河北省石家庄市第四十中学2022-2023学年九年级上学期数学期末试卷（含答案与解析）

绝密★启用前

2022~2023学年度上期期末教学质量检测试卷

九年级数学

（时间：90分钟满分：100分）

注意事项：

1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答。

2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项。

3.考试结束，由监考人员将试卷和答题卡一并收回。

一、单选题（1-10题，每题3分，11-16题，每题2分，共42分）

1.下列方程是关于x一元二次方程的是（

A.ax1+Z?%+c=0B.2（1）2=3（1）

C.2x?-3x=x（2x+l）D.--3=x2

x

2.如图，直线4〃4〃4,直线〃、。与4、（2、4分别交于点A、B、C和点。、E、F，若

AB:BC=l:2,DE=2,则的长为（

C.4D.5

3

3.反比例函数y=-一，下列说法不正确的是（）

x

A.图象经过点（1,-3）B.图象位于第二、四象限

C.图象关于直线y=x对称D.），随x的增大而增大

4.如表是某班体育考试跳绳项目模拟考试时10名同学的测试成绩（单位：个/分钟）

成

绩140160169170177180

（个

/分

钟）

人

111232

数

则关于这10名同学每分钟跳绳的测试成绩下列说法错误的是（）

A.众数是177B.平均数是170

C.中位数173.5D.方差是135

5.如图，ZiAOB是等边三角形，B（2,0）,^△AOB绕O点逆时针方向旋转90。到△A，OB，位置，则N

B.(-G，1)C.(73.-1)D.(1,-73)

6.如图所示，网格中相似的两个三角形是（)

A.①与④B.②与③C.①与⑤D.②与⑤

7.二次函数y=—2（犬+3）2-1的顶点坐标是（)

A.（3,1）B.（3,-1）C.(-3,1)D.(-3,-1)

8.如图，。。的半径为5,弦A8=8,。是优弧AB上一点，则sinZ）=（)

k

9.当％<0时，反比例函数y=一和一次函数y=fcv+2图象大致是（）

X

VK

10.已知48=2,点P是线段AB上的黄金分割点，且AP>BP,则AP的长为()

A.B.75-1C.3-石D.3-V5

22

11.观察如图所示的几何体，从左面看到的图形是（）

脂

A.--------B.------C.H

D.---------

12.如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心。则折痕AB的长度为()

Ag------\B

A.y/3B.2C.2y/3D.(1+273)

13.已知抛物线尸炉+法+c的部分图象如图所示，以下结论：①。儿>0；②方程/+法+°=0的根是处=

-1,短=3；③抛物线上有三点（-1,yi）,（1,>2）,（4,第），则?>”>”；④若-l<x<2,则y的

取值范围是-40，VO；其中正确的有（）

A①②B.①②③C.①②④D.①②③④

14.疫情期间，育才中学为每个班级准备了免洗抑菌洗手液.去市场购买时发现当购买量不超过100瓶

时，洗手液的单价为8元；超过100瓶时，每增加10瓶，每瓶单价就降低0.2元，但最低价格不能低于每

瓶5元.若学校购买洗手液共花费1200元，则购买洗手液的瓶数是（）

A.200B.150C.150或200D.200或300

15.如图，明年舟山将再添一个最高颜值城市新地标，新城长峙岛上将矗立起一座摩天轮，其直径为

90m,旋转1周用时15min.小明从摩天轮的底部（与地面相距0.5m）出发开始观光，摩天轮转动1周，

小明在离地面68m以上的空中有多长时间？（）

A.3minB.5minC.6minD.lOmin

16.如图，△Q43中，ZOAB=90°,NQB4=30。，A8与不轴相交于点C,0c平分/AO8,点A

在双曲线、=迈*>0）上，点8在双曲线y=&（x>0）上，则后的值为（

Xx

A.6^3B.一6百C.1273D.-12G

二、填空题（17题3分，18、19题每题5分，共13分）

「「abr、a—b-g

17.已知一=—,则［―的值是一.

32b

18.如图，点。为等边三角形ABC的外心，连接。4,。&

①ZAOB=C

②弧AC以。为圆心，2为半径，则图中阴影部分的面积等于.

