机械控制理论基础 课件 第6章 控制系统的稳定性

FundamentalsofMechanicalControlTheory机械控制理论

基础StabilityAnalysisofControlSystems控制系统的稳定性CHAPTER61本章主要内容(MainContents)稳定性概念与判稳准则

(DefinitionofStability)劳斯-胡尔维茨稳定性判据(Routh-HurwitzCriterion)乃奎斯特稳定性判据

(NyquistCriterion)系统的相对稳定性(RelativeStabilityofsystems)*根轨迹法(RootLocusMethod)本章总结21.稳定性的概念6.1稳定性概念与判稳准则系统在受到外界干扰作用时，其被控制量将偏离平衡位置，当这个干扰作用去除后，若系统在足够长的时间内能够恢复到其原来的平衡状态或者趋于一个给定的新的平衡状态，则该系统是稳定的。反之，则系统是不稳定的。3（a）稳定（b）临界（c）不稳定4线性系统稳定与否，取决于系统内部条件，而与输入或扰动无关。（非线性系统的稳定性是与输入有关的）控制理论所讨论的稳定性其实都是指自由振荡下（即输入为零，而初始状态不为零时）的稳定性。初始条件不为零时引起的初始输出不为零初始条件为零时，对系统施加瞬间干扰，即输入单位脉冲函数。注意：这里所讲的“外界扰动作用”可以分为两种情况：稳定性的例子：战斗机，麦克风，海湾大桥，单足与双足机器人，倒立摆，Segway等等52.判断稳定性的基本准则对于n阶定常线性系统，其微分方程为进行拉氏变换后整理得：其中为系统的传递函数再进行拉氏反变换后得到：6稳定性就是研究初始状态下的输出情况。上式右边的第一项即系统在初始状态下的输出。当特征方程的根各不相同时，系统的输出为

若系统的特征方程的根实部均为负值，即Re[si]<0，则零输入响应最终将衰减为零。这样系统就是稳定的。由此可见：系统传递函数的零点（即其输入项参数）对系统的稳定性无影响。

7若对线性系统在初始状态为零时输入单位脉冲函数，单位脉冲响应的形式与零输入响应形式相同。综上所述，系统稳定的充要条件：系统的全部特征根都具有负实部。即系统闭环传递函数的全部极点均位于[s]平面的左半平面，则系统稳定。这是判断系统稳定性的基本准则。随着时间t趋于无穷，当单位脉冲响应趋于零时，则系统稳定。

8[s]平面的划分：（1）特征根在复平面的左半平面（包含原点），系统对于干扰的响应为衰减振荡；（2）特征根在虚轴上，系统对于干扰的响应为等幅振荡；（3）特征根在复平面的右半平面，系统对于干扰的响应为扩散振荡。思考：当系统有一个、两个特征根在原点时，系统的稳定性？96.2Routh（劳斯）稳定性判据1.系统稳定的必要条件如上一节所述，线性定常系统的稳定性分析，本质上就是确定其特征方程的根在复平面上的位置分布。它可以采用直接对特征方程求解的形式，但这并不是在任何情况下都容易做到的。Routh和Hurwitz判据就是采用间接方法确定特征方程根的，它们都是利用特征方程系数之间的代数关系来实现对特征根位置分布的判断，因而属于代数判据。下面重点讲述Routh判据。该判据由英国科学家E.J.Routh在1877年提出。1011要使全部特征根均具有负实部，必须满足两个条件，即必要条件：

1）特征方程的各项系数ai（a0除外）都不为零。因为若有一系数为零，则必出现实部为零的特征根或实部有正有负的特征根，此时系统为临界稳定或不稳定。

2）特征方程的各项系数ai的符号都相同。

122.系统稳定的充要条件（1）Routh数列13（2）Routh稳定性判据因此，系统稳定的充要条件是：特征方程的系数全为正，且Routh数列中第一列各元素的符号均为正。若Routh数表中第一列各元不全为正，则其符号改变的次数等于系统特征方程具有正实部特征根（即不稳定特征根）的个数。例如：

