2023人教版新教材高中数学必修第二册同步练习-6.2.4向量的数量积

►6.2.4向量的数量积

基础过关练

题组一向量的数量积

1.(2022广西百校联盟暨桂林质检)给出下列五个命题：

①同2二层；

今_b,

③(“⑼2引。2；

④(a~h)24-2。"+阱；

⑤若4氏0,则。=0或8=0.

其中正确命题的序号是()

B.a>

c-D.axg)

2.若为色是夹角为］的单位向量，且。=26+02/=-34+262,则=()

A.lB.-4

77

C--D-

22

3.(2022贵州凯里第一中学期中)如图所示，在等腰梯形ABCZ)中,AZ)〃BC,E为线段

43的中点，赤=工而乃C=2AO=4,乙ABC=601则赤•荏二()

4

A.-12B.-10

C.-8D,-6

题组二向量的投影向量

4.（2022安徽六安舒城中学月考）已知向量。、b满足同:1,以=2,。与b的夹角为全

向量e是与向量a同向的单位向量,则向量。+匕在向量。上的投影向量为（）

A.eB.2e

C.-eD.-2e

5.（2021福建泉州期末）已知△ABC中,3而=AB+AC,（AB+前）.前=0,则向量荏

在向量而上的投影向量为（）

^AOB三而

32

C.2AOD-^40

3

6,侈选）（2021河北邯郸期末）已知非零单位向量a和瓦若。力二q,向量。在向量a

上的投影向量为G向量a在向量b上的投影向量为d,则下列结论正确的是（）

A./c/—/d/Bab—ci-c

C.d=—bD.cd=~—

39

题组三向量的模和夹角

7.（2021云南弥勒一中月考）若两个单位向量a,b的夹角为拳则|4a+5切=（）

A.lBV13

C.V21D.7

8.（2022湖南部分校联考）已知向量a、h满足同二1,回二2,且|二四,则a与8的夹

角为)

A-B-

63

cD-

-3

9.（2021江西南昌二中开学考试）已知a力是夹角为90前两个单位向量，若非零向量

c满足(c-a).(c-6)=0,则Ic|的最大值为()

A.lB.V2

C.V3D.2

10.如图，在平行四边形ABCD中,48=4/0=3,£为边CD的中点，而二:而，若荏•

B/7=-?,则cosZ-DAB=.

11.（2022辽宁辽西期中）已知向量满足同=2,网=1,3-3分3+8）=3.

（1）求心+切的值;

⑵求向量。与。-28的夹角.

题组四向量的垂直

12在△48C中，荏2=荏・尼+瓦^•瓦+百•而，则△从台。一定是（）

A.等边三角形B.锐角三角形

C.直角三角形D.钝角三角形

13.（2022黑龙江哈尔滨第三中学期中）AA5C

中，乙A=60：AB=1,AC=2,前二20+（1-乃近，且前1左,则实数2的值为（）

1123

ABCD

--------

4334

14.（2021福建三明月考）设向量a,b,c满足”+b+c=0,（。-。）_Lc,aJL。,若同=1,则

同2+网2+匕|2的值是

15.已知向量61/02不共线，向量。=为-02,^=61+202,C=3ei-02.

⑴若（0+2份〃（。+姐,求实数k的值；

⑵若右a2为相互垂直的单位向量，且（校+8），”,求实数t的值.

能力提升练

题组一向量的数量积运算P309定点1

1.（2021湖南长沙第一中学期末）已知△A3C是腰长为2的等腰直角三角形,。是斜

边A3的中点，点P在8上,且前二2而，则而•丽二（）

A,--B.--C.--D.4

999

2.（2022河南省实验中学期中）如图所示，点C在以O为圆心,2为半径的圆弧A8上

运动，且乙4。8二拳则瓦■刀的最小值为（）

A.-4B,-2C.OD.2

3.（2020江苏天一中学月考）对任意两个非零向量m和〃，定义新运算

"":〃2〃=翳,若两个非零向量。力满足。与〃的夹角且。和8a

都在集合《\nGZ｝中，则ab=.