19.寒假在家学习网课时，小李将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹

角为120。，此时感觉最舒适（如图1）,侧面示意图为图2.使用时为了散热，他在底板下垫入散热架

ACO'后，使电脑变化至AO'B'位置（如图3）,侧面示意图为图4,已知。4=OB=24cm,

O'C_LOA于点C,O'C=12cm.

（1）求NC4O'的度数；

（2）显示屏的顶部3'比原来升高了多少.（结果保留到0.1CM,参考数据：G取1.73）

三、解答题（共3道，20题15分，21题13分，22题17分，共45分）

20.中国共产党的助手和后备军——中国共青团，担负着为中国特色社会主义事业培养合格建设者和可靠

接班人的根本任务.成立一百周年之际，各中学持续开展了4青年大学习；B：背年学党史；C：中国梦宣

传教育；D：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学生可以任选一项参加.为了解参与情况，进行

了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图.

请根据图中提供的信息，解答下列问题:

（1）在这次调查中，一共抽取了名学生；

（2）补全条形统计图;

（3）若该校共有学生1280名，请估计参加8项活动的学生数；

（4）小杰和小慧参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求他们参加同一项活动的概率.

21.如图，在“SC中，/。=90°,4。是二84。的平分线，。是A3上一点，以Q4为半径的。。经过点

D.

（1）求证：8c是。。的切线；

（2）若BD=5,DC=3,求AC的长.

4,

22.如图，直线y=-§x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,抛物线L：y=-x~+bx+3c经过点A,L与

线段AB的另一个交点为点C（不与点B重合），「（，％〃）为抛物线上点A,C之间的一动点.

（1）点A的坐标为，点3的坐标为

（2）求b,c的数量关系（要求有必要过程）；

（3）若L经过。8的中点，

①求L的解析式（要求有必要过程）；

②请直接写出点P到AB距离最大值______.

参考答案

一、单选题（1-10题，每题3分，11-16题，每题2分，共42分）

1.下列方程是关于x的一元二次方程的是（）

A.ax2=0B.2（x—1）~=3（x—1）

2

C.2x2—3x=x（2x+l）D.3=x2

x

【答案】B

【解析】

【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可.

【详解】解：A、当。=0时，该方程不是一元二次方程，故本选项不合题意；

B、该方程是一元二次方程，故本选项符合题意；

C、该方程化简可得3x+x=0,是一元一次方程，故此选项不符合题意；

D、该方程不是整式方程，故此选项不符合题意；

故选：B.

【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注

意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0"；“整式

方程”.

2.如图，直线4〃/2〃4，直线“、力与4、‘2、13分别交于点A、B、。和点。、E、F，若

AB:BC=\:2,DE=2,则E/的长为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】

【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可.

【详解】解：；直线八〃/2〃，3,

.（.-D-E-=-A--B=-1,

EFBC2

.\£F=2D£=2x2=4.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质，能够熟练运用其性质是解题的关键.

3

3.反比例函数y=——，下列说法不正确的是（）

x

A.图象经过点（1,-3）B.图象位于第二、四象限

C.图象关于直线y=x对称D.），随X的增大而增大

【答案】D

【解析】

【分析】通过反比例图象上的点的坐标特征，可对A选项做出判断；通过反比例函数图象和性质、增减性、

对称性可对其它选项做出判断，得出答案.

3

【详解】解：由点（1,-3）的坐标满足反比例函数）故A是正确的；

由左=一3<0,双曲线位于二、四象限，故B也是正确的：

3

由反比例函数的对称性，可知反比例函数）=--关于对称是正确的，故c也是正确的，

X

由反比例函数的性质，攵<0,在每个象限内，y随8的增大而增大，不在同一象限，不具有此性质，故D

是不正确的，

故选D.

【点睛】考查反比例函数的性质，当％<0时，在每个象限内y随工的增大而增大的性质、反比例函数的

图象是轴对称图象，、=%和y=-*是它的对称轴，同时也是中心对称图形；熟练掌握反比例函数图象上

点的坐标特征和反比例函数图象和性质是解答此题的关键.

