2024-2025学年度北师版九上数学4.4探索三角形相似的条件（第二课时）【课件】

第四章图形的相似4探索三角形相似的条件（第二课时）数学九年级上册BS版课前预习典例讲练目录CONTENTS课前导入数学九年级上册BS版01课前预习相似三角形的判定定理二.两边

且夹角

的两个三角形相似.注意：运用该定理证明相似时，一定要区分边与角的关系，角

一定是两组对应边的夹角，边一定是对应角的两组边，类似于

判定三角形全等的“SAS”方法.全等三角形是相似比为1的特殊

相似三角形.成比例

相等

数学九年级上册BS版02课前导入问题1有两边对应成比例的两个三角形相似吗?3355不相似观察与思考问题2类比三角形全等的判定方法（SAS，SSS），猜想可以添加什么条件来判定两个三角形相似？3355相似

利用刻度尺和量角器画△ABC

和△A′B′C′，使∠A=∠A′，量出BC及B′C′的长，它们的比值等于k吗？再量一量两个三角形另外的两个角，你有什么发现？△ABC与△A′B′C′有何关系？

两边成比例且夹角相等的两个三角形相似合作探究两个三角形相似改变k和∠A的值的大小，是否有同样的结论？我们来证明一下前面得出的结论：如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A=∠A′，证明：在△A′B′C′的边A′B′上截取点

D，使A′D=AB．过点D作DE∥B′C′，交A′C′于点E.求证：△ABC∽△A′B′C′.BACDEB'A'C'∵DE∥B′C′，∴△A′DE∽△A′B′C′.∴∴A′E=AC.

又∵∠A′=

∠A，A′D=AB，∴△A′DE≌△ABC，∴△A′B′C′∽△ABC.∵A′D=AB，∴由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．符号语言：∵∠A=∠A′，BACB'A'C'∴△ABC∽△A′B′C′.归纳：对于△ABC和△A′B′C′，如果A′B′:AB=A′C′:AC.∠B=∠B′，这两个三角形一定会相似吗？

不会，如下图，因为不能证明构造的三角形和原三角形全等.

A

B

C思考：

A′

B′

B″

C′结论：

如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角.数学九年级上册BS版03典例讲练

BA.△ABM∽△ACB

B.△ANC∽△AMBC.△ANC∽△ACMD.△CMN∽△BCA【解析】∵CM＝CN，∴∠CNM＝∠CMN.

∵∠CNA＝180°－∠

CNM，∠AMB＝180°－∠CMN，∴∠CNA＝∠AMB.

又∵AM∶AN＝BM∶CN，∴△ANC∽△AMB.

故选B.【点拨】利用“两边对应成比例且夹角相等”证明两个三角形相似，关键在于找两个三角形中相等的角，再去找这对等角的两组对应边.此题有一个技巧，根据题干的比例式，可知对应角的顶点为点M，N.

1.在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上.若AD＝1，BD

＝3，则由下列条件能够判断DE∥BC的是（

D

）D

10.5

如图，在等腰三角形ABC中，已知AB＝AC，点D为CB延长线上一点，点E为BC延长线上一点，且满足AB2＝DB·CE.

（1）求证：△ADB∽△EAC；（2）若∠BAC＝40°，求∠DAE的度数.

（2）解：∵△ADB∽△EAC，∴∠BAD＝∠E，∠D＝∠CAE.

∵∠DAE＝∠BAD＋∠BAC＋∠CAE，∴∠DAE＝∠D＋∠BAD＋∠BAC.

∵∠BAC＝40°，AB＝AC，∴∠ABC＝70°.∴∠D＋∠BAD＝70°.∴∠DAE＝∠D＋∠BAD＋∠BAC＝70°＋40°＝110°.【点拨】找三角形相似的条件，一般先观察是否可以得到一组角相等，再寻求另一组角相等或等角的两边成比例.利用两边成比例且夹角相等判定两个三角形相似时，要找准相等的角一定是成比例两边的“夹角”，否则结论不成立.为了方便，常在图中用相同记号或字母表示相等的边或角.

2.如图，在4×4的正方形方格中，已知△ABC和△DEF的顶点

都在边长为1的小正方形的顶点上.（1）填空：∠ABC＝

，BC＝

⁠；

135°

（2）判断△ABC与△DEF是否相似，并证明你的结论.

如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/S；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/S.

若P，Q两动点同时运动，当△QBP与△

ABC相似时，则运动的时间为

s.2或0.8

【点拨】“相似于（∽）”与“谁和谁相似”的区别：前者的对应关系固定，后者的对应关系不固定.如果已知两个三角形相似，当边的对应关系不明确时，从对应关系入手，相等的角或公共角为对应角，则对应角的两边成比例，再根据对应关系分情况讨论.

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝8，

AD＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，当△PAD与△PBC是相似三角形时，求出此时AP的长.解：易得∠PAD＝∠