微分方程式的解。51.时间响应的分类：说明：本章讨论系统的时间响应，均在系统是稳定系统的前提下。有关系统稳定性的问题，在后续章节研究。按响应的不同时段，分为瞬态响应：在输入作用下系统输出从初始状态到稳定状态的响应过程稳态响应：在输入作用下系统在时间趋于无穷大时的输出状态。零输入响应：无输入时由系统初始状态（系统初始时刻储能）引起的输出零状态响应：系统初始状态为零，仅由系统外加输入引起的输出按输入形式，分为自然响应：由系统自身的结构参数决定的输出，即微分方程的通解部分强迫响应：由外加输入所决定的输出，即微分方程的特解部分按响应来源，分为6瞬态响应与稳态响应瞬态响应(transientresponse)：当系统受到外加作用激励后，从初始状态到最后状态的响应过程称为瞬态响应。如图4-1所示，当系统在单位阶跃信号激励下在0到时间内的响应过程为瞬态响应。稳态响应(steadystateresponse)：时间趋于无穷大时，系统的输出状态称为稳态响应。如图4-1中，当时的稳态输出。瞬态响应反映了系统的动态性能，而稳态响应偏离系统希望值的程度反映了系统的精确程度。72．脉冲响应函数（或权函数weightfunction）系统受到一个单位脉冲激励（输入）时所产生的响应（输出）即脉冲响应函数。

当，；

上式表明，系统对输入信号积分的响应，等于系统对该输入信号响应的积分。该结论是线性定常系统的重要特性，但不适用于线性时变及非线性系统。当，8当为任意函数时它提供了一个极为简单而重要的利用实验方法来建立系统数学模型的理论及实验基础。

9例4-1系统的单位脉冲响应函数为系统输入如图4-5所示，求系统的输出利用卷积分和拉氏变换两种方法做104.2一阶系统的时间响应一阶系统传递函数的一般形式为

典型一阶系统的方块图及其简化形式如图4-9（a），(b)所示。T称为一阶系统的时间常数(timeconstant)，是反映一阶系统固有特性的参数，与外界无关。11图4-8略去质量的弹簧－阻尼系统一阶系统的实例：

图4-7转动环节

12一阶系统的单位阶跃响应

当输入为单位阶跃函数，即

则有

进行拉氏反变换，可得

13[例]如图所示为实验获得的单位阶跃响应曲线，可辨识系统参数

一阶系统参数对系统性能的影响

14一阶系统的单位脉冲响应

当输入为单位脉冲函数，即

则有

进行拉氏反变换，可得

15一阶系统的单位斜坡响应

当输入为单位斜坡函数，即

则有

进行拉氏反变换，可得

对其求导，可得

这正是其单位阶跃响应。

164.3二阶系统的时间响应二阶系统传递函数的一般形式为

典型二阶系统的方块图及其简化形式如图4-14（a），(b)所示。式中，称为无阻尼固有频率，称为阻尼比。它们是二阶系统的特征参数,表明系统本身的固有特性。

17例：如图所示弹簧－质量－阻尼系统

182.二阶系统的特征根分布二阶系统的特征方程为

特征根为

当阻尼比为不同取值时的特征根分布为

193.二阶系统的单位阶跃响应⑴欠阻尼情况（）

此时二阶系统的特征方程有一对共轭复根

当输入为单位阶跃时，输出为

其响应为：

衰减振荡

203.二阶系统的单位阶跃响应（2）零阻尼情况（）

此时二阶系统的特征方程有一对共轭虚根

当输入为单位阶跃时，输出为

其响应为：

等幅振荡

213.二阶系统的单位阶跃响应（3）临界阻尼情况（）

此时二阶系统的特征方程有两个相等实根

当输入为单位阶跃时，输出为

其响应为：

无振荡

223.二阶系统的单位阶跃响应（4）过阻尼情况（）

此时二阶系统的特征方程有两个不同实根

当输入为单位阶跃时，输出为

其响应为：

无振荡

233.二阶系统的单位阶跃响应244.二阶系统的单位脉冲响应当输入为单位脉冲函数时此时二阶系统的响应，可以由拉普拉斯变换求，也可以对其相应阻尼情况下的单位阶跃响应微分求得。此处不再详述。用MATLAB画出二阶系统的单位脉冲响应如下图：254.二阶系统的单位脉冲响应264.4高阶系统的时间响应一般情况下，我们将三阶或三阶以上的系统称为高阶系统。本节主要定性分析极点对高阶系统响应的影响。

