4.6正弦定理与余弦定理

4.6正弦定理与余弦定理(课标要求精细考点素养达成借助向量的运算,探索三角形边长与角度的关系,掌握余弦定理、正弦定理解三角形的个数问题通过正、余弦定理对三角形解的个数进行讨论,培养数学运算、逻辑推理素养与三角形面积有关的问题通过解决与三角形面积和形状有关的问题,培养数学运算素养三角形中的边角互化通过利用正、余弦定理解三角形,培养数学运算素养1.(概念辨析)(多选)下列说法正确的有().A.在△ABC中,a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinCB.若acosA=bcosB=ccosC,则C.在△ABC中,“sinA>sinB”是“A>B”的充要条件D.在△ABC中,若a2+b2<c2,则△ABC是为钝角三角形2.(对接教材)在△ABC中,a=7,b=8,cosC=1314,则c=3.(对接教材)若在△ABC中,2acosB=c,则△ABC的形状一定是().A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等边三角形4.(易错自纠)(多选)对于△ABC,有如下判断,其中正确的是().A.若sin2A=sin2B,则△ABC为等腰三角形B.在锐角三角形ABC中,一定有sinA>cosBC.若a=8,c=10,A=π6,则符合条件的△ABCD.若sin2A+sin2B>sin2C,则△ABC是锐角三角形5.(真题演练)(2023·全国乙卷文)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若acosBbcosA=c,且C=π5,则B=()A.π10 B.π5 C.3π10 解三角形——解的个数问题典例1在△ABC中,A=α0<α<π2,b=m.分别根据下列条件,求边长a(1)△ABC有一解;(2)△ABC有两解;(3)△ABC无解.1.在已知三角形两边及其中一边的对角,求该三角形的其他边角的问题时,首先必须判明是否有解,例如在△ABC中,已知a=1,b=2,A=60°,则sinB=basinA=3>1,问题就无解,如果有解,那么需判断是一解,还是两解2.正、余弦定理可将三角形边的关系转化为角的关系,也可将角(三角函数)的关系转化为边的关系.3.在三角形的判断中注意应用“大边对大角”.4.已知边多优先考虑余弦定理,角多优先考虑正弦定理.训练1(2023·江苏锡山高中质检)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若b=10,A=π6,且△ABC有唯一解,则a的取值范围是三角形面积问题典例2(2024·南京学情调研)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asinB+3bcosA=0.(1)求角A的大小;(2)若a=3,sinBsinC=14,求△ABC的面积使用三角形面积公式的常用策略1.对于面积公式S=12absinC=12acsinB=12bcsinA2.与面积有关的问题,一般要用正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.训练2(2023·江苏丹阳中学模拟预测)在△ABC中,内角A,B,C所对应的边分别是a,b,c,若△ABC的面积是3(b2+c2-A.π3 B.2π3 C.π6三角形中的边角互化典例3(2023·湖北黄冈中学调研)在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin2B=bsinA.(1)若a=3,b=7,求c;(2)求acosC-ccosA解三角形时,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理进行边角互化;如果式子中含有角的正弦或边的一次式,则考虑用正弦定理进行边角互化,以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.训练3(2023·江苏灌云中学质检)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asinAcsinC=(bc)sinB.(1)求角A的大小;(2)若△ABC为锐角三角形,求bc的取值范围三角形面积(周长)的范围1.三角形面积的最值核心技巧:利用不等式ab≤a+b22≤a22.三角形面积的取值范围核心技巧:利用正弦定理a=2RsinA,b=2RsinB,代入面积公式,再结合辅助角公式,根据角的取值范围,求面积的取值范围.典例1在△ABC中,C=π3,边长c=3,求a+b的取值范围典例2在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=3,bccosA=a2,则△ABC面积的最大值为.

训练(2023·江苏张家港期末)在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足2bcosC=2ac.若△ABC的外接圆的面积为16π3,则△ABC面积的取值范围是一、单选题1.在△ABC中,a=3,b=7,B=60°,则c等于().A.1 B.2 C.1或2 D.2或32.(2023·江苏常州一中月考)在△ABC中,A=30°,BC=1,则△ABC外接圆的半径为().A.1 B.12 C.2 3.(2023·山东泰安一中月考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c=4,ba=1,cosC=14,则△ABC的面积是()A.1 B.34 C.15 D.4.(2023·江苏常州一中调研)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,A=θ,a=3,b=2,若△ABC有两解,则θ的取值范围为().A.0,π3 B.0,π4 C.二、多选题5.(2023·湖北武汉一中调研)在△ABC中,已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b=6,sinA=2sinC,则以下四个结论正确的有().A.△ABC不可能是直角三角形B.△ABC有可能是等边三角形C.当A=B时,△ABC的周长为15D.当B=π3时,△ABC的面积为66.(2024·江苏江阴期初质量检测)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=23,c=3,A+3C=π,则下列结论正确的是().A.cosC=33 B.sinB=23C.a=1 D.S△ABC三、填空题7.在△ABC中,AB=2,D为AB的中点,若BC=DC=2,则AC的长为.

8.在△ABC中,若C=3B,则cb的取值范围为四、解答题9.(2023·江苏南通二模)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinC=3sinAsinB.(1)若A=π3,求cosB的值(2)若c=6,求△ABC的面积.10.(2023·浙江温州中学调研)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知bsinA=3acosB.(1)求角B的大小;(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使得△ABC存在且唯一确定,求△ABC的面积.条件①:a=4,b=3.条件②:ca=1,b=7.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.11.(2023·江苏海门期末)我国油纸伞的制作工艺巧妙.如图1,伞不管是张开还是收拢,伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC,且AB=AC,从而保证伞圈D能够沿着伞柄滑动.如图2,伞完全收拢时,伞圈D已滑到D'的位置,且A,B,D'三点共线,AD'=40cm,B为AD'的中