4.如表是某班体育考试跳绳项目模拟考试时10名同学的测试成绩（单位：个/分钟）

成

绩

（个140160169170177180

/分

钟）

人

111232

数

则关于这io名同学每分钟跳绳的测试成绩，下列说法错误的是（）

A.众数是177B.平均数是170

C.中位数是173.5D.方差是135

【答案】D

【解析】

【分析】根据平均数、方差、中位数和众数定义分别进行解答，即可求出答案.

【详解】解：A、这组数据中177出现次数最多，即众数为177,此选项正确；

B、这组数据的平均数是：（140+160+169+170X2+177X3+180X2）+10=170,此选项正确;

c•.•共有10个数,

中位数是第5个和6个数的平均数，

.•.中位数是(170+177)+2=173.5；此选项正确;

。、方差=焉[(140-170)2+(160-170)2+(169-170)2+2X(170-170)2+3X(177-170)2+2X(180-170)2]=

134.8；此选项错误;

故选：D.

【点睛】本题主要考查方差、中位数、平均数、众数等，熟练掌握中位数、众数及平均数、方差等定义是

解题的关键.

5.如图，AAOB是等边三角形，B(2,0),将AAOB绕O点逆时针方向旋转90。到△ADB，位置，则A，

B.(-6,1)C.(6，-1)D.(1,一6)

【答案】B

【解析】

【分析】过点A'作A'C，x轴于C,根据点B的坐标求出等边三角形的边长，再求出NA'OC=30。，

然后求出OC、A'C,再根据点A'在第二象限写出点A'的坐标即可.

【详解】如图，过点A'作A'C_Lx轴于C,

VB(2,0),

，等边aAOB的边长为2,

又：/A'OC=90°-60°=30°,

a

.\OC=2Xcos300=2X"=6，A'C=2X；=1,

22

•..点A'在第二象限，

.•.点A，(-1).

故选:B.

【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，等边三角形的性质，根据旋转的性质求出NA'OC=30。,

然后解直角三角形求出点A'的横坐标与纵坐标的长度是解题的关键.

6.如图所示，网格中相似的两个三角形是（）

A.①与④B.②与③C.①与⑤D.②与⑤

【答案】D

【解析】

【分析】分别根据网格的特点求得各三角形三边的长，根据三边对应成比例判断两三角形相似即可

【详解】解：根据网格的特点，①号三角形的三边长分别为：2,4,2有；

②号三角形的三边长分别为：20,2夜,4

③号三角形的三边长分别为：713,713,4

④号三角形的三边长分别为：2,3,加

⑤号三角形的三边长分别为：3,3,3夜

2722A/24

二②与⑤相似，故D选项正确，符合题意；其他选项不正确

故选D

【点睛】本题考查了网格中判断相似三角形，分别求得各三角形的边长是解题的关键.

7.二次函数y=-2（x+3）2—l的顶点坐标是（）

A（3,1）B.（3,-1）C.（-3,1）D.（-3,-1）

【答案】D

【解析】

【分析】根据二次函数y=a（x—〃）2+A:的顶点坐标是（〃,％）,即可求解.

【详解】解：二次函数y=-2（x+3）2—1的顶点坐标是（-3,-1）.

故选：D

【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握次函数y=a（x—〃丫+女的顶点坐标是小，女）

是解题的关键.

8.如图，。。的半径为5,弦AB=8,。是优弧AB上一点，则sinD=（）

7

A.-B

5-i口1

【答案】A

【解析】

【分析】首先作直径BC,连接AC,根据直径所对的圆周角是直角，可得NCAB=90。，又由同弧所对的圆

周角相等，可求得继而求得答案.

【详解】解：作直径3C,连接AC,

ZCAB=90°,

•.•半径为5,

.•.BC=10,

VZD=ZC,AB=8,

sinC=sin£>=—=—=-

BC105

【点睛】此题考查了圆周角定理以及三角函数等知识.注意直径对的圆周角是直角，作出辅助线是关键.

9.当&V0时，反比例函数）=一和一次函数y=H+2的图象大致是（）

x

【解析】

【分析】根据一次函数与反比例函数图象的特点与系数的关系解答即可.

【详解】当&V0时，反比例函数y=X的图象在二四象限，同时一次函数>=丘+2经过第一、二、四象

x

限，只有B选项的图象满足要求，

故选:B.

