线性代数总复习教材

线性代数总复习二、行列式一、矩阵三、向量之间的关系四、线性方程组的解五、二次型与特征值问题六、常见计算问题知识框架体系矩阵A=[aij]m

n

=[A1

A2…An]方阵的特征值问题二次型f=xTAx(A为实对称矩阵)向量组Aj=[a1j

a2j…amj]Tj=1,2,…,n线性方程组Ax=b(齐次、非齐次)行列式m=n方阵一、矩阵（一）矩阵的概念（二）矩阵的运算（三）矩阵的初等变换（四）逆矩阵（五）矩阵的分块及运算（一）矩阵的概念1.矩阵的定义由m

n个数aij(i=1,2,…,m；j=1,2,…,n)排成的m行n列的数表称为m

n

矩阵.记作简记为A=Am

n

=(aij)m

n

=(aij)或[aij]m

n

=[aij].元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.这m

n

个数称为A

的元素，简称为元.

2.特殊矩阵方阵(m=n)行矩阵(m=1)—行向量

单位矩阵E或I

对角矩阵零矩阵O列矩阵(n=1)—列向量

上（下）三角阵（二）矩阵的运算同型矩阵与相等矩阵（1）两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为同型矩阵.

（2）两个矩阵A=[aij]与B=[bij]为同型矩阵，并且对应元素相等，即aij=bij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)则称矩阵A

与B

相等，记作A=B.1、矩阵的加法（1）定义设有两个m

n矩阵A=[aij]与B=[bij]，那么矩阵

A与B的和记作A+B，规定为注意只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.例如（2）运算规律

A+B=B+A(A+B)+C=A+(B+C)–A=[–aij]，称为矩阵A

的负矩阵

A+(–A)=O，A–B=A+(–B)2、数与矩阵相乘（1）定义数

与矩阵A

的乘积称为数乘，记为

A或A

，规定为称矩阵

E为数量矩阵.（2）数乘矩阵的运算规律（设A,B

为m

n矩阵，

,

为数）

1A=A(

)A=

(

A)(

+

)A=

A+

A

(A+B)=

A+

B矩阵相加与数乘矩阵合称矩阵的线性运算.3、矩阵与矩阵相乘（1）定义设A=[aij]是一个m

s矩阵，B=[bij]是一个s

n矩阵，规定矩阵A与B的乘积是一个m

n矩阵C=[cij]，其中

并把此乘积记作C=AB.注意

只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（右矩阵）的行数时，两个矩阵才能相乘.例1例2不存在.（2）矩阵乘法的运算规律

(AB)C=A(BC)

A(B+C)=AB+AC，(B+C)A=BA+CA

(AB)=(

A)B=A(

B)（其中

为数）

AE=EA=A若A

是n

阶矩阵，则Ak

为A

的k

次幂，即并且AmAk=Am+k，(Am)k=Amk（m,k

为正整数）注意：（i）矩阵乘法一般不满足交换律；（ii）矩阵乘法一般不满足消去律.注意

矩阵不满足交换律，即：例

设则但也有例外，比如设则有此时称矩阵A,B

可交换.AB=O

A=O

或B=O.

AB=AC

B=C.

解例3由此归纳出用数学归纳法证明当k=2时，显然成立.假设k=n时成立，则k=n+1时，所以对于任意的k都有例44、矩阵的其它运算

1）转置矩阵定义：把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作AT.转置矩阵的运算性质(AT)T=A(A+B)T=AT+BT(

A)T=

AT(AB)T=BTAT例5

已知求(AB)T.解法1解法22）方阵的行列式定义：由n阶方阵A的元素所构成的行列式，叫做方阵A的行列式，记作|A|或detA.二阶行列式主对角线副对角线三阶行列式例如，设，则.

运算性质|AT|=|A||

A|=

n|A||AB|=|A||B|

|AB|=|BA|3）对称阵与反对称阵定义：设A为n阶方阵，如果满足A=AT，即aij=aji(i,j=1,2,…,n)那么A称为对称阵.例如为对称阵.说明：对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.定义：如果AT=–A，则矩阵A