设高阶系统的闭环传递函数可写成如下形式

在单位阶跃信号作用下，可以求得高阶系统的时间响应为27闭环主导极点

一般地说，所谓闭环主导极点是指在系统的所有闭环极点中，距离虚轴最近且周围没有闭环零点的极点，而所有其它极点都远离虚轴。闭环主导极点对系统响应起主导作用，其它极点的影响在近似分析中则可忽略不计。

从系统设计角度来讲，一般希望系统既有较快的响应速度，又有较好的稳定性，因此通常闭环主导极点为一对共轭复数极点：

此时，高阶系统的时间响应可以由这一对共轭复数主导极点所确定的二阶系统的时间响应来近似。

28例4-2

已知系统的传递函数分别为三个系统的极点分别为：29用MATLAB画时间响应曲线closeall;clear;clc;%输入参数num0=[1];den0=[1,1,1];den1=conv([0.1,1],[1,1,1]);den2=conv([5,1],[1,1,1]);Gs0=tf(num0,den0);Gs1=tf(num0,den1);Gs2=tf(num0,den2);%求阶跃响应t=[0:0.4:30];[y0,t]=step(Gs0,t);[y1,t]=step(Gs1,t);[y2,t]=step(Gs2,t);%绘制响应曲线figure(1);plot(t,y0,'b‘,t,y1,‘ro',t,y2,'kx');gridon;xlabel('时间/s');ylabel('输出');30用MATLAB求其单位阶跃响应曲线如图所示。

314.5系统的瞬态性能指标一般对机械工程系统有三方面的性能要求，即稳定性、快速性及准确性。

有关稳定性将在第6章介绍；系统的准确性则以本章论述的误差来衡量；本章讨论的系统瞬态响应反映了系统本身的动态性能，表征系统的相对稳定性和快速性。

32通常，在以下假设前提下来定义系统瞬态响应（也称过渡过程）的性能指标：（1）系统在单位阶跃信号作用下的瞬态响应；（2）初始条件为零，即在单位阶跃输入作用前，系统处于静止状态，输出量及其各阶导数均等于零。1．瞬态响应的性能指标之所以选择单位阶跃作为输入，因为阶跃输入对于系统来说，工作状态较为恶劣，如果系统在阶跃信号作用下有良好的性能指标，则对其它各种形式输入就能满足使用要求。

33延迟时间(delaytime)上升时间(risetime)峰值时间(peaktime)超调量(percentovershoot)调整时间(settlingtime)

1．瞬态响应的性能指标342.

二阶系统瞬态响应的性能指标（1）上升时间tr即：令因为所以得当一定，当一定，35（2）峰值时间即：36（3）超调量Mp超调量Mp只与阻尼比有关，而与固有频率无关。一般希望，此时超调量为25%~1.5%。定义37（4）调整时间ts

根据定义即取近似可得38在欠阻尼时，当当39（5）振荡次数N在过渡过程时间0≤t≤ts内，c(t)穿越其稳态值c(∞)的次数的一半定义为振荡次数。

40总结：二阶系统参数对系统性能的影响①当系统阻尼比ξ一定，ωn↑时，不变，↓，↓，↓，系统响应的快速性（灵敏性）↑，反之…②当ωn一定，ξ（0<ξ<1）↑时，↓，↓，↑，↑，即