【点睛】本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由左的取值确定函数所在的象

限.

10.已知AB=2,点P是线段AB上的黄金分割点，且则AP的长为（）

A.B.V5-1C.3-6D.3-75

22

【答案】B

【解析】

【分析】根据黄金分割点的定义和AP>BP得出AP=更二1AB,代入数据即可得出AP的长度.

2

【详解】解：由于P为线段48=2的黄金分割点，

且AP>BP,

则”=好32=6-1.

2

故选:B.

【点睛】本题考查了黄金分割.应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的三屿，较长的线段=

2

原线段的或二L

H.观察如图所示的几何体，从左面看到的图形是（）

【答案】C

【解析】

【分析】从左面只看到两列，左边一列3个正方形、右边一列1个正方形，据此解答即可.

【详解】解：观察几何体，从左面看到的图形是

故选：C.

【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图.

12.如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心。，则折痕的长度为()

A.6B.2C.273D.(1+273)

【答案】C

【解析】

【分析】过0作OCJ_AB,交圆0于点D,连接0A,由垂径定理得到C为AB的中点，再由折叠得到

CD=OC,求出0C的长，在直角三角形AOC中，利用勾股定理求出AC的长，即可确定出AB的长.

【详解】过0作OCLAB,交圆。于点D,连接0A,

由折叠得至IJCD=0C=10D=lcm,

在RtAAOC中，根据勾股定理得：AC2+OC2=OA2,

即AC2+1=4,

解得：AC=gcm,

贝ijAB=2AC=2石cm.

故选C.

【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，以及翻折的性质，熟练掌握垂径定理是解本题的关键.

13.已知抛物线y=N+6x+c的部分图象如图所示，以下结论：①出?c>0；②方程/+公+°=0的根是xi=

-1,也=3；③抛物线上有三点(-1,yi),(1,>2),(4,8)，则④若则y的

取值范围是-4WyV0；其中正确的有()

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

【答案】C

【解析】

【分析】根据函数图像经过(-1,0)和(0,-3)两点，求出函数解析式，然后进行逐一判断即可得到

答案.

【详解】解：把(-1,0)和(0,-3)代入y=x2+/?x+c得：

(-lp+c-8=0

c=-3

b=—2

解得：\\

[c=-3

.\y=x2-2x-3,

,b=-2,c=-3,

.\abc=lX(-2)X(-3)>0,故①正确；

令y=0,则N-2X-3=0,

解得：为=-1,初=3,故②正确；

把(-1,yi),(L”)，(4,”)分别代入y=N-2%-3得：yi=0,yz=-4,*=5,

1y2,故③错误；

V-1<%<2,对称轴为5=1,

・・・y的最小值为-4,

当x=-l时，y=0,当元=2时，y=-3,

・・・y的取值范围为-4WyV0,故，④正确；

故选C.

【点睛】本题主要考查了二次函数的相关知识点，解题的关键在于能够准确求出二次函数解析式，然后进

行判断求解.

14.疫情期间，育才中学为每个班级准备了免洗抑菌洗手液.去市场购买时发现当购买量不超过100瓶

时，洗手液的单价为8元；超过100瓶时，每增加10瓶，每瓶单价就降低0.2元，但最低价格不能低于每

瓶5元.若学校购买洗手液共花费1200元，则购买洗手液的瓶数是（)

A.200B.150C.150或200D.200或300

【答案】A

【解析】

【分析】设购买洗手液x瓶，列出一元二次方程计算即可;

【详解】设购买洗手液x瓶,

V8x100=800<1200,

.•.x>100,

x=1200,

解得：％=200,々=300,

•.•8-。心三君.,

Ax<250,

x=200；

故答案选A.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，准确计算是解题的关键.

15.如图，明年舟山将再添一个最高颜值城市新地标，新城长峙岛上将矗立起一座摩天轮，其直径为

90m,旋转1周用时15min.小明从摩天轮的底部（与地面相距0.5m）出发开始观光，摩天轮转动1周,

小明在离地面68m以上的空中有多长时间？（）

A.3minC.6minD.lOmin

【答案】B

【解析】

【分析】延长A。交圆上点G,过OG的中点H作PQLAG,连接P。、PQ.在RtAOPH中利用锐角

三角函数先求出NPOH的度数，再求出ZPOQ,最后根据摩天轮转一周的时间计算出小明在68加空中

的时间.