称为反对称阵.注意：反对称阵主对角线上的元素全部为零.例6

证明任一n阶矩阵A

都可表示成对称阵与反对称阵之和.证明命题得证.设C=A+AT，则

CT=(A+AT)T=AT+A=C所以C

为对称矩阵.设B=A–AT，则

BT=(A–AT)T=AT–A=–B所以B

为反对称矩阵.1、矩阵的初等变换的定义定义1：下面三种变换称为矩阵的初等行变换：对换变换：对调两行（对调第i,j两行记作ri

rj）;倍乘变换：以数k

0乘以某一行的所有元素（第i行乘数k记作ri

k）;倍加变换：将某一行的所有元素的

k

倍加到另一行对应的元素上去（第j行的k倍加到第i

行记作ri

+krj）.（三）矩阵的初等变换同理可定义矩阵的初等列变换（所用记号是把“r”换成“c”）．定义2：矩阵的初等列变换与初等行变换统称为矩阵的初等变换．初等变换的逆变换仍为初等变换，且变换类型相同．逆变换逆变换逆变换例如，两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价如果矩阵A

经有限次初等变换变成矩阵B，就称矩阵A

与B

等价，记作A

B．等价关系的性质：反身性：A

A对称性：若A

B，则B

A传递性：若A

B，B

C，则A

C具有上述三条性质的关系称为等价．1）初等行(列)变换初等变换的逆变换仍为初等变换，且变换类型相同．3）矩阵等价具有的性质

（1）反身性；（2）对称性；（3）传递性.2）初等变换ri

rj（ci

cj）ri

+krj（ci

+kcj）ri

k（ci

k）小结定义：对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使得AB=BA=E，则说矩阵A

是可逆的，并把矩阵B

称为A的逆矩阵.例设因为AB=BA=E，所以B

为A的一个逆矩阵.定理：若A

是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的.可逆矩阵A的逆矩阵记作A–1.推论：若AB=E（或

BA=E），则B=A–1.（四）逆矩阵

1、逆矩阵的概念和性质逆矩阵的运算性质（1）若A

可逆，则A–1亦可逆，且(A–1)–1=A.（2）若A

可逆，数

0，则

A可逆，且(

A)–1=

–1A–1.（3）若A,B为同阶方阵且均可逆，则AB亦可逆，且(AB)–1=B–1A–1.推广：(A1A2…Am)–1=Am–1…A2–1A1–1.（4）若A

可逆，则AT亦可逆，且(AT)–1=(A–1)T.（5）若A

可逆，则|A|

0，且有|A–1|=|A|–1.可逆矩阵的判定：矩阵的行列式不为0.当A

可逆时，定义A0=E,A–k=(A–1)k,k

为正整数.例7

设求A

的逆阵.解设是A的逆矩阵,则利用待定系数法2、逆矩阵的求法又因为所以利用初等变换求逆阵的方法：当|A|0时，由A=P1P2…Pl，有即对n

2n

矩阵(A|E)施行初等行变换，当把A变成E

时，原来的E

就变成了A–1.

解例8公式法（伴随法）其中为A

的伴随矩阵.在n阶行列式|A

|中，把元素aij所在的第i行和第j列划去后，留下来的n–1阶行列式叫做行列式|A

|中元素aij

的余子式，记作Mij.记Aij

=(–1)i+jMij，称为|A|中元素aij

的代数余子式.例8

求方阵的逆矩阵.解（公式法）故3、小结2）利用初等变换求逆阵的步骤1）单位矩阵初等矩阵.一次初等变换（1）构造矩阵(A|E)或（2）对(A|E)施行初等行变换，将A

化为单位矩阵E

后，右边E

对应部分即为A–1；或对施行初等列变换，将A

化为单位矩阵E

后，下边E

对应部分即为A–1.例9设求矩阵X，使满足AXB=C.解于是又由且对于行数和列数较高的矩阵A，为了简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算.具体做法是：将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.（五）矩阵的分块及运算

1、矩阵的分块例即即2、分块矩阵的运算规则（1）设矩阵A

与B

同型，采用相同的分块法，有

其中Aij

与Bij

同型，那么（2）设，

为数，那么（3）设A

为m

l

矩阵，B

为l

n矩阵，分块成

其中Ai1,Ai2,…,Ait

的列数分别等于B1j,B2j,…,Btj

的行数，那么其中（4）设，则分块对角矩阵的行列式为|A|=|A1||A2|…|As|.（5）设A

为n

阶矩阵，若A

的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，且非零子块都是方阵，即其中Ai(i=1,2,…,s)都是方块，称A

为分块对角阵.例10设求AB.解把A,B分块成则又于是小结：在矩阵理论的研究中，矩阵的分块是一种最基本、最重要的计算技巧与方法.分块矩阵之间的运算(1)加法：同型矩阵，采用相同的分块法(2)数乘：数k