没有不稳定根（稳定）

有一个不稳定根（不稳定）

有两个不稳定根（不稳定）14例1：(1)(2)(3)

（4）一项为负，不稳定缺项，不稳定满足必要条件，可能稳定由于特征方程中有一系数为负，所以系统不稳定。Routh数列满足充要条件，稳定15对于三阶系统a3s3+a2s2+a1s+a0=0只要a1a2>a0a3

则系统稳定对于二阶系统a2s2+a1s+a0=0所有系数全为正，系统

稳定。16例2：Routh数列：第一列中有两次符号变化，系统有两个极点在【s】平面的右半平面，不稳定。

17在Routh数表中某一行的第一个元为零，而其后各元均不为零或部分地不为零，可以用一个很小的正数ε来代替第一列等于零的元，然后计算Routh数表的其余各元。Routh数表的某一行中的所有元素均为零时，系统不稳定。可利用该行上一行的元素构成一个辅助方程，其解即系统的不稳定特征根。3.应用Routh判据的两种特殊情况18特殊情况:（1）Routh数表第一列出现零元素例3系统不稳定。第一列元素两次变号，有两个不稳定根。19特殊情况

（2）Routh数表中某一行全为零例4辅助方程某一行全为零，说明存在对称于原点的根。系统不稳定例520Routh判据的应用：确定稳定的参数范围解：闭环特征方程为例5：已知单位反馈系统的开环传递函数为试确定系统闭环稳定的K的取值范围。21Routh数列：S3T1T21S2T1+T2KS10S0K0为闭环稳定的条件22例6：已知ξ=0.2，ωn=86.6，试确定K取何值时，系统方能稳定。23解：系统的开环传递函数为系统的闭环传递函数为特征方程为由稳定的充要条件可知：0<K<34.6

24例7系统的特征方程

由系统稳定的充要条件可知：

25Hurwitz判据（1895年，德国数学家）系统稳定的充要条件：系统特征方程：①特征方程的系数全为正②Hurwitz行列式全为正，即该方法对六阶以上系统很少使用。266.3Nyquist稳定性判据Nyquist稳定性判据由美籍瑞典人H.Nyquist于1932年提出，在1940年以后得到了广泛的应用。它奠定了频率法控制理论的基础，属于几何判据。Routh判据：利用特征方程系数之间的代数关系判断系统的稳定性，是代数判据。可以判断系统稳定与否，给出不稳定的特征根的个数，但不能给出稳定或不稳定程度的判断；Nyquist判据：利用开环频率特性的Nyquist图来判断闭环系统的稳定性，是几何判据。不但能判断闭环系统稳定与否，给出不稳定的特征根的个数，而且能判断稳定或不稳定的程度，并从中找出改善系统性能的途径。与Routh判据的比较：27一、基本原理闭环系统稳定闭环特征方程的根全部位于[s]平面的左半平面。判断稳定性的基本准则：闭环特征方程为：28设系统的开环传递函数为：闭环特征函数为：系统的闭环传递函数29（1）A(s)的零点z1,z2…,zn，即为系统闭环传递函数GB(s)的极点，亦即系统特征方程的根；（2）A(s)的极点p1,p2…,pn，即为系统开环传递函数GK(s)的极点；

（3）A(s)的零点个数与其极点个数相同。则闭环特征函数可表示为：

301.闭环特征方程、闭环传递函数、闭环特征函数以及开环传递函数的关系为：

线性定常系统稳定的充要条件：其闭环特征方程1+G(s)H(s)=0的根全部具有负实部，即GB(s)在[s]平面的右半平面没有极点，亦即A(s)在[s]平面的右半平面没有零点。

