普通数学课堂作业数列

普通堂作棠:数列

第一条且^^：

兢技三494170576曾坊庭

兢技三494170590王^怡

Fibonacci数歹！J

蜜蜂典数擘

蔡聪明

蜜蜂探花醺蜜，生崖花粉、蜂螭、蜂王乳，加且"忙植物散播花粉，傅宗接代。

因此，蜜蜂跟人^的生活，保密切。特别地，蜜蜂又跟数阜结下不解之^，很

少有其他的昆蠡像蜜蜂造麽奇妙。

事^上>蜜蜂所奉涉到的数擘，相常深刻而有意思，例如：蜂舞舆趣坐才票、雄蜂

^系舆Fibonacci数列、蜂巢的趣值原理。在大自然的巧妙安排下，蜜蜂「不知

亦能行」地遵循道些数阜法即，^在令人鹫奇。

自然充满著神奇奥秘，等待著我年号去赞掘！

一他印度数阜冏题

在西元1000至1500年之IW，印度最著名的数擘家婆什迦拉(Bhaskara,U14~^J

1185年)嘉了一本数擘善，叫做《鹿箍娃蒂》(Lilavati)，其中有一题以蜜蜂篇主

角。

带著美震眼睛的少女——

震箍娃蒂，^你告^我：

茉莉花香携鼻,

得蜜蜂忙探蜜，

熙熙攘攘不知数。

全醴之半平方根，

来入茉莉花IH?I。

数的九分之八，

徘徊IS外做避激。

另外有一堡雄蜂，

循著蓬花的香味，

迤入花朵中被困。

一集雌蜂来救援，

^^於建花周凰，

悲^地来舞低泣。

冏蜂群共有黑笺？

利用代数方法，道题很容易求解。^蜜蜂共有Xft，根獴题意列得方程式

代+%+2=，

化曾得

在一代-"。⑴

本^上道是彳固一元二次方程式。

0=x/5

令，即Jx=2y2。彳他而⑴式建成2/-9y-18=0，解得y=6或

但*-F不合，故

x=2x62=72

因此，蜜蜂共有72复。

常我年号擘谩一元二次方程式彳爰，都知道像下列方程式

ax*4-bx2+c=0

ax+th/x+c=0

a（ar2+如+丁尸+b^ajc2+饱+丁）+c=0

/_!_8：_詈+*=17

4*+2++3=0

任+1）任+2）（工+3）（T+4）+6=0

等等，只需^谩「燮数代换」都可以化成一元二次方程式。事^上，燮数代换的

技巧非常重要，透谩它使我优能别「以曾取繁」或穿越「表象」抓住「本^」。

值得注意的是，Cardano（1545年）求解三次方程式的成功，基本上就是利用燮

数代换的技巧，化豹成求解「二次方程式」：

x6-ax3-b=0

古印度盛行建勤兢骞，其中有一^是解数擘it题（^月辍醴操）。於是有一本敷擘

参考^就^:能黄J解出本善题目的人，揩使太随暗淡，星星失去光彩。上述

蜜蜂冏魅就是耆中的一彳固题目，可见在富日寺道是一道II题。不谩，道一题趣味盎

然，光^题目就^人眼睛赞亮。

根It数擘史，《震箍娃蒂》是Bhaskara最出名的一本^^著作，Lilavati是他女

兄的名字。有一彳固故事道檬流停著:占星家^测Lilavati的婚姻永速舞成，但是

Bhaskara找到了一他［解^的辨法。他做了一他可漂浮在水面上的杯子，底部^一

彳固很小的洞，水可慢慢流迤，一小日寺彼若杯子沈没就可脱厄^。在一彳固吉日良

辰施行解建畴，由於好奇心，Lilavati觐看杯中水逐渐上昇，突然有一颗珍珠优

她身上掉入杯子?I，恰好堵住迤水口，一小畤接杯子她没有沈没，因此Lilavatiit

是要面封永逮结不了婚的命。:B了安慰女兄，Bhaskara:「我要嘉一本耆，

以姊的名字焉耆名，女尔流芳离世；因焉好名磬是一偃I人的第二生命，也是不朽

的基磁。」Bhaskara娜到了，她且心也逵成了。

蜂舞典趣坐襟

蜜蜂是群居性的昆蠡,盾爰格施行分工合作的社曹（系里湃^家AdamSmith在1776

年才^始提倡人^社"t也^^分工合作）。一他蜂巢通常是由一复后蜂（又叫蜂

王，是醴型最大的雌蜂）、的五离堡的工蜂以及数百堡的雄蜂系且成的。后蜂事司

羟卵，是蜂群共同生活中心；工蜂负责篥巢、清¥架、探蜜、分泌蜂王乳、守律亍、

食幼蜂等工作；雄蜂是「小白脸」，好吃懒做，只翼责跟后蜂交配。受精卵孵

化出雌蜂之幼蠡，若持^官畏以蜂王乳就:R成蜂王；若前三天^以蜂王乳，以彳爰