乘矩阵A，需k

乘A

的每个子块(3)乘法：若A

与B

相乘，需A

的列的划分与B

的行的划分相一致分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似.二、行列式（一）行列式的概念（二）行列式的运算（三）矩阵的初等变换（一）行列式的概念定理

n

阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即——依第i行展开——依第j列展开（二）行列式的性质性质1

行列式与它的转置行列式相等.性质2

互换行列式的两行（列），行列式变号.性质3

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k

乘此行列式.性质4行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.性质6把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变．注：方阵的行列式与矩阵的初等变换的联系例1计算行列式解：（三角法）例2计算行列式解：（降阶法）三、向量之间的关系（一）线性组合（二）线性相关性（三）极大（线性）无关组与秩（一）线性组合1、定义给定向量组A:

1,

2,…,

m和向量b，如果存在一组数k1,k2,…,km，使b

=k1

1+k2

2+…+km

m

则向量b

是向量组A

的线性组合，这时称向量b

能由向量组A

线性表示．存在矩阵

，使得b=A

矩阵方程Ax=b有解2、判定r(A)=r(A|b)b能由A=(

1,

2,…,

m)线性表示B=(b1,b2,…,bs)能由A=(

1,

2,…,

m)线性表示存在矩阵K，使得B=AK矩阵方程B=AK

有解r(A)=r(A|B)解只需证矩阵A=(

1,

2,

3)与矩阵B=(A|

)=(

1,

2,

3|

)有相同的秩.下面把矩阵B

化为行最简形.法一例1设证明向量

能由向量组{

1,

2,

3}线性表示，并求表示式.行的初等变换向量

可由向量组{

1,

2,

3}线性表示.r(A)=r(B)=2由最简形知，方程组Ax=

的通解为从而其中c

为任意常数.法二设k1

1+k2

2+k3

3=

即也即其中c

为任意常数.解得其通解为其中c

为任意常数.

=k1

1+k2

2+k3

3故向量

可由向量组{

1,

2,

3}线性表示，且（二）线性相关性1、定义给定向量组A:

1,

2,…,

m，如果存在不全为零的数k1,k2,…,km，使k1

1+k2

2+…+km

m

=0则称向量组A

是线性相关的，否则称它线性无关．

1,

2,…,

m

线性无关：k1

1+k2

2+…+km

m

=0k1=k2=…=km

=02、判定定理向量组

1,

2,…,

m线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A=(

1,

2,…,

m)的秩r(A)<m；向量组线性无关的充分必要条件是r(A)=m.n

个n

维向量

1,

2,…,

n线性相关r(A)=r(

1,

2,…,

n)<n|A|=|

1,

2,…,

n|=0n

个n

维向量

1,

2,…,

n线性无关r(A)=r(

1,

2,…,

n)=n|A|=|

1,

2,…,

n|

0例2已知试讨论向量组

1,

2,

3及

1,

2的线性相关性.解可见r(

1,

2,

3)=2，向量组

1,

2,

3线性相关；r(

1,

2)=2，向量组

1,

2线性无关.解例3已知向量组

1,

2,

3线性无关，

1=

1+

2,

2=

2+

3,

3=

3+

1，讨论

1,

2,

3的线性相关性.设有一组数k1,k2,k3，使k1

1+k2

2+k3

3=0即k1(

1+

2)+k2(

2+

3)+k3(

3+

1)=0亦即

(k1+k3)

1+(k1+k2)

2+(k2+k3)