312.幅角原理（Cauchy’sTheorem）

对于复变函数设其n个零点（即闭环特征方程的根）与n个极点（即开环传递函数的极点）均已知，它们在[s]平面上的分布如图6-5所示。图中用“○”表示零点，“×”表示极点。

图6-5[s]平面与A(s)平面的映射关系

32A(s)在[A(s)]平面上（除有限个奇异点外）为单值的连续正则函数。[s]平面上解析点s映射到[A(s)]平面上为点A(s)，或为从原点指向此映射点的向量A(s)。[s]平面上任意选定一封闭曲线，只要此曲线不经过A(s)的奇点，则在[A(s)]平面上必有一对应的映射曲线，也是一封闭曲线。当解析点s按顺时针方向沿变化一周时，向量A(s)将按逆时针方向旋转N周，即A(s)以原点为中心逆时针旋转N周，这就等于曲线逆时针包围原点N次。33假设包围于内的A(s)的零点数为z，包围于

内的A(s)的极点数为p，则当s沿顺时针方向移动一周时，每个被包围于的向量(s-zi)与（s-pj）的相位角变化-2π弧度，而其他各向量的相位角变化为零。即向量A(s)的相位角变化为-2π（z-p)，或者说A(s)在[A(s)]平面上沿绕原点顺时针转了（z-p）周。

两边同除以，得

所以34即将扩展为一条包围整个[s]右半平面的封闭曲线，而[A(s)]

平面通过坐标平移后可转换为GH平面，如下图。即因此，为闭环特征方程在[s]右半平面的特征根的个数；为开环传递函数在[s]右半平面的极点的个数；为在GH平面上的开环频率特性逆时针包围（-1,j0）的圈数。353.Nyquist稳定性判据由于闭环系统稳定的充要条件是A(s)（或1+G(s)H(s)=0）在[s]平面的右半平面没有零点（或特征根），即所以Nyquist稳定判据为：当ω由-∞到+∞变化时，若[GH]平面上的开环频率特性G(jω)H(jω)逆时针方向包围（-1，j0）点P圈，则闭环系统稳定。p为G(s)H(s)在[s]平面的右半平面的极点数。对于开环稳定的系统，有p=0，此时闭环系统稳定的充要条件是：系统的开环频率特性G(jω)H(jω)的乃奎斯特图不包含（-1，j0）点，即N=0。

364.关于Nyquist判据的几点说明Nyquist判据并不是在[s]平面而是在[GH]平面判别闭环系统的稳定性，即根据G(jω)H(jω)轨迹包围（-1，j0）点的情况来判别闭环系统的稳定性。Nyquist判据的证明复杂，但应用简单。在p=0，即GK(s)在[s]平面的右半平面无极点时，习惯称为开环稳定。否则开环不稳定。开环不稳定，闭环仍可能稳定；开环稳定，闭环也可能不稳定。在整个实数域内开环Nyquist轨迹对实轴是对称的，因为当-ω变为+ω时，G(-jω)H(-jω)与G(jω)H(jω)的模相同，而相位异号。37例8：0型系统二、Nyquist判据的应用38例9：I型系统39例10：II型系统40例11：判断图示闭环系统的稳定性。41积分环节数=1在无穷远处顺时针绕半圈；

=2在无穷远处顺时针绕一圈；

=3在无穷远处顺时针绕一圈半。×Nyquist判据：是在已知开环极点在[s]右半平面的个数p和积分环节个数（这意味着必须已知系统传递函数）以及Nyquist图绕(-1,j0)点圈数N的情况下，求闭环特征根在[s]右半平面的个数z。小结：426.4系统的相对稳定性相对稳定性，是对稳定或不稳定的程度的衡量——以稳定裕量表示。幅值穿越频率幅值裕量：相位裕量：相位穿越频率43相位裕量幅值裕量系统稳定系统不稳定为负值系统稳定系统不稳定442.Nyquist图和Bode图的对应关系Nyquist图上的单位圆对应于Bode图上的0分贝线确定幅值穿越频率（剪切频率）ωcNyquist图上的负实轴相当于Bode图上的-180°线确定相位穿越频率ωg45稳定（ωg＞