题组二向量的夹角和模P310定点2

4.（2022北京西城期末）如图,A3为半圆的直径，点C为的的中点，点M为线段AB

上的一点（含端点A、3）,若A8=2,则西+而|的取值范围是（）

C

AV/R

A.[l,3]B.[V2,3]

C.[3,V10]D,[V2,710]

5.（多选）（2021河北张家口宣化第一中学月考）已知a,b是平面上夹角为三的两个单

位向量,C在该平面上，且3-c）-3-c）=o,则下列结论中正确的是（）

\\a+b\-\

BJ。-例=1

C.|c|<V3

D.（a+与与c的夹角是钝角

6.（2022浙江北斗联盟期中）已知向量%满足|。-旬二3,同二2网，设。方与a+8的夹角

为。，则cos6的最小值为（）

43

AiB?

CiD-

U5

7.（2022安徽淮北第一中学月考）已知平面向量。、。、e,e是单位向量，若非零向量a

与e的夹角为全向量b满足"-4e乃+3=0,贝lj|af|的最小值是（）

A.V3-1B,V3+1

C.2D.2-V3

题组三向量数量积的综合应用

8.（2020黑龙江哈尔滨六中期中）已知O是△ABC所在平面内的一个定点，动点P

满足而=空"+2'-上一+审广…'/6[0,+8）,则动点P的轨迹一定通

2\AB\CQS£.ABC\AC\CQSZ.ACB

过△A3C的（）

A.重心B,垂心C.外心D.内心

9.（2021江苏无锡一中期中）如图，在正方形ABCQ中，七是3c的中点，点厂在8边

上运动（含C,D点）.

⑴若点F是CD上靠近C的三等分点,设丽二2荏+〃而，求2+〃的值；

⑵若A8=2,当荏­~BF^\时，求cosAEAF的值.

P309定点1

10.如图，在AABC中,CA=LCB二2,4ACB=60

⑴求丽;

⑵已知点D是A3上一点，满足而=2荏，点E是CB边上一点，满足丽二2近.

①当初时，求族•CD；

②是否存在非零实数2,使得荏1而?若存在，求出见的值;若不存在,请说明理由.

P31O定点2

答案与分层梯度式解析

基础过关练

l.B

22

2.C由已知，得白色弓白的21cosm=.\a-b=(2ei+e2)-(-3ei+2e2)=-6leil+2^e2\+ere2=-^,

故选C

3.B过点A、。作AM、OV垂直于BC于点M、N删MN=AD=2,BM=CN=1,

ZABC=60°,：.AB=CD=2,

：£为线段A8的中点，而=河

4

而质=屏+河〉(源-BC)=源-~BC-BC2+|CD-~BA-|CD-

BC=-x2x4xcos60°—42+-x2x2xcos60°--x2x4xcos120°=

255

2-16+:+?=-10.故选B.

4.BV(a+b)-a=a2+a-b=\a\1+/a//h/cos^=14-1X2x1=2,/.向量a+b在向量a上

的投影向量为@罕XeHxeWe.故选B.

|a|1

5.B如图所示,AABC中，取D为BC的中点，则荏+AC=2而.

--->--->--->---><2--->

3A0=AB+AC,：,AD=-AO,

2

(荏+前)•近=0,「mA。.,.向量屈在向量而上的投影向量为福即|布故

选B.

6.ABD,：a和h为单位向量,二.同=|0=1,

•••向量b在向量a上的投影向量c芈乂。=咚为同理可得向量a在向量b上的投

|a|3

影向量d=《b,C错误；

•।।V3y/3।.y/3y/3.十七4A

••kl=~~a=~'\7^=7=W，A正确;

a-c^ia/ccos<a,c>=lx-xcos冗=--^~=。•4B止确；

c-d=!cIIdcos<c,</>=^x-cos<a,b>^-x(一与=——,D正确.故选ABD.

33313)9

7.C因为(4a+5b)2=16a2+40a为+25h2=16xl2+40xlxlxcosy+25义1121,所以

|4a+5/?|=Vn.

故选C.