3=0因

1,

2,

3线性无关，故有由于此方程组的系数行列式故方程组只有零解k1=k2=k3=0，所以向量组

1,

2,

3线性无关.（三）极大无关组及向量组的秩1、定义设有向量组A，如果能在A中选出r个向量

1,

2,…,

r，满足下面两个条件：（1）向量组A0：

1,

2,…,

r

线性无关，（2）向量组A中的每一个向量都能由向量组A0线性表示，则称向量组A0为向量组A0的极大（线性）无关组。极大无关组所含向量的个数r

称为向量组的秩。2、向量组的秩的求法向量组

1,

2,…,

m

的秩矩阵A=(

1,

2,…,

m)的秩3、极大无关组的求法若Dr

是矩阵A

的一个最高阶非零子式，则Dr

所在的r

列即是列向量组的一个极大无关组，Dr

所在的r

行即是行向量组的一个极大无关组.例4

设矩阵求矩阵A

的列向量组的一个极大无关组，并把不属极大无关组的列向量用极大无关组线性表示.解对A

施行初等行变换变为行阶梯形矩阵知r(A)=3，故列向量组的极大无关组含3个向量，且A

的列向量组的一个极大无关组为A1,A2,A4.因此A3=–2A1–A2,A5=4A1+3A2–3A4四、线性方程组的解定理n

元线性方程组Ax=b1)有唯一解2)无解3)无穷多解定理n

元齐次线性方程组Ax=0有非零解r(A)=r(A|b)r(A)=r(A|b)=nr(A)=r(A|b)<nr(A)<n定理设m

n

矩阵A的秩r(A)=r，则齐次线性方程组Ax=0

的解集S

的秩为RS=n–r.非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组Ax=b

的一个特解为

，齐次线性方程组Ax=0

的基础解系为

1,

2,…,

n–r，则非齐次线性方程组Ax=b

的通解为x=k1

1+k2

2+…+kn–r

n

–r+

其中k1,k2,…,kn

–r

为任意实数.r(A)

r(A|b)无解齐次方程的基础解系克拉默法则，r(A)=r(A|b)<n有无穷多解初等变换，非齐次方程的一个特解非齐次方程的通解b=0b

0r(A)=r(A|b)=n有唯一解Ax=bstep3.（无穷解时）进一步将矩阵化为各首非零元为1，所在列其余元素为零的矩阵step4.选择自由未知量，基本未知量step5.写出同解方程step6.求出基础解系step7.写出通解怎样选择？怎样求？齐次线性方程组求解过程

step1.系数矩阵初等行变换化为行阶梯形矩阵step2.讨论方程组的解step3.（无穷解时）进一步将矩阵化为各首非零元为1，所在列其余元素为零的矩阵step5.求出非齐次线性方程组的特解step7.求出齐次线性方程组的通解step8.写出非齐次线性方程组的通解怎样求？非齐次线性方程组求解过程step4.写出非齐次线性方程组的同解方程组step6.写出齐次线性方程组的同解方程组

step1.增广矩阵初等行变换化为行阶梯形矩阵

step2.讨论方程组的解例

1求解非齐次方程组解：令x3=c1,x4=c2则通解为（c1,c2

为任意常数）法1法2：令x3=x4=0，得又原方程组对应的齐次方程组的通解是令得基础解系所以原方程组的通解是

+k1

1+k2

2（k1,k2

为任意常数）五、二次型与特征值问题1、化二次型为标准形的方法二次型不出现平方项，只有xixj的乘积项。平方项系数至少有一个不等于零。2、判别n

元实二次型正定的充要条件（1）A

是正定矩阵（2）f

的正惯性指数为n（3）f

的规范形为z12+z22+…+zn2（4）f

的标准形（5）存在可逆矩阵C，使实对称矩阵A=CTC（6）实对称矩阵A

合同于I（7）实对称矩阵A

的n

个特征值全大于零（8）矩阵A

的每一个顺序主子式均大于零，即|Ak|>0，k=1,2,…,n。3、特征值与特征向量的概念定义设A

是n阶矩阵，如果数

和n维非零列向量x，使关系式Ax

=

x成立，那末，这样的数

称为方阵A

的特征值，非零向量x

称为A

的对应于特征值

的特征向量.说明：（1）特征向量x

0.（2）特征值问题是对方阵而言的.4、性质（1）属于不同特征值的特征向量是线性无关的．（2）属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量．（3）矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征向量不能属于不同的特征值．（4）n