ωc

）不稳定（ωg<ωc

）46例12低频转折频率47关于相位裕量和幅值裕量的几点说明：①上述定义是对最小相位系统而言，对非最小相位系统不适用。②衡量一个系统的相对稳定性，必须同时用相位裕量和幅值裕量这两个指标。③适当地选择相位裕量和幅值裕量，可以防止系统中参数变化导致系统不稳定的现象。一般取。④对于最小相位系统，开环的幅频特性和相频特性有一定的关系，要求系统具有30°～60°的相位裕量，因此在ωc

处应以－20dB/dec斜率穿越为好，因为斜率为－20dB/dec穿越时，对应的相位角在-90°左右。考虑到还有其它因素的影响，就能满足γ

=30°～60°。⑤一阶和二阶系统，理论上不可能不稳定。但是实际上其数学模型是在忽略了一些次要因素之后建立的，当系统参数变化时，比如开环增益太大，这些系统仍有可能不稳定。48例13:496.5

根轨迹方法分析系统性能（TheRootLocusMethod）判断控制系统稳定与否的根本出发点是判断闭环特征方程的根在S平面上的位置分布。对于图示闭环控制系统闭环特征方程为：设系统的开环传递函数为：开环增益50当系统的开环增益K=0~∞或根轨迹增益K*=0~∞变化时，1+G(s)H(s)=0的根在s平面上的移动轨迹，即为根轨迹（RootLocus）。根轨迹方法由伊凡思（W.R.Evans）在1948年提出。该方法对于控制系统的设计很有用也很方便。它指明了开环零、极点及开环增益或根轨迹增益变化时，闭环极点的变化情况，从而指明了如何调整开环零、极点及增益大小来满足闭环系统响应所要求的性能指标，可以用于系统的分析与综合。6.5

根轨迹法分析系统性能根轨迹增益系统的开环传递函数也可以写为：开环增益与根轨迹增益关系：开环增益51[引例1]

如图所示的监控摄像头跟踪系统，跟踪系统可以监控像素变化并驱动摄像头定位到变化后的场景中心，其跟踪控制系统的方框图如图b，图c为闭环系统传递函数。下面讨论闭环极点（即闭环特征根）在复平面上的位置随着K值（即根轨迹增益）改变而变化的情况

开环传递函数：闭环传递函数：

52其闭环特征方程：的解为

当K取不同值时的闭环特征根如下表所示，其在复平面的位置如右下图示53将K取不同值时的闭环特征根变化轨迹连起来形成的根轨迹如下图：当K=0时，根轨迹分别起始于0，-10，此时系统为过阻尼情况；当K=25时，根轨迹在-5，此时系统为临界阻尼情况；当K>25时，根轨迹从实轴的-5处分别垂直向上和向下走，此时系统为欠阻尼情况从根轨迹的变化可以得到结论：无论K如何变化，该二阶系统总是稳定的，但瞬态性能有变化，其变化规律？54由根轨迹定义，根轨迹上的每一点都满足方程：1.

基本原理（BasicPrinciple）或即幅值条件只要同时满足幅值条件和相位条件的s值就是闭环特征方程的根，也即闭环极点相位条件（6-38）

（6-39）

（6-40）

（6-41）

55根轨迹的起点和终点根轨迹的分支数实轴上的根轨迹段根轨迹的渐近线根轨迹的分离点和会合点根轨迹在无穷远处的状态根轨迹离开复极点或进入复零点时的出射角或入射角根轨迹穿过虚轴的点绘制根轨迹时，并不需要在s平面上找很多点描绘其精确曲线，而是根据根轨迹的一些特征进行近似作图。这些特征包括：下面我们根据开环传递函数的零、极点和闭环特征方程的根之间的关系，给出反映以上特征的根轨迹作图法则。2.