以蜂蜜或花粉，就赞育成工蜂,因此工蜂是雌蜂。后蜂所筐的未受精卵就孵化篇

雄蜂，故雄蜂有母辗父，道是奇特之虞。#MI1-。

后蜂雄蜂

BI一

探蜜是工蜂最繁重的工作。首先是派出一些工蜂做侦察蜂（explorer），到虞去找

尊蜜源。常侦察蜂彝现探蜜的地黠畤，回巢要如何告知同伴呢？道就是描述地黑占

的（W魅。蜜蜂不曾^言舌，如何解决道他题呢？

我便1人^描述地黑占的方式有很多槿，例如徙日常生活用^言^明、用手明指方

向、重张地BI、给出你家的地址、出雕凰所在的度，到数擘上更有效的直

角坐檄、趣坐襟、柱坐襟、球坐檄、羲坐襟等等。

然而蜜蜂没有言」，怎麽辨呢？牛也福号有「跳舞卷吾言」（thedancelanguage），以

跳舞的方式来停遮息，描述地黑占，基本上就是趣坐檄!（我俨］不要受人^自己

曾以焉常的「言吾言」框框所限制！）

奥地利勤物擘家KarlvonFrisch（1886~1982）就是事I3,研究蜜蜂的跳舞言吾言典

定向（orientation）而有成的人，他懂得「蜂言吾」，故被警:B「现代公冶房」（公

冶:RI1得懂「舄言吾」）。由於螯加固别重力物及其社曾行焉规律的研究有卓著的^^，

Frisch典德阈的KonradLorenz、荷赢的NikolaasTinbergen在1973年一起得到

同豳生理阜暨酱阜樊。

根摞Frisch的研究，富侦察蜂彝现一虑蜜源日寺，牛也来回巢就先放出氟味，加且

在垂直的蜂巢表面上跳舞。基本上分成雨槿舞步：IH舞典搐尾舞。

如果蜜源距麻隹蜂巢超遇100公尺，即跳搐尾舞。先走一小段直用泉路彳空,再^半HI,

回到原出彝黑占，然珪走原直^路彳第>再封另一但曝半圜，如此规律地反覆交替

半Hl。在走直系泉路彳空日寺，逮不断地搐^牛也的下腹，道是「摇尾舞」名稀的由来0

太陶

蜜源

・蜂巢

圄二

如果太隔、蜂巢舆蜜源的位置^彳系如Bl二所示，那麽11三就是相鹰的搐尾舞，其

中有四集尾II者接到息（兄参考资料1'p.57）。直小泉路彳空偏垂国泉右方30

度，适表示蜜源在太隔方向偏右30度的方向。至於蜂巢舆蜜源的距雕由军位畤

fW的^圈数:夬定，^越多圈表示距高隹越逮。例如，每分^若^18圈，就表示距

100（）公尺。如果直路彳更垂直向上的^，就表示蜜源在太隔的方向。因

此，我凭看出侦察蜂她不是使用直角坐木票，而是探用趣坐I票来停遮^息。

^^也有^似的行焉。

所耦趣坐襟就是，焉了描述平面上P黠（蜜源）的位置，於是在平面上逗定一

修半^^（蜂巢舆太随方向之半小泉），叫做趣轴，。黠叫做趣黠（蜂巢），

揩趣帽।旋牵事一彳固角度e，遇到尸黑占，，那麽P黠i的趣坐襟就是

58），参见II四。在趣坐才票的世界有言午多美妙的黑何II形，例如各槿螺乐泉、撰

（翰迪系泉）等，道些都是直角坐檄方程式^於表逵的。

如果蜜源在100公尺以内>侦察蜂就跳HI舞，参兄1«五。道表示蜜源就在附近，

官青同伴出去四周m樽一下就可以找到。祭上，在IH舞典摇尾舞之IW逮有一些燮

化形状，在此就略掉不提。

胤五

由下面的数摞我年?可以If曾到工蜂的辛苦舆勤劳。工蜂探集10公斤的花蜜才能

醴造出半公斤的蜂蜜，而工蜂必须出勤八离次，每次平均来行刖公里才能排集到

10公斤的花蜜。换言之，每醴造1公斤的蜂蜜，必须来行32离公里，大怒I是^

地球8圈的距离隹。

Frisch的主要工作如下：在1910年明危可以看出不同的颜色；1919年樊现蜜

蜂透谩身醴的摇重力来停遮息；在1947年赞现蜜蜂利用趣化光来定向。他更在

1967年出版《蜜蜂的跳舞^言典定向》一善（即参考资料1）。物理擘家李政道

曾^，他喜^各槿雄害，其中Frisch的造本名著就是他得特别有趣的一本。

雄蜂的系及费氏数列

我凭提到谩，雄蜂是由未受精的卵孵化出来的，故只有母貌而没有父貌。迤一步，

我凭考感雄蜂的^系，如BI六，我凭彝现一集雄蜂JS代祖先的他数，形成一彳固费

氏数列（Fibonaccisequence）:

