高中数学第2讲证明不等式的基本方法第1课时比较法课件新人教A版选修4-5

第1课时比较法a－b＞0

a－b＞0

a＞b

b＞0

1．已知下列不等式：(1)x2＋3＞2x(x∈R)；(2)a2＋b2≥2(a－b－1)(a，b∈R)；(3)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．其中正确的个数为(

)A．1个 B．2个C．3个 D．0个【答案】C2．log23与log34的大小关系是(

)A．log23＞log34 B．log23＜log34C．log23＝log34 D．无法确定【答案】A3．已知b千克盐水中含盐a千克(b＞a)，现再加盐m(m＞0)千克，若加盐前盐水的浓度为M，加盐后盐水的浓度为N，则M，N大小关系是__________________．【答案】M＜N【例1】设A＝1＋2x4，B＝2x3＋x2，x∈R，比较A，B的大小．【解题探究】注意到A，B都是多项式，比较其大小宜用作差比较法．多项式大小的比较【例1】设A＝1＋2x4，B＝2x3＋x2，x∈R，比较A，B的大小．【解题探究】注意到A，B都是多项式，比较其大小宜用作差比较法．多项式大小的比较【解析】∵A－B＝1＋2x4－(2x3＋x2)＝2x3(x－1)－(x2－1)＝(x－1)(2x3－x－1)＝(x－1)(x3－1＋x3－x)＝(x－1)2(2x2＋2x＋1)＝(x－1)2[x2＋(x＋1)2]≥0，∴A≥B.

作差比较的关键是变形，一般来说变形要“到位”，同时尽可能是积的结构或一次因式的形式．1．已知a>0，b>0，a≠b，求证：a3＋b3＞a2b＋ab2.【证明】(作差法)a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－ab(a＋b)＝(a＋b)(a2－2ab＋b2)＝(a＋b)(a－b)2.∵a，b∈R＋，a≠b，∴a＋b＞0，(a－b)2＞0.∴(a＋b)(a－b)2＞0，即a3＋b3＞(a2b＋ab2)．【例2】已知a＞2，求证：loga(a－1)＜log(a＋1)A．【解题探究】由于不等式两边对数的底数不同，故不宜采用作差比较法，适合用作商比较法．作商比较法证明不等式

通常幂指型或不是同底的对数型宜用作商比较法．【例3】设f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2(x＞0，x≠1)，试比较f(x)与g(x)的大小．【解题探究】注意到是同底的对数采用作差比较法．作差比较法证明不等式

因对数的底数大小没有确定，所以要分类讨论．注意讨论要全面．1．作差法证明不等式的关键是作差后变形，通常是通过配方、因式分解、通分或有理化等进行恒等变形，尽可能使得变形后结果是积的结构且是一次因式的形式，得到一个明显能确定其符号的代数式．2．作商比较法即把不等式两边相除，转化为比较所得商式与1的大小关系．Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的课堂在老人的脚下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永远不要拒绝孩子送给你的礼物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切创伤的并非时间,而是爱.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艰苦的,但我应更坚强.励志名言请您欣赏

因对数的底数大小没有确定，所以要分类讨论．注意讨论要全面．3．已知b千克盐水中含盐a千克(b＞a)，现再加盐m(m＞0)千克，若加盐前盐水的浓度为M，加盐后盐水的浓度为N，则M，N大小关系是__________________．【答案】M＜N【解析】∵A－B＝1＋2x4－(2x3＋x2)＝2x3(x－1)－(x2－1)＝(x－1)(2x3－x－1)＝(x－1)(x3－1＋x3－x)＝(x－1)2(2x2＋2x＋1)＝(x－1)2[x2＋(x＋