根轨迹作图（BasicrulesforRootLocus）56法则1.根轨迹对称于实轴。这一点很容易理解，因为闭环极点若为实数，则必定位于实轴上；若为复数，则一定是以共轭复数成对出现，所以根轨迹必然对称于实轴。法则2.根轨迹起始于开环极点（起始点对应于K或K*＝0），终止于开环零点（终止点对应于K或K*＝∞）。若开环零点数m少于开环极点数n，则有（n-m)条根轨迹终止于无穷远处。法则3.根轨迹的分支数等于闭环极点数n（亦即开环极点数，系统阶数）。这可以由根轨迹的幅值条件来证明：当时，只有令s取p1，p2，…，pn的值才能满足；当时，只有令s取z1，z2，…，zm的值才能满足。2.

根轨迹作图（BasicrulesforRootLocus）57例1：例2：如何判断s平面上某点是否在根轨迹上？例如s=-2±j358法则4.实轴上根轨迹区段右侧的开环零、极点的总数应为奇数。此结论可用相位条件来说明。

由于复数零点和复数极点均为共轭的，因此它们与s点形成的矢量的相位角大小相等，符号相反，对相位没有影响。而位于s点左侧的零、极点到s点的矢量，其相位角总是为零，只有位于s点右侧的零、极点到s点的矢量，其相位角才是-π，因此根据相位条件，只有当实轴上根轨迹区段右侧的开环零、极点总数为奇数时，才能符合根轨迹的相位条件。2.

根轨迹作图（BasicrulesforRootLocus）59例6-16已知开环传递函数，请画出K*从0～∞变化时的根轨迹。

解：系统有三个开环极点：两个开环零点：60法则5.当K或K*→∞时，有（n-m）条根轨迹趋于无穷远处，这些根轨迹的渐近线和实轴正方向的夹角α称为渐近角，并且（6-44）

其中k依次取0，±1，±2，…直到获得（n-m）个夹角为止。而根轨迹渐近线与实轴的交点位于开环零、极点的重心处，由下式决定：（6-45）

2.

根轨迹作图（BasicrulesforRootLocus）证明略

61法则6.根轨迹的分离点和会合点的坐标若用d表示，则其值可由下式给出

①式（6-49）同样适用于系统的开环零、极点为复数的情况；②当开环无零点时，则式（6-49）中③由式（6-49）解出的值，并非都是根轨迹上的点，因此必须舍弃不在根轨迹上的值；④由于根轨迹的共轭对称性，根轨迹的分离点和会合点或位于实轴上，或为共轭复数对。（6-49）2.

根轨迹作图（BasicrulesforRootLocus）说明：62如果根轨迹位于相邻的开环极点之间，则在这两个极点之间至少存在一个分离点。如果根轨迹位于实轴上两个相邻的零点（其中一个零点可以位于）之间，则在这两个相邻的零点之间至少存在一个会合点。如果根轨迹位于实轴上一个开环极点与一个开环零点（有限零点或无限零点）之间，则在这两个相邻的极、零点之间，或者既不存在分离点也不存在会合点，或者既存在分离点又存在会合点。63例3：渐近角度：渐近线与实轴交点：与实轴分离点：如何求根轨迹与虚轴交点？64法则7.根轨迹自复数极点的pi

出射角（即根轨迹在复数极点处的切线与正实轴的夹角）为根轨迹进入复数零点的入射角（即根轨迹在复数零点处的切线与正实轴的夹角）为（6-55）的向量与正实轴的夹角。

（6-54）式中分别是开环零点、开环极点到所考虑点和2.