8.B\a4?|=V3,/.a2+h2-2a-b=3,§P1+4-2X1X2XCOS<Q力>=3,cos<a,b>=^.

又<a,b>£[0,7r],<08>三.故选B.

9.B设Q+b与c的夹角为仇由题意知,a-b=Q,则

(c-a)-(c-/?)=c2-(a+Z?)-c+tz-^c2-(a+b)-c=|c|2-|tz+Z?||<?|cos>0,因为c为非零向量，所以

|c|=|a+例cos先|。+为易得|。+例=&,因止匕|c|的最大值为四.

10.答案J

O

解析'：DF=^FA,：.AF=^AD,

>11>.>■'>2'>

：.BF=BA+AF=-AB+-AD.

3

-->--»-->-->i-->

'：AE=AD+DE=AD+-AB,

2

：.AE-BF=(AD+•(-荏+|AD)

」标2二荏.而二四2

332

221

=-x32--x4x3xcosZDAB--x42

332

=3

.*.cosZDAB=^.

8

IL解析[(a-3b)-(a+b)=3,

22

/.\a\+a-h-3a-h-3\h\'=3l

「•4-2。力-3=3,即a-b=-\,

故|a+O|=J|a+—,y|(2|2+2a-b+\b\2=,4—2+1=V3.

(2)设向量a与a-2b的夹角为3,

[JI|[n_a(a-2b)=|ay-2ab

人」'|a||a-2fe|\a\\a-2b\'

*.*\a-2b\^y/\a-2b\2=J\a\2—4a-b+4|b|2=04+4+4=2A/3,/.cos

匕4+2=取

2X2V32'

又•.•。£[0向...伊?即a与a-2h的夹角为也

12.C由题可得荏2一荏•元=雨•前十百•而，

即荏•(荏-AC)=BC-(BA-CA),

即荏-CB=JC-'BC,

：.AB-~BC+BC-BC=0,

：.BC(AB+BC)=0,

即前­左=0,即近1AC,：.BC±AC,

AABC是直角三角形，故选C.

13.DBP=ABA+(\-X)BC=-AAB+(\-^(AC-AB)=(l-X)AC-AB,

'：~BP1AC,：.BP-AC=[{\->^AC-AB]-AC=(1->SAC2-AB•AC=Q,

.,.4(14)-lx2x1=0j?WA^.

故选D.

14.答案4

解析令标=©方=瓦由于小瓦所以以AQAB为邻边的平行四边形ABC。为矩形.

a+h+c=0,CA=c.

0

(a-h)±c^BD=a-b,：.CA±BD,

，四边形A3CQ为正方形.

，|a|=|b|=L|d=VX

A|fl|2+|Z?|2+|c|2=4.

15.解析⑴•••a=e]-《2,h=ei+2e2,c=3ei-a,

a+2h=3e\+3e^,b+kc=(1+3/:)ei+(2-/:)e2.

'：(a+2h)//(h+kc),

，由向量共线定理可得，存在实数尢使得X(a+2h)=b+kc,

贝ij32白+3〃2=(1+3。61+(2-%)62,

.•飞也不共线，，泉=]+解得H

(2)*.*a=ei-e2,b=e\+2e2,

:.ta+h=(t+1)e।+(2-/)e2.

•二(ta+h)±a,(ta+b)a=O,

I.Q+1)“+(1-2/)ei•62+(+2)e/=0.

•.Z],改为相互垂直的单位向量，

.".ere2=0,|ei|=|e2|=l,

1

211=0,片

能力提升练

1.C由题意可知方=瓦一而，而二而一而,

：.PA-PB=（CA-CP\（CB-CP）=CA-CB-（CA+CB）-CP+CP2=0-2CD-CP+

CP2,

------>>>2，>

VCP=2PD,：.CP=-CD.

3

由D是斜边A6的中点，可知C0=1/B=V2,

：-2CD--CD+-CD2=2

.~PA-~PB=39--9CD=9

故选c.

2.B如图，连接AB,OC,过O作OP垂直AB于点P,则。为AB的中点.