1,1,2,3,6,8,13,…

即由首雨项1,1出装，任何一彳固彼项都是前雨项之和。更有趣的是，若各代祖

先遹常排列的1舌，第七代的13位祖先恰好可以排成^琴八度音之IW的13彳固半音

陷（8彳固白维，5彳固黑维）。

阖|六

除了雄蜂If系之外，费氏数擘在植物世界偶豳也可以觐察到。有些花草或榭木，

其枝斡的分枝成是符合费氏数列的模式，如B1七所示。

61七

你以彳爰到野外郊避或登山畤，可以留意觐察或找尊看看有没有符合费氏数列的榭

木。肇者曾在登七星山的途中，赞现一棵非常「费氏数列」的榭木。慎著一彳固冏

题或目檄走入大自然，我年号才能真正觐察到柬西，生活也曾更稹趣主勤。

事^上，费氏数列最先是考感兔子的繁殖引起的。中世系己欧洲最俾大的数阜家

Fibonacci(1180~1250)在1202年出版《算黑之害》(LiberAbaci)，其中有一彳固冏

题如下：

假^任何一封新出生的兔子，雨彳固月彳爰始生一封新兔，以彳爰每隔一彳固月都生一

茎寸新兔。已知年初有一封新兔，在不装生死亡的情况下，冏年底^共有黑封兔子？

假^第〃他月底兔子^共有小W，即按题意知

⑵

加且

%+2—。"+1+。"⑶

⑶式是一他I二陷差分方程式，⑵式是初期修件。求解⑵典⑶就是要找出通项an

的公式'道有槿槿辨法。最早是在1718年由DeMoivre求得，彳爰来在1843年又

〜=与注&-(4刎⑷

由Binet重新樊现(雨位都是法H数阜家)，答案是

此式今日叫做Binet公式，它含有雨彳固鹫奇：其一是涉及黄金分割的比值

14^

3，其二是整数数列(为)居然可用一些辗理数的余且合来表逵。上述兔子冏题

的答案是。12=144。

费氏数列具有很瞿富的数擘内涵，遹合於高中生作褐立地探索。它又是展抽象

国泉性代数的一他［具醴而重要的胚芽。

蜂巢的趣值原理

自古以来，人^封於蜜蜂的勤劳以及蜂巢的巧妙精型，辗不^^有加。彳於生物擘

的祖肺熊克里斯多德(Aristotle)，到数^家Pappus，以及近代的博物擘家逵豳文

(Darwin)都曾留下^美的言吾句。

工蜂分泌蜂螳篥成蜂巢，做篇后蜂羟卵、育幼，以及存放蜂蜜、花粉的^藏室。

彳他正面看起来，蜂巢是由^多正六遏形的中空柱状储藏室速结而成，，

者若具有^地冕遇蜂巢的^^常然是最好。

HI八

彳他整彳固立fl的蜂巢来看，它具有左右（或前彳爰）雨俱帕勺储藏室•其截面如圈九;

而B1十是一彳固柱状的储藏室，其底部是由三彳固全等的菱形面ASBR、ASCQw

PBSC所系且成。

HI九

s

B

H+

人^封於蜂巢的结横，由觐察羟生鹫奇，迤而提出雨他［数擘冏题：

①

禹何是正六遏形？

(ii)

底遏篇何是三彳固全等的菱形面系且成？

下面我伴?就来探索道雨彳固冏堰。

第一彳固冏堰涉及古老的等周冏魅(isoperimetricproblem)：即在平面上1要用固定

晨的*泉段凰成一境封朗的领域，使其面稹篇最大，冏愿如何凰法？

道彳固冏题又叫做Dido。在古希H^^中，Dido公主(建立迦太基的女王)