根轨迹作图（BasicrulesforRootLocus）推论：根轨迹离开实轴或进入实轴时的出射角或入射角为65例6-18

已知系统开环传递函数画其根轨迹图，并分析闭环系统的稳定性。解：①确定开环零、极点。开环传递函数有：2个极点一个零点②确定实轴上的根轨迹③确定离开复极点的根轨迹出射角④确定根轨迹进入实轴的汇合点%-----Root-locusPlotofG(s)=K*(s+1)/(s2+2s+3)------num=[012];den=[123];rlocus（num,den）v=[-66-66];axis(v);axis('square‘)gridtitle（'Root-locusPlotofG(s)=K*(s+1)/(s^2+2s+3）')67法则8.当根轨迹在s平面的左半平面时，闭环系统稳定，否则不稳定。若根轨迹与虚轴相交，系统处于临界稳定状态，其交点处的根（即闭环特征方程的纯虚根）与开环增益K或根轨迹增益K*可由劳斯稳定性判据或将代入特征方程分别令实部和虚部等于零求得（为什么？）。2.

根轨迹作图（BasicrulesforRootLocus）例6-17已知控制系统的开环传递函数为画K*变化时的根轨迹，并求出根轨迹与虚轴的交点。开环传递函数有：4个极点，一个零点，两种求与虚轴交点和K*的方法68求其与虚轴交点：方法1写出其劳斯数列闭环特征方程解得K*＝160，代入s2行组成的辅助方程，有由第一列中s1项系数等于零，得：解得。69求其与虚轴交点：方法2将s=jω代入特征方程得闭环特征方程解得可以得到：分别令其实部和虚部为零，得K*＝16070例6-18已知控制系统的开环传递函数为（1）画K*变化时的根轨迹，（2）求出根轨迹上阻尼比为0.45的点，及其与虚轴的交点。解：系统有2个开环极点，2个开环零点的意义根轨迹与虚轴交点的意义分离点、入射角的计算71对如图所示系统，以开环极点p1为参数，如何获得关于p1变化的根轨迹？此例中开环传递函数为写出其闭环传递函数即将其开环传递函数改变为然后做其根轨迹如图：723．利用MATLAB工具画根轨迹利用MATLAB工具可以很方便地画根轨迹。对于式（6-36）表达的闭环特征方程，可以写成下列形式式中num为分子多项式的系数从高到低，den为分母多项式的系数从高到低排列

通常采用下列MATLAB命令画根轨迹：rlocus（num，den）利用该命令，可以在屏幕上得到画出的根轨迹图，增益K*是由程序自动确定的。命令rlocus既适用于连续时间系统，也适用于离散时间系统。734.开环增益或根轨迹增益的计算对应根轨迹上某点si的根轨迹增益值，可以根据幅值条件式（6-39）来进行计算，即上式表明，与根轨迹上的点相对应的根轨迹增益可以利用该点与各开环零、极点之间的幅值得到，即（6-57）开环增益K可用下式求出

（6-58）需要注意，使用式（6-58）求开环增益K时，不计坐标原点处的开环零、极点，否则上式无意义。745．控制系统的根轨迹分析如前所述，在已知系统开环零、极点分布的基础上，依据绘制根轨迹的基本法则，可以很方便地绘出闭环系统的根轨迹，并在根轨迹上确定闭环零、极点的位置，由此可以利用主导极点等概念对系统的动态性能进行分析。根轨迹法特别方便于确定高阶系统中某个参数变化时闭环极点的分布规律，形象直观地看出参数对系统动态性能的影响，因此为系统设计和性能改善提供了依据。

例6-19

已知一单位反馈系统的开环传递函数为试画出闭环系统的根轨迹。无论K在(0，∞)区间取何值，闭环系统都不稳定75图6-35例6-19系统附加零点z1=-5时的根轨迹加零点

z=-5无论K在(0，∞)区间取何值，闭环系统稳定76图6-36例6-19系统附加零点z1=-20时的根轨迹加零点

z=-20闭环系统不稳定77例6-20

已知单位反馈