阶方阵A=(aij)有n

个特征值，设为

1,

2,…,

n，则有（1）如何求A的特征值？解特征方程|

E–A|=0特征方程的根即为矩阵A的特征值（2）如何求属于特征值

的特征向量？解齐次线性方程组(A–

E)x=0其非零解即为属于特征值

的特征向量5、特征值与特征向量的求法例1

设求A

的特征值与特征向量．解令得A

的特征值为

1=–1,

2=

3=2.当

1=–1时，解方程(A+E)x=0.由得基础解系故对应于

1=–1的全体特征向量为kp1(k0)当

2=

3=2时，解方程(A–2E)x=0.由得基础解系为所以对应于

2=

3=2的全体特征向量为k2p2+k3p3(k2,k3

不同时为0)则若存在可逆矩阵P=(x1,x2,…,xn)，使得（1）

i为矩阵A的特征值（2）xi为对应于特征值

i的特征向量。6、方阵的对角化定理

n

阶矩阵A

与对角矩阵相似（即A

能对角化）的充分必要条件是A

有n

个线性无关的特征向量.推论如果n

阶矩阵A

的n

个特征值互不相等，则A

与对角阵相似．如果A

的特征方程有重根，此时不一定有n

个线性无关的特征向量，从而矩阵A

不一定能对角化，但如果能找到n

个线性无关的特征向量，A

还是能对角化．

例2解设，A

能否对角化？若能对角化，则求出可逆矩阵P，使P–1AP

为对角阵.所以A

的全部特征值为

1=

2=1,

3=–2.将

1=

2=1代入(A–

E)x=0得方程组解之得基础解系为将

3=–2代入(A–

E)x=0，得方程组的基础解系由于

1,

2,

3

线性无关，所以A

可对角化.令则有注意即矩阵P

的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应．若令则有7、实对称矩阵的对角化定理设A为n

阶对称矩阵，则必有正交矩阵矩阵P，使P–1AP=

，其中

是以A

的n

个特征值为对角元素的对角矩阵.利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵具体步骤（1）求A

的所有相异的特征值；（2）由(A–

iE)x=0，求出A

的与特征值

i对应的线性无关的特征向量；（3）将特征向量正交化；（4）将特征向量单位化.例3

设求正交矩阵T，使得T–1AT

为对角阵.解所以A

的全部特征值为

1=

2=–1,

3=8.得基础解系当

1=

2=–1时，解方程(A+E)x=0.由令先正交化：再单位化：令得基础解系当

3=8时，解方程(A–8E)x=0.由单位化得得正交矩阵T=(

1,

2,

3)有六、常见计算问题（一）求矩阵的秩（二）求向量组的秩（三）判断向量组的相（无）关性（四）求向量组的一个最大线性无关组（五）利用所求的极大无关组表示其余向量（六）求可逆矩阵的逆矩阵1）求矩阵A

的秩——

行、列则秩(A)＝行阶梯形矩阵中非零行的行数——最常用2）求向量组

1,

2,···,

s的秩——

行、列(1)以向量组

1,

2,···,

s中各向量作为列向量，构成矩阵A；(2)求出矩阵A

的秩，也即原向量组的秩.3）判断向量组

1,

2,···,

s的相(无)关性——

行、列（1）求出秩(

1,

2,···,

s)=r（2）比较

r

与s

的大小r=s

线性无关r<s

线性相关当向量个数=向量维数时求D=|

1,

2,···,

s

|D

0线性无关D=0线性相关4）求向量组

1,

2,···,

s的一个极大无关组——

行(1)以向量组

1,

2,···,

s中各向量作为列向量，构成矩阵A

；(2)则B

中各首非零元所在列对应的A

的部分向量组就为向量组

1,

2,···,

s的极大线性无关组。5）利用4)中求出的极大无关组表示其余向量——

行(1)求出向量组

1,

2,···,

s的极大无关组；(2)解非齐次线性方程组即可。6）求可逆矩阵的逆矩阵（1）公式法（伴随法）其中Aij

为行列式|A|中元素aij

的代数余子式.（2）初等变换法行的初等变换初等行变换(A|E)(E|A–1)利用初等行变换求逆阵的方法，还可用于求矩阵

A–1B.因为A–1(A|B)=(E|A–1B)即(A|B)EA–1B例1设求矩阵A

及矩阵B=(A|b)的秩.解故r(A)=2，r(B)=3.“行列式”教学要求1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质。2．会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。3．理解克莱姆法则及其应用。行列式的计算n

阶行列式的计算方法很多，除直接按定义计算外，一般还有下列方法：

1．三角法

2.降阶法“矩阵”教学要求1．理解矩阵的概念。2．了解单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵，以及它们的性质。3．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂、方阵乘积的行列式。4．理解逆矩阵的概念，掌握其性质及矩阵可逆的充要条件，理解伴随矩阵的概念，会用其求矩阵的逆。5．掌握矩阵的初等变换，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，掌握用初等变换求逆矩阵及求矩阵的秩的方法。6．了解分块矩阵及其运算。“关于矩阵的秩”怎样的情况下矩阵的秩不变？初等变换不改变矩阵的秩矩阵等价矩阵转置乘可逆矩阵矩阵的秩不变矩阵运算对秩的影响？⑴r(A

B)

r(A)+r(B);⑵r(AB)

min{r(A)，r(B)}.行秩＝列秩＝矩阵的秩方阵的秩与行列式的关系A是可逆矩阵称A

是可逆，非奇异，非退化，满秩的。A是不可逆矩阵称A

是不可逆，奇异，退化，不满秩的。设A

是n

阶方阵“向量组”教学要求1．了解n

维向量的概念。2．理解向量组线性相关、线性无关的定义，了解并会用有关向量组线性相关、线性无关的重要结论。3．了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和求向量组的极大线性无关组及秩。4．了解向量组等价的概念，了解向量组的秩与矩阵秩的