懑她的直受提出正碓的答案：H1。不谩，要等到雨千多年接的十九世系己，透谩燮

分擘(calculusofvariation)的研究，才有真正殿格的瞪明。

望寸於等周IW堰，古希数擘家Zenodorus(匏180B.C.)已系霸登得下列的结果：

①在所有〃遏形中，以正n遏形的面稹焉最大，加且遴数越多，面稹

也越大；

(ii)Bl的面稹比任何正多遏形的遢要大。

另外一方面，古埃及人已^知道，用同一槿形状舆大小的正多遏形舍甫地，恰好只

有三槿檬式，参见U十一。

HH^一

即只能用正三角形，正方形典正六遏形三槿情形，再没有其他的了。道是三角形

三内角和:B180。的曾军推。

蜜蜂分泌蜂螳篥巢，彳走横截面来看，道相常於是用固定量的螭，要圉成最大的面

稹，道是等周冏题。由Zenodorus的结果，再配合上述铺地板只有三槿檬式，所

以蜜蜂只有正三角形、正方形典正六遏形三槿逗撵，而蜜蜂懑本能逗撵了最佳的

正六遏形。换言之•蜜蜂探用「最原理」央行事。

克屣山卓(Alexandria)的黑何擘家Pappus，在西元300年出版一套八册的《数

擘文集》(MathematicalCollection)'其中第五AM蝠谕等周冏题及蜂巢结横冏堰。他

特别僦1蜜蜂「依本能智慧作赢登」(reasonbyinstinctivewisdom)的本领5天生

俱有的「某槿黑何的洞悟力」(acertaingeometricalforesight)°

其次，我in探制蜂巢的第二彳固IW题,即每他储藏室(cell)底部的黑何结横。M

冏题比较困辘。

我年号觐察蜂巢的一彳固储藏室，它是中空的正六角形柱，而底部是由三他菱形面系且

成，交曾於底部中心］I黑占S(见H十二)。^我便1先回H一段屣史。

IS十二

在1712年，巴黎天文觐测所的天文擘家G.F.Maraldi'他康度量菱形的角度，

得到的结果是7032'W109°28'，兄［«十二。Maraldi^地叩冏自然，加且相信蜜

蜂是根掾里触(simplicity)典数阜美(mathematicalbeauty)刖彳固原理来篥巢。

Maraldi的结果引起法II著名的博物擘家Reaumur的典趣，他猜测蜜蜂逗撵道刖

彳固角度一定是有原因的，可能就是要在固定容稹下,使得表面稹篇最小，即以最

少的蜂螭作出最大容稹的储藏室。因此，Reaumur就去^教瑞士年^的数^家

SamuelKonig如下的冏题：

系合定正六角形柱，底部由三彳固全等的菱形作成，冏鹰如何做曾最^省材料？

Reaumur她没有告告斥Konig造彳固冏题是由蜂巢引起的。

一直等到Konig把算得的结果70°34"W109°26"送到Reaumur的手狸，

Reaumur才告^Konig^於蜂巢典Maraldi的^^结果。他。号封於理^^^祖［1

的结果彳堇相差2"，同感震鹫。Komg的结果支持了Reaumur的猜测：蜜蜂是按

