高中数 第一章 1.6 NO.2 三角函数模型的简单应用课下检测 新人教A版必修4

【创新方案】版高中数学第一章1.6NO.2三角函数模型的简单应用课下检测新人教A版必修4一、选择题1．图为一简谐运动的图像，则下列判断正确的是()A．该质点的振动周期为0.7sB．该质点的振幅为5cmC．该质点在0.1s和0.5s时速度最大D．该质点在0.3s和0.7s时加速度最大解析：周期为2×(0.7－0.3)＝0.8s，故A错；由题中图像可知，振幅为5cm，故B对；在最高点时，速度为零，加速度最大，故C，D错．答案：B2．某人的血压满足函数式f(t)＝24sin(160πt)＋110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为()A．60 B．70C．80 D．90解析：由T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(2π,160π)＝eq\f(1,80)，又f＝eq\f(1,T)＝eq\f(1,\f(1,80))＝80，故每分钟心跳次数为80.答案：C3．如图为一半径为3m的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮自点A开始旋转，15s旋转一圈．水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有()A．ω＝eq\f(2π,15)，A＝3 B．ω＝eq\f(15,2π)，A＝3C．ω＝eq\f(2π,15)，A＝5 D．ω＝eq\f(15,2π)，A＝5解析：∵T＝15，故ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,15)，显然ymax－ymin的值等于圆O的直径长，即ymax－ymin＝6，故A＝eq\f(ymax－ymin,2)＝eq\f(6,2)＝3.答案：A4．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12s旋转一周．已知时间t＝0时，点A的坐标是(eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2))，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：s)的函数的单调递增区间是()A．[0,1] B．[1,7]C．[7,12] D．[0,1]和[7,12]解析：由已知可得该函数的最小正周期为T＝12，则ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(π,6)，又当t＝0时，A的坐标为(eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2))，∴此函数为y＝sin(eq\f(π,6)t＋eq\f(π,3))，t∈[0,12]，可解得此函数的单调递增区间是[0,1]和[7,12]．答案：D二、填空题5．一个物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示：t00.10.20.30.40.50.60.70.8y－4.0－2.80.02.84.02.80.0－2.8－4.0则可近似地描述该物体的位移y和时间t之间关系的一个三角函数模型为________．解析：设y＝Acos(ωt＋φ)，则A＝4，T＝0.8，∴ω＝2.5π.代入最高点(0.4,4.0)，得φ＝π.∴y＝－4cos2.5πt.答案：y＝－4cos2.5πt6．如图，显示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(m)在某天从0～24时的变化情况，则水面高度h关于时间t的函数关系式为________________．解析：设h＝Asin(ωt＋φ)，由图像知A＝6，T＝12，∴eq\f(2π,ω)＝12，得ω＝eq\f(2π,12)＝eq\f(π,6)，点(6,0)为“五点法”中的第一点，故eq\f(π,6)×6＋φ＝0，得φ＝－π，∴h＝6sin(eq\f(π,6)t－π)＝－6sineq\f(π,6)t.答案：h＝－6sineq\f(π,6)t7．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转．当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A、B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d＝________，其中t∈[0,60]．解析：经过ts秒针转了eq\f(π,30)trad.由图知sineq\f(πt,60)＝eq\f(\f(d,2),5)，所以d＝10sineq\f(πt,60).答案：10sineq\f(πt,60)cm8．电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋eq\f(π,6))(A>0，ω≠0)的图像如图所示，则当t＝eq\f(1,50)秒时，电流强度是________安．解析：由图像可知A＝10，周期T＝2×(eq\f(4,300)－eq\f(1,300))＝eq\f(1,50)，∴ω＝eq\f(2π,T)＝100π.∴I＝10sin(100πt＋eq\f(π,6))．当t＝eq\f(1,50)秒时，I＝10sin(2π＋eq\f(π,6))＝5.答案：5三、解答题9．如图所示，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝Asinωx(A>0，ω>0)，x∈[0,4]的图像，且图像的最高点为S(3,2eq\r(3))；赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°.求A，ω的值和M，P两点间的距离．解：依题意，有A＝2eq\r(3)，eq\f(T,4)＝3，又T＝eq\f(2π,ω)，∴ω＝eq\f(π,6).∴y＝2eq\r(3)sineq\f(π,6)x，x∈[0,4]．∴当x＝4时，y＝2eq\r(3)sineq\f(2π,3)＝3.∴M(4,3)．又P(8,0)，∴MP＝eq\r(8－42＋0－32)＝eq\r(42＋32)＝5(km)．即M、P两点间的距离为5km.10．在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12h，低潮时水的深度为8.4m，高潮时为16m，一次高潮发生在10月10日4：00.每天涨潮落潮时，水的深度d(m)与时间t(h)近似满足关系式d＝Asin(ωt＋φ)＋h.(1)若从10月10日0：00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深d(m)和时间t(h)之间的函数关系；(2)10月10日17：00该港口水深约为多少？(精确到0.1m(3)10月10日这一天该港口共有多少时间水深低于10.3m?解：(1)依题意知T＝eq\f(2π,ω)＝12，故ω＝eq\f(π,6)，h＝eq\f(8.4＋16,2)＝12.2，A＝16－12.2＝3.8，所以d＝3.8sin(eq\f(π,6)t＋φ)＋12.2；又因为t＝4时，d＝16，所以sin(eq\f(4π,6)＋φ)＝1，所以φ＝－eq\f(π,6)，所以d＝3.8sin(eq\f(π,6)t－eq\f(π,6))＋12.2.(2)t＝17时，d＝3.8sin(eq\f(17π,6)－eq\f(π,6))＋12.2＝3.8sineq\f(2π,3)＋12.2≈15.5(m)．(3)令3.8sin(eq\f(π,6)t－eq\f(π,6))＋12.2＜10.3，有sin(eq\f(π,6)t－eq\f(π,6))＜－eq\f(1,2)，因此2kπ＋eq\f(7π