【详解】解：延长A0交圆上点G,过0G的中点“作PQLAG,连接PO、PQ.

OB=45m,AB=0.5m,AH=68〃？.

PQ上的点都距离地面68/77,

弧尸G。上的点都大于68.

在RtAOPH中，

-.■OP=45m,OH=22.5m,

：.NF=30。.

ZPOH=60°.

同理NQOH=60°.

ZPOQ=120°.

••,摩天轮旋转1周用时15加〃，

120

摩天轮旋转120°用时：15x—=5（加〃）.

即摩天轮转动1周，小明有5根山在离地面68〃?以上的空中.

故选:B.

【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、根据题意构造直角三角形是解决本题

的关键.

16.如图，4明？中，NQ4B=90°,NQB4=30°,43与％轴相交于点C,0C平分/AOB,点A

在双曲线y=2叵（X>0）上，点8在双曲线、="。>0）上，则左的值为（

)

Xx

A.6GB.一66C.126D.-12石

【答案】D

【解析】

【分析】作AM_Lx轴于M,BN_Lx轴于M得至I」NAOB=60°,通过证得△AOMS/XBON,

黑皿=（/丝\］2,根据反比例函数系数”的几何意义进而即可求解.

S&BONVOBJ

【详解】解：△OAB中，ZOAB=90°,/O8A=30。，

ZAOB=60°,OB=2OA,

作AM_Lx轴于M,8N_Lx轴于N,

ZAOC=ZBOC=30°,

ZAMO^ZBNO,

：.XAOMs丛BON,

.5"

F°NGJ'

•・c'36

x

•S&AOM=-3V3=-y-，

3百

•F，］

••1,,"4，

2^1

.•.附=12后

'：k<0,

k=-12^j3.

故选：D.

【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，含30度角的直角三角形的性质，三角形相似的判定和

性质，根据三角形相似的性质得到关于々的方程是解题的关键.

二、填空题（17题3分，18、19题每题5分，共13分）

17.己知二=2,则二的值是

32b

【答案】y##0.5

【解析】

【分析】直接根据比例的性质进行求解即可.

【详解】解：；二=2,

32

.。_3

••一=一，

b2

:.a=—3b,,

2

3,

.a-b2，J；

"~b~~b~2

故答案为g.

【点睛】本题主要考查比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键.

18.如图，点。为等边三角形ABC的外心，连接。4,08.

①ZAOB=C.

②弧AC以。为圆心，2为半径，则图中阴影部分的面积等于.

4

【答案】0.120②.―几

3

【解析】

［分析】①连接0C利用等边三角形的性质可得出AAOC=ACOB三ABOA,NAOB=NAOC=/BOC,

可得出NAOB的度数

②阴影部分的面积即求扇形AOC的面积，利用面积公式S=33二求解即可.

360

【详解】解：①连接OC,

A

C

•••0为三角形的外心，

.\0A=0B=0C

AAOC^ACOB^ABOA

NAOB=/AOC=40c

，/AOB=120。.

②,/AAOCmCOB^ABOA

••0^AOB-0AAOC

，阴影部分的面积即求扇形AOC的面积

_120x乃x2?_4万

・扇A”-^5--~T

，阴影部分的面积为：一.

3

【点睛】本题考查的知识点有等边三角形外心的性质，全等三角形的判定及其性质以及扇形的面积公式,

利用三角形外心的性质得出OA=OB=OC是解题的关键.

19.寒假在家学习网课时，小李将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹

角为120°,此时感觉最舒适（如图1）,侧面示意图为图2.使用时为了散热，他在底板下垫入散热架

ACO'后，使电脑变化至AO'B'位置（如图3）,侧面示意图为图4,已知。4=OB=24C〃7,

O'C_LQ4于点C,O'C=12cm.

（1）求NC4O'的度数；

（2）显示屏的顶部比原来升高了多少.（结果保留到0.1cm,参考数据：G取1.73）

Itll图2图3图4

【答案】(1)30°；(2)15.2cm

【解析】

【分析】(1)通过解直角三角形即可得到结果；

(2)过点B作BDLAO交AO的延长线于D,通过解直角三角形求得BD的长，由C、O\B，三点共线可

得结果，计算OB4OC-BD即可求解.