OA=OB=2,ZAOB^,：./OB—

36

，ODBsinN。叱2x11.

2

设〈而，方>="贝ij6»e[o,^],

：.CB-CA=（OB-OC）-（OA-OC）

=OA-OB-（OA+OB^OC+OC2

=2x2xcosy-2OP-OC+4=2-2xlx2xcos<9=2-4COS6昨[o,g

易知当（9=0时，丽•不取得最小值，为2-4xl=-2,

：.CB­5的最小值为-2.故选B.

3.答案!

解析根据新定义，得

ab_\a\\b\cos6翳COS

4助二

bb\b\2

ba\a\\b\cos0

。国Q=■-二-——回cos0

aa|a|zI«l

因为。勖和b^a都在集合《|九eZ｝中，所以可设血吟腿。音（小/2£Z）,那么

（a勖）Qllkgcos?心平，又所以0<〃]〃2<2,因为〃“小金％，所以%〃2=1,所以

4\42/

整数〃1,〃2的值均为L故。助器=

4.D,点C为检的中点,前|=V2,ZCAB=^,

：.\AC+丽F=（而+MB）2=AC2+MB2+2AC-MB

=|荷2+\'MB\2+2\AC\\MB\cos^

=|丽|2+2|W|+2=（|W|+l）2+l.

•••点M为线段AB上的一点（含端点A,B\

：.0<\MB\<2,

.,.2<（|W|+l）2+l<10,

/.\AC+丽|的取值范围是[心房].故选D.

5.BC如图，设市=为丽=瓦反=6由3七）。七）=0,得前1而，点C在以AB为直径

的圆上（可以与A.B重合），设AB的中点是M.

则|a+例=|2而|=8,故A错误；

•.•[0川=|03|=1,/408竹,.，.|4引=|0川=1,即|外例=1,故B正确；

易知Id的最大值为|丽|+\MC\+|<8，故C正确；

a+b与而同向，由图可知，砺与c的夹角不可能为钝角，故D错误.

故选BC.

6.B令"=乙则a2=4h2=4t,

贝（J

所以2a-b=5t-9,

由5卜9=2。后21all切4/得t<9,

由5卜9=北•拒-2同网=-4/得仑1,

所以1</<9,

\a+b\=yj(a4-b)2=>Ja2+2a•b+b2=VlOt—9,

所以cos。一(Q+b>(a-")二二2一标t二］12

\a+b\\a-b\V10C-9X3V10t-9\10t-9;

「2

令y-lot-j显然1o*+9y=o,

所以/=100436龙0,即y>—,

当尸卷时尸看£口⑼，

所以cos9的最小值为区=；故选B.

7255

7.A由b2/e./7+3=O,可得(h-e>3-3e)=0,

A{b-e)±(”3e),如图，作旅=”,丽=瓦沆=e,赤=3%则ZAOC=^,CB=h-e,DB=h-3e,

：.CB1砺，即点8在以CD为直径的圆上，设CD的中点为月则|而|=2.

'：BA=a-h,A,B均为动点,...当A乃下三点共线且FAVOA时而|有最小值,

.,.丽|min=\FA\-1=|国s吗-1=V3-1,

|a-Z?|min=V3-l.

8.C设BC的中点为。则竺产=0D,

所以°P=OD+A（画cos—BC+\AC\cos^ACB

而AC\

所以DP=aCOSZ.ABC\AC\cosz.ACBJ1

（ABBC+ACBC

所以丽•丽=A

\|jB|cosZi4BC\AC\CQSZ.ACB

|4B||BC|cos（n-乙AB%

\AB\COSZ-ABC

丽质|cos乙4cB

\AC\cosz.ACB

=2（.阮|+画|）=0,

所以91说.

因为。为8c的中点，

所以点尸在8C的中垂线上，

所以点P的轨迹一定通过△ABC的外心.

故选C

9.解析⑴；E是8C的中点，点F是CD上靠近C的三等分点,

->1>1>>1>1>

：.EC=-BC=-AD,CF=--DC=--AB,

2233

-->-->-->1