2024-2025学年度北师版九上数学4.4探索三角形相似的条件（第一课时）【课件】

第四章图形的相似4探索三角形相似的条件（第一课时）数学九年级上册BS版课前预习典例讲练目录CONTENTS课前导入数学九年级上册BS版01课前预习1.相似三角形的定义.

分别相等、

⁠成比例的两个三角形叫做相似三角形.2.相似三角形的性质.相似三角形的对应角

，对应边

⁠.3.相似三角形的判定定理一.

角分别相等的两个三角形相似.三内角

三边

相等

成比例

两内角

数学九年级上册BS版02课前导入问题1这两个三角形有什么关系？观察与思考全等三角形

那这样变化一下呢？相似三角形相似三角形定义：我们把三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.对应角……？对应边……？问题2

根据相似多边形的定义，你能说说什么叫相似三角形吗？全等是一种特殊的相似定义

判定方法全等三角形相似三角形三角、三边对应相等的两个三角形全等三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似角边角ASA角角边AAS边边边SSS边角边SAS斜边、直角边HL问题3三角形全等的性质和判定方法有哪些？需要三个等量条件思考

全等是一种特殊的相似，那你猜想一下，判定两个三角形相似需要几个条件？

学校举办活动，需要三个内角分别为90°，60°，30°

的形状相同、大小不同的角纸板若干.小明手上的测量工具只有一个量角器，他该怎么做呢？情境引入？？？问题1

度量AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′的长，并计算出它们的比值.你有什么发现？CABA'B'C'两角分别相等的两个三角形相似合作探究与同伴合作，一人画△ABC，另一人画△A′B′C′，使∠A=∠A′，∠B=∠B′，探究下列问题：这两个三角形是相似的证明：在△ABC的边AB（或AB的延长线）上，截取AD=A′B′，过点D作DE//BC，交AC于点E，则有

△ADE∽△ABC，∠ADE=∠B.∵∠B=∠B′，∴∠ADE=∠B′.又∵

AD=A′B′，∠A=∠A′，∴△ADE≌△A′B′C′.∴△A′B′C′∽△ABC.CAA'BB'C'DE问题2

试证明

△A′B′C′∽△ABC.由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理：两角分别相等的两个三角形相似.∵∠A=∠A'，∠B=∠B'，∴△ABC∽△A'B'C'.符号语言：CABA'B'C'归纳：数学九年级上册BS版03典例讲练

（1）如图，在△ABC中，CE⊥AB，垂足为E，BD⊥AC，垂足为D，CE与BD交于点F，则图中与△ABD相似的三角形有

⁠.△FBE，△ACE，△FCD

【解析】∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠

AEC＝∠ADB＝90°，∠BEF＝∠CDF＝90°.∵∠ABD＝∠FBE，∠ADB＝∠FEB，∴△ABD∽△FBE.

∵∠

A＝∠A，∠ADB＝∠AEC，∴△ABD∽△ACE.

∵∠

ACE＝∠FCD，∠AEC＝∠FDC，∴△ACE∽△FCD.

∴△ABD∽△FBE∽△ACE∽△FCD.

故答案为△FBE，△ACE，

△FCD.

【点拨】利用两角判定两个三角形相似时，关键是在图中找相

等的角.同时，需要注意公共角这一隐含的条件，如此题中∠

ABD＝∠FBE.

常见的隐含条件还有直角相等，对顶角相等.（2）如图，已知∠1＝∠2，添加一个条件：

⁠（填一个即可），使△ABC∽△ADE成立.∠B＝∠D（或

∠C＝∠AED）

【解析】∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠BAE＝∠2＋∠BAE，即∠BAC＝∠DAE.

由∠B＝∠D，∠BAC＝∠DAE可得，△

ABC∽△ADE.

同理，由∠C＝∠AED，∠BAC＝∠DAE，可得△ABC∽△ADE.

故答案为∠B＝∠D（或∠C＝∠AED）.【点拨】对于此类开放性问题，先看结论，再找条件，关键是根据结论去找两对等角.找相等角的技巧是“对应顶点的对应角相等”，如：根据△ABC∽△ADE，“A”与“A”对应，那么一定有∠

BAC＝∠DAE.

1.如图，点E是▱ABCD的边BC的延长线上一点，连接AE交

CD于点F，则图中共有相似三角形（

B

）A.4对B.3对C.2对D.1对（第1题图）B2.如图，在△ABC中，已知点D在AC上（点D

不与A，C两点重合）.再添加一个条件：

⁠（填一个即可），就可证出△ABD∽△ACB.

（第2题图）∠ABD＝∠C（或∠ADB＝∠

ABC

）

如图，在正方形ABCD中，已知点M为BC上一点，点F是AM

的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC

于点N.

（1）求证：△ABM∽△EFA；（2）若AB＝12，BM＝5，求DE的长.（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠

B＝90°，AD∥BC.

∴∠AMB＝∠EAF.

∵

EF⊥AM，∴∠

AFE＝90°.∴∠

B＝∠AFE＝90°.∴△ABM∽△EFA.

解得AE＝16.9.∴

DE＝AE－AD＝4.9.【点拨】在两个三角形中找两组相等的角，是证明两个三角形相似的基本方法.（1）∠EAF＝∠B；如图，已知AB∥CD，AD，BC相交于点E，点F为EC上一点，且∠EAF＝∠C.

求证：证明：（1）∵AB∥CD，∴∠

B＝∠C.

又∵∠EAF＝∠C，∴∠

EAF＝∠B.

（2）AF2＝EF·FB.

如图，

在Rt△ABC

中，已知∠BAC＝90°，

AD⊥BC于点D.

（1）求证：AD2＝BD·CD；（2）若BD＝30，CD＝20，求AB与AC的长.

（2）由本题的图形结构可以得到三个重要等积式（俗称射影定理）：①AD2＝BD·CD；②AB2＝BD·BC；③AC2＝CD·BC.

在该图形中，只要知道其中两条线段的长度，就可以求出其他线段的长度.

如图，在△ABC中，已知AB＝AC，点P，D分别是BC，AC

边上的点，且∠APD＝∠B.

（1）求证：AC·CD＝CP·BP；（1）证明：∵AB＝AC，∴∠

B＝∠C.

∵∠

APD＝