系统相对稳定性↑，但快速性（灵敏性）↓；反之…，一般设计时取ξ=0.4~0.8，此时超调量为25%~1.5%③最佳阻尼比ξ=0.707④在分析和设计二阶系统时，应综合考虑系统响应的快速性和相对稳定性，一般先根据超调量要求确定ξ，然后调整ωn使其满足系统快速性要求41二阶系统特征根变化对系统性能的影响42①系统阻尼比ξ一定，Mp不变，ωn↑②系统ts不变，ξ↓，ωn↑③系统tp不变，ξ↑

，ωn↑43Examples例4-3已知求单位阶跃信号输入时的44例4-4如图为在质量块m上施加3N阶跃力后的时间响应，求系统的m，k和B值。Examples45解：由图可知

4647例4-5 有一位置随动系统，其方块图如图4-23（a）所示。当系统输入单位阶跃函数时，要求，（1）校核该系统的各参数是否满足要求；（2）在原系统中增加一微分负反馈如图4-23（b）所示。求满足要求时的微分负反馈时间常数。Examples48加入微分反馈前加入微分反馈后493．零点对系统瞬态响应的影响以二阶系统为例:典型含零点的欠阻尼二阶系统的传递函数为：该系统在典型二阶系统基础上增加了一个零点

上式可改写为

则其单位阶跃响应为50例4-6

一位置伺服系统如图4-24所示。为了提高系统的阻尼分别在前向通道和反馈通道采用比例加微分控制器。试分别求各系统阻尼比、无阻尼自然频率，以及单位阶跃响应的超调量、峰值时间、调整时间

51解：（1）由图4-24（a）可得系统的闭环传递函数为其52（2）由图4-24（b）可得闭环传递函数为其53（3）由图4-24（c）可知系统的闭环传递函数为其当输入信号为单位阶跃函数，即时

其响应可表达为54其中55用MATLAB画出单位阶跃响应曲线如图所示。

56例4-7已知二阶系统传递函数为：试分别用MATLAB求其单位阶跃响应。并表示在同一图上，分析零点的影响。57用MATLAB画出单位阶跃响应曲线如图所示。

58结论：闭环零点对二阶系统响应的影响主要有以下几方面：①零点的加入使系统超调量增大，而上升时间，峰值时间减小；②当附加零点愈靠近虚轴，其对系统响应的影响愈大；③当附加零点与虚轴距离很大时，则其影响可以忽略。591

误差的基本概念3

稳态误差系数与稳态误差4

扰动作用下的稳态误差5

提高稳态精度的措施偏差与误差4.6控制系统的误差分析2

系统结构（类型）60偏差与误差偏差误差611)只有当H(s)=1时，误差才等于偏差。2)通常控制系统的“误差分析”，分析的是系统的偏差E(s)，因为偏差相对来说易于测量。3)本章误差分析同样也是分析系统的偏差的。确切一点说，是要详细分析讨论不同类型的系统在不同的输入信号作用下的系统偏差。说明62造成误差的原因*本节所讨论的误差与稳态误差，指的是没有随机干扰、元件也是理想的线性元件情况下，由系统本身结构和施加的输入信号类型所导致的误差（原理性误差）随机干扰-系统随机误差系统结构（类型）的不同输入信号（包括确定的干扰信号）的不同机械系统中的摩擦、磨损、变形以及间隙等（非线性因素）-系统结构性误差原理性误差63误差（error）：系统响应e(t)（即刚才所讲的偏差!!）稳态误差（steadystateerror）：瞬态过程结束后误差e(t)的稳态分量控制信号作用下扰动作用下1.