「最原理」央行事。Konig利用微分法解决上述的趣值冏题，他^:「蜜蜂

所解决的冏魅，超越古典掰可的能力$581，而必须用到NewtonWLeibniz的微

稹分。」然而，一代博擘者Fontenelle(法II科^院永久秘善)在1739年谷国乍出

著名的判断，他否熬蜜蜂具有智慧，熬焉蜜蜂只是按照天生自然典造物者的指

示，「不知亦能行」地(盲目地)使用高等数擘而已。

廉［於Konig的相差2分题,彼来^谩Cramer、Boscovich、Maclaurin等人的重

陋

算，彝现蜜蜂是封的，^在Konig，而Konig所犯的小^又出在^算日寺，

所使用的数值表印金昔了一彳固数字。

下面我年号就来求解Reaumur封Konig所提出的趣值冏题。

考感BI十三的正六角形柱，在A、C、E虑分别用平面BFM、BDO、DFN截掉

三（固相等的四面IfABFM、CDBO、EDFN，兄H十四、使得建成1］十五。三他

平面BFM、BDO、DFN延伸交於IM黑占P，兄留|十六。彳能置I十三燮成圈十六，

所截掉的稹恰好等於所未甫足的醴稹。因此，BI十三典WI十六的醴稹相等，但是，

FS者的表面稹郤不相等。

BI卜三

因此，原趣值冏魅等僵於，在容稹固定下，求最小表面稹。蜂巢一偃I锯藏室的表

面（B1十六）是由六他I梯形（BMGH等等）舆三他菱形系且成的。在H十四中，

^AB=a^BH=h^AM=x{x是燮数），即由绘弦定律典晕氏定理可求得菱形P8MF

的封角

BF=辰,AfP=2Jx2+^

后中+R缁-如

今每偃I菱形的面稹篇每0梯形的面稹篇，所以一彳固

A（x）=3底卜+竽4-刎*-引⑸

信者藏室的^表面稹:B

由微分法，令A'（x）=O得

3y^ax--,1「-3a=0

解得

通（6）

r=丁。

x=x=

利用二隋微分，容易瞬知硅是趣小黠i。在之下，迤一步令菱

形的^角LP^M=g，即

优而

=2收⑺

9构等酷7KE

:在圈I十六中,令a表示封角系泉P0舆中心触PQ之交角,

0rt

4(a)=8/za+辅三7-砌(8)

A8U1O：

一彳固储藏室的^表面稹篇

co®a=-^僦&0J57736

⑼

4'(cr)=0

再解，得

所以a=ST44'

1±:我年?也可以利用⑹式，再配合［■十六，推得⑼式。

茎寸於一彳固初等的趣值IW题，要用到微分法来虑理(深殳^用牛刀)，令人不满意。

於是有人，例如Maclaurin(1743)'L'Huillier(1781)，始尊求初等的、

的代数舆黑何解法。

①代数的配方法

我俨J注意到，在上述的解法中，其^都跟。舆6辗H，所以我年?不妨优

就假^a=\。於是⑸式建成

由於6h是常数，故只需求

/(*)=^^4+3-

之最小值°令

y=-J,+4^2_父

y+&r=攀

27

/—T=