【详解】解：(1)；O'C_LOA于C,OA=O8=24cm,

O'CO'C1

O'A~OA~2'

：.ZCAO'=30°；

(2)过点B作BOLA。交A。的延长线于

OB

：.BD=OB•sin/BOQ,

♦.'/A08=120°,

ZBOD=60°，

：.BD=OB•sin/BOO=24X

"：O'CLOA,ZCAO'=30°,

：.ZAO'C=60°,

VZAO'B^120°,

ZAO'B'+ZAO'C=ISO°,

：.O'B'+O'C-BD=24+\2-l2y/3-i5.2.

显示屏的顶部夕比原来升高了约15.2cm.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.

三、解答题(共3道，20题15分，21题13分，22题17分，共45分)

20.中国共产党的助手和后备军——中国共青团，担负着为中国特色社会主义事业培养合格建设者和可靠

接班人的根本任务.成立一百周年之际，各中学持续开展了4青年大学习；B-.背年学党史；C：中国梦宣

传教育；D：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学生可以任选一项参加.为了解参与情况，进行

了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图.

请根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）在这次调查中，一共抽取了名学生；

（2）补全条形统计图；

（3）若该校共有学生1280名，请估计参加B项活动的学生数；

（4）小杰和小慧参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求他们参加同一项活动的概率.

【答案】（1）200；

（2）见解析；（3）估计参加8项活动的学生数有512名；

（4）画树状图见解析，他们参加同一项活动的概率为

4

【解析】

【分析】（1）根据。项活动所占圆心角度数和。项活动的人数计算即可；

（2）根据总人数求出参加C项活动的人数，进而可补全条形统计图；

（3）用该校总学生人数乘以抽查的学生中参加B项活动所占的比例即可；

（4）画出树状图可知，共有16种等可能的结果，其中他们参加同一项活动的情况数有4种，然后根据概

率公式计算即可.

【小问1详解】

72°

解：40+——=200（名），

360°

即在这次调查中，一共抽取了200名学生，

故答案：200；

【小问2详解】

参加C项活动的人数为：200—20—80—40=60（名），

补全条形统计图如图：

【小问3详解】

1280x—=512(名)，

200

答：估计参加3项活动的学生数有512名;

【小问4详解】

画树状图如图：

开始

由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中他们参加同一项活动的情况数有4种，

41

所以他们参加同一项活动的概率为7-

164

【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，列表法或树状图法求概率，能够从不同

的统计图中获取有用信息是解题的关键.

21.如图，在“SC中，/。=90。,4。是二84。的平分线，。是A3上一点，以。4为半径的经过点

D.

(1)求证：8C是0。的切线；

(2)若BD=5,OC=3,求AC的长.

【答案】（1）见解析（2）6

【解析】

【分析】（1）要证6c是。。的切线，只要连接。。，再证0。1即可.

（2）过点。作于点E，根据角平分线的性质可知CO=DE=3,由勾股定理得到BE的长，再通

过证明ABDESABAC,根据相似三角形的性质得出AC的长.

【小问1详解】

VAO是N84。的平分线，

Z1=Z3.

•/OA=OD,

N1=N2.

，/2=/3.

•••0D//AC.

：.ZODB=ZACB=9Q°.

；•ODVBC.

：.8C是。。的切线；

【小问2详解】

解：过点D作DEJ.AB于点E,

•••NC=90°,A。是/RAC的平分线，，

Z.CD=DE=3.

在七中，ZB£Z)=90°,

由勾股定理得：BE^\IBD2-DE2=752-32=4>

•••ABED=ZACB=90°,NB=NB,

•••△BDESMAC.

BEDE

BC-AC

.43

••__—___•

8AC

AC-6.

【点睛】本题综合性较强，既考查了切线的判定，要证某线是圆的切线，己知此线过圆上某点，连接圆心

与这点（即为半径），再证垂直即可.同时考查了角平分线的性质，勾股定理得到3E的长，及相似三角形

的性质.

4

22.如图，直线y=-§x+4与x轴、y轴