误差的基本概念64系统在控制信号作用下的稳态误差稳态误差：瞬态过程结束后误差e(t)的稳态分量误差传递函数误差函数终值定理65系统在扰动作用下的稳态误差稳态误差：瞬态过程结束后误差eN(t)的稳态分量干扰误差传递函数干扰产生的误差66稳态误差测试信号

单位阶跃输入单位斜坡输入单位抛物线输入

工程上通常选用三种输入信号来评测系统的稳态误差：阶跃（step）信号，斜坡（ramp）信号，抛物线（parabola）信号67

阶跃输入信号代表一个给定位置，适用于评测控制系统定位跟踪一个静态目标的能力。如卫星对地同步轨道定位系统，天线定位控制系统等，都是用阶跃信号测试定位精度的典型例子。

斜坡输入表示对一个位置控制系统输入一个匀速信号，信号幅值呈线性增长。斜坡信号适用于测试控制系统跟随线性增长信号（即匀速信号)的能力。例如，某位置控制系统要跟踪一个匀速穿越天空的卫星，就可以用斜坡信号来测试计算卫星角度位置与控制系统的角位置之间偏差。

抛物线信号，其二阶导数是常数，表示对一个位置控制系统输入一个匀加速目标信号，用以测试其稳态误差性能。如跟踪导弹目标三种测试信号的应用

68

：0型系统：I型系统 ：II型系统2.系统结构（系统类型）由开环传递函数定义系统的类型与开环增益：:开环增益

影响稳态误差的因素：输入、干扰，开环增益以及系统结构。69稳态误差3.

静态(稳态）误差系数与稳态误差其中所以系统的类型、开环增益以及输入都会对稳态误差产生影响。

为系统的类型，为开环增益

：0型系统：I型系统 ：II型系统稳态误差系数和稳态误差70静态(稳态）误差系数当输入单位阶跃信号当输入单位斜坡信号当输入单位抛物线信号静态位置误差系数：静态速度误差系数：静态加速度误差系数：710型系统的稳态误差0型阶跃输入的有差系统()72I型系统的稳态误差()I型斜坡输入的有差系统73II型系统的稳态误差II型抛物线输入的有差系统()74稳态误差系数和稳态误差不同系统在不同的控制信号作用下减小和消除稳态误差方法提高系统的开环增益增加开环传递函数中积分环节不利于系统的稳定性75尽管将阶跃输入、速度输入及加速度输入下系统的误差分别称之为位置误差、速度误差和加速度误差，但对速度误差、加速度误差而言并不是指输出与输入的速度、加速度不同，而是指输出与输入之间存在一确定的稳态位置偏差。如果输入量非单位量时，其稳态误差按比例增加。例1、例2系统在多个信号共同作用下总的稳态误差等于多个信号单独作用下的稳态误差之和。注意:76例1：I型单位反馈系统的开环增益K=600s-1,系统最大跟踪速度

max=24/s，求系统在最大跟踪速度下的稳态误差。解：单位速度输入下的稳态误差I型系统系统的稳态误差为77例2：阀控油缸伺服工作台要求定位精度为0.05cm,该工作台最大移动速度vmax=10cm/s，若系统为I型，试求系统开环增益。解：单位速度输入下的稳态误差为系统的开环增益784.扰动作用下的稳态误差当误差是从输入端定义的79如果系统，则

1）增加扰动作用点前的增益，可以减少稳态误差。2）在扰动作用点前的传递函数G1(s)中增加积分环节，可以完全消除扰动作用引起的稳态误差。所以，为降低由干扰引起的稳态误差，我们可以：

80例:求系统在单位斜坡输入和单位阶跃扰动作用下的稳态误差在R(s)

单独作用下（N(s)=0）在扰动单独作用下（R(s)=0）81比例积分环节提高稳态精度闭环回路提高稳态精度输入量补偿的复合控制干扰量补偿的复合控制5.

提高稳态精度的措施82控制器G1(s)的放大系数拢动误差

阻尼

振荡

求在单位阶跃扰动作用下的扰动误差essN比例积分环节提高稳态精度83求在单位阶跃扰动作用下的扰动误差essN。84比较两个系统，在单位阶跃输入信号下的稳态误差。闭环回路提高稳态精度85如果稳态增益G0(0)随时间消逝而偏离1，稳态误差不再等于0

须重新调整系统。单位阶跃输入下设在回路的传递函数中有如下的变化: