北京市东城区2017届高三二模数学(文)试题【含答案】

第20页（共20页）北京市东城区2016-2017学年度高三第二次统练文科数学2017．5一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集是实数集．如图的韦恩图表示集合与N={x|1＜x＜3}关系，那么阴影部分所表示的集合可能为（）A． B．C． D．2．已知向量，，且，那么的值为（）A． B． C． D．3．下列函数既是奇函数，又在区间[﹣1，1]上单调递减的是（）A． B． C． D．4．在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域的面积为（）A． B． C． D．5．已知，那么“”的充分必要条件是（）A． B． C． D．6．已知直线与圆相交于两点，且（其中O为原点），那么的值是（）A． B． C． D．7．日晷，是中国古代利用日影测得时刻的一种计时工具，又称“日规”．其原理就是利用太阳的投影方向来测定并划分时刻．利用日晷计时的方法是人类在天文计时领域的重大发明，这项发明被人类沿用达几千年之久．如图是故宫中的一个日晷，则根据图片判断此日晷的侧（左）视图可能为（）A．B．C．D．8．已知甲、乙两个容器，甲容器容量为，装满纯酒精，乙容器容量为，其中装有体积为的水（，单位：）．现将甲容器中的液体倒入乙容器中，直至甲容器中液体倒完或乙容器盛满，搅拌使乙容器中两种液体充分混合，再将乙容器中的液体倒入甲容器中直至倒满，搅拌使甲容器中液体充分混合，如此称为一次操作，假设操作过程中溶液体积变化忽略不计．设经过次操作之后，乙容器中含有纯酒精（单位：），下列关于数，列的说法正确的是（）A．当时，数列有最大值 B．设，则数列为递减数列C．对任意的，始终有an≤xyz D．对任意的，都有二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知三内角对应的边长分别为，且，，那么______．10．已知，其中是实数，是虚数单位，那么______．11．如图茎叶图记录了甲，乙两班各六名同学一周的课外阅读时间（单位：小时），已知甲班数据的平均数为，乙班数据的中位数为，那么的位置应填______；的位置应填______．12．已知函数的零点在区间内，那么______．13．已知双曲线以原点为中心，过点，且以抛物线的焦点为右顶点，那么双曲线的方程为______．14．如图，在棱长为的正方体中，为对角线上的一点，为对角线上的两个动点，且线段的长度为．（1）当为对角线的中点且时，则三棱锥的体积是______；（2）当三棱锥的体积为时，则_____．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）在等差数列中，．（Ⅰ）求通项；（Ⅱ）若，求数列的前项和．16．（本小题满分13分）函数的最大值为，它的最小正周期为．（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）若，求在区间上的最大值和最小值．17．（本小题满分13分）某单位附近只有甲，乙两个临时停车场，它们各有个车位，为了方便市民停车，某互联网停车公司对这两个停车场在工作日某些固定时刻的剩余停车位进行记录，如下表：时间点点点点点点停车场甲停车场乙如果表中某一时刻停车场剩余停车位数低于总车位数的，那么当车主驱车抵达单位附近时，该公司将会向车主发出停车场饱和警报．（Ⅰ）假设某车主在以上六个时刻抵达单位附近的可能性相同，求他收到甲停车场饱和警报的概率；（Ⅱ）从这六个时刻中任选一个时刻，求甲停车场比乙停车场剩余车位数少的概率；（Ⅲ）当停车场乙发出饱和警报时，求停车场甲也发出饱和警报的概率．18．（本小题满分14分）如图，在四棱柱中，侧面和侧面都是矩形，，是边长为的正三角形，分别为的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面平面；（Ⅲ）若平面，求棱的长度．19．（本小题满分13分）设函数．（Ⅰ）当时，试求的单调增区间；（Ⅱ）试求在上的最大值；（Ⅲ）当时，求证：对于恒成立．20．（本小题满分14分）已知椭圆．（Ⅰ）若椭圆的右焦点坐标为，求的值；（Ⅱ）由椭圆上不同三点构成的三角形称为椭圆的内接三角形．若以为直角顶点的椭圆的内接等腰直角三角形恰有三个，求的取值范围．2017年北京市东城区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）已知全集U是实数集R．如图的韦恩图表示集合M={x|x＞2}与N={x|1＜x＜3}关系，那么阴影部分所表示的集合可能为（）A．{x|x＜2} B．{x|1＜x＜2} C．{x|x＞3} D．{x|x≤1}【解答】解：由韦恩图得所有元素是有属于U，但不属于M∪N的元素构成，即x∈∁U（M∪N），由M={x|x＞2}与N={x|1＜x＜3}则M∪N={x|x＞1}，则∁U（M∪N）={x|x≤1}．故选：D．2．（5分）已知向量a→=（1，2），b→=（x，4），且a→⊥bA．﹣2 B．﹣4 C．﹣8 D．﹣16【解答】解：∵a→=（1，2），b→=（x，4），且a→∴x+8=0，解得：x=﹣8，故选：C．3．（5分）下列函数既是奇函数，又在区间[﹣1，1]上单调递减的是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=|x+1| C．f（x）=﹣x D．f（x）=cosx【解答】解：对于A，是奇函数，在区间[﹣1，1]上单调递增，不正确；对于B，非奇非偶函数，不正确，对于C，是奇函数，在区间[﹣1，1]上单调递减，正确；对于D，偶函数，不正确，故选C．4．（5分）在平面直角坐标系中，不等式组&x≥0&x+y≤2A．1 B．2 C．4 D．8【解答】解：画出不等式组&x≥0&x+y≤2联立&x=y&x+y-2=0得C（1，1），又A（0，2），B（0，0）；∴不等式组&x≥0&x+y≤2&x≤y所表示的平面区域的面积为S=12×2故选：A．5．（5分）已知x，y∈R，那么“x＞y”的充分必要条件是（）A．2x＞2y B．lgx＞lgy C．1x＞1y D．x【解答】解：由2x＞2y⇔x＞y，故“x＞y”的充分必要条件是：2x＞2y，故选：A．6．（5分）已知直线x+y=m（m＞0）与圆x2+y2=1相交于P，Q两点，且∠POQ=120°（其中O为原点），那么m的值是（）A．33 B．22 C．2 D【解答】解：由题意，圆心到直线的距离d=OPsin30°=12即圆心O（0，0）到直线x+y=m（m＞0）的距离d=|m|2=1∵m＞0，∴m=2故选B．7．（5分）日晷，是中国古代利用日影测得时刻的一种计时工具，又称“日规”．其原理就是利用太阳的投影方向来测定并划分时刻．利用日晷计时的方法是人类在天文计时领域的重大发明，这项发明被人类沿用达几千年之久．如图是故宫中的一个日晷，则根据图片判断此日晷的侧（左）视图可能为（）A． B． C． D．【解答】解：由侧视图的定义及其圆的三视图可知：此日晷的侧（左）视图可能为D．故选：D．8．（5分）已知甲、乙两个容器，甲容器容量为x，装满纯酒精，乙容器容量为z，其中装有体积为y的水（x，y＜z，单位：L）．现将甲容器中的液体倒入乙容器中，直至甲容器中液体倒完或乙容器盛满，搅拌使乙容器中两种液体充分混合，再将乙容器中的液体倒入甲容器中直至倒满，搅拌使甲容器中液体充分混合，如此称为一次操作，假设操作过程中溶液体积变化忽略不计．设经过n（n∈N*）次操作之后，乙容器中含有纯酒精an（单位：L），下列关于数，列{an}的说法正确的是（）A．当x=y=a时，数列{an}有最大值aB．设bn=an+1﹣an（n∈N*），则数列{bn}为递减数列C．对任意的n∈N*，始终有aD．对任意的n∈N*，都有a【解答】解：对于A，若x+y＞z，每次倾倒后甲容器都有剩余，故an＜a2，故A对于B，若x+y=z，则每次操作后乙容器所含酒精都为x2，故B对于C，若x=1，y=1，z=3，则a1=12，xyz=13，故a1＞xy对于D，当n→+∞时，甲乙两容器浓度趋于相等，当x+y≤z时，an=xyx+y当x+y＞z时，an＜xyx+y，故D故选D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）已知△ABC三内角A，B，C对应的边长分别为a，b，c，且B=2π3，又边长b=3c，那么sinC=3【解答】解：∵B=2π3，又边长b=3∴由正弦定理可得：csinC=bsinB=3csin∴解得：sinC=36故答案为：3610．（5分）已知11+i=12﹣ni其中n是实数，i是虚数单位，那么n=【解答】解：∵11+i=12﹣∴1-i(1+i)(1-i)=12-12i解得n=12故答案为：1211．（5分）如图茎叶图记录了甲，乙两班各六名同学一周的课外阅读时间（单位：小时），已知甲班数据的平均数为13，乙班数据的中位数为17，那么x的位置应填3；y的位置应填8．【解答】解：根据茎叶图中的数据，得：∵甲班的平均数为13，∴8+9+13+15+(10+x)+206=13解得x=3；又乙班的中位数是17，∴(10+y)+162=17解得y=8；综上，x、y的值分别为3、8．故答案为：38．12．（5分）已知函数f（x）=1nx+2x﹣6的零点在区间（k2，k+12）（k∈Z）内，那么k=5【解答】解：函数f（x）=lnx+2x﹣6在其定义域（0，+∞）上连续单调递增，f（1）=ln1+2﹣6=﹣4＜0f（2）=ln2+4﹣6=ln2﹣2＜0，f（3）=ln3+6﹣6=ln3＞0；∴根据零点存在定理，∃x0∈（2，3），使得f（x0）=0．∵f（52）=ln52﹣1=ln52﹣∴x0∈（52，3∴k2=52即故答案为：5．13．（5分）已知双曲线G以原点O为中心，过(5，4)点，且以抛物线C：y2=4x的焦点为右顶点，那么双曲线G的方程为【解答】解：根据题意，抛物线C：y2=4x的焦点为（1，0），即双曲线G的右顶点坐标为（1，0），则该双曲线的焦点在x轴上，且其中a=1，设其方程为：x2﹣y2b又由双曲线过点(5则有5﹣4b2=1，解可得b2则双曲线G的方程为x2故答案为：x214．（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为对角线B1D上的一点，M，N为对角线AC上的两个动点，且线段MN的长度为1．（1）当N为对角线AC的中点且DE=2时，则三棱锥E﹣DMN的体积是39（2）当三棱锥E﹣DMN的体积为13时，则DE=6【解答】解：（1）∵底面ABCD是边长为2的正方形，N是AC的中点，∴AC⊥BD，DN=2，∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BB1，又BB1∩BD=B，∴AC⊥平面BB1D，故当N为AC的中点时，有MN⊥平面DEN，又DB1=23，BB1=2，∴sin∠BDB1=223=∴VE﹣DMN=VM﹣DEN=13S△DEN⋅MN=（2）设三棱锥E﹣DMN的高为h，则VE﹣DMN=13S△DMN⋅h=13∴h=2，∵hBB1=DEDB1故答案为：（1）39，（2）6三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在等差数列{an}中，a1=﹣2，a12=20．（Ⅰ）求通项an；（Ⅱ）若bn=a1+【解答】解：（Ⅰ）因为an=﹣2+（n﹣1）d，所以a12=﹣2+11d=20．于是d=2，所以an=2n﹣4．（Ⅱ）因为an=2n﹣4，所以a1于是bn令cn=3b显然数列{cn}是等比数列，且c1=3-2所以数列{3bn}的前16．（13分）函数f(x)=Asin(ωx+π6)(A＞0，（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若g（x）=cosx•f（x），求g（x）在区间[-π【解答】解：（Ⅰ）函数f(x)=Asin(ωx+π∵f（x）的最小正周期为2π∴2πω解得ω=1．∵f（x）的最大值2，∴A=2．故得f（x）的解析式为f(x)=2sin(x+π（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f(x)=2sin(x+π6那么g（x）=cosx•f（x）=3sinxcosx+cos2x=32sin2x+1+cos2x2=∵x∈[-π可得：-于是，当2x+π6=π2时，g（x）取得最大值为当2x+π6=-π6时，g（x∴g（x）在区间[-π6，π417．（13分）某单位附近只有甲，乙两个临时停车场，它们各有50个车位，为了方便市民停车，某互联网停车公司对这两个停车场在工作日某些固定时刻的剩余停车位进行记录，如下表：时间8点10点12点14点16点18点停车场甲1031261217停车场乙13432619如果表中某一时刻停车场剩余停车位数低于总车位数的10%，那么当车主驱车抵达单位附近时，该公司将会向车主发出停车场饱和警报．（Ⅰ）假设某车主在以上六个时刻抵达单位附近的可能性相同，求他收到甲停车场饱和警报的概率；（Ⅱ）从这六个时刻中任选一个时刻，求甲停车场比乙停车场剩余车位数少的概率；（Ⅲ）当停车场乙发出饱和警报时，求停车场甲也发出饱和警报的概率．【解答】（本小题13分）解：（Ⅰ）事件“该车主收到停车场甲饱和警报”只有10点这一种情况，该车主抵达单位共有六种情况，所以该车主收到停车场甲饱和警报的概率为P=16．…（（Ⅱ）事件“甲停车场比乙停车场剩余车位数少”有8点、10点、18点三种情况，一共有六个时刻，所以甲停车场比乙停车场剩余车位数少的概率为P=36=12（Ⅲ）事件“停车场乙发出饱和警报”有10点、12点、14点三种情况，事件“停车场甲也发出饱和警报”只有10点一种情况，所以当停车场乙发出饱和警报时，停车场甲也发出饱和警报的概率为P=13．…（18．（14分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧面ADD1A1和侧面CDD1C1都是矩形，BC∥AD，△ABD是边长为2的正三角形，E，F分别为AD，A1D1的中点．（Ⅰ）求证：DD1⊥平面ABCD；（Ⅱ）求证：平面A1BE⊥平面ADD1A1；（Ⅲ）若CF∥平面A1BE，求棱BC的长度．【解答】（Ⅰ）证明：因为侧面ADD1A1和侧面CDD1C1都是矩形，所以DD1⊥AD，且DD1⊥CD．因为AD∩CD=D，所以DD1⊥平面ABCD．…（4分）（Ⅱ）证明：因为△ABD是正三角形，且E为AD中点，所以BE⊥AD．因为DD1⊥平面ABCD，而BE⊂平面ABCD，所以BE⊥DD1．因为AD∩DD1=D，所以BE⊥平面ADD1A1．因为BE⊂平面A1BE，所以平面A1BE⊥平面ADD1A1．…（10分）（Ⅲ）解：因为BC∥AD，F为A1D1的中点，所以BC∥A1F．所以B、C、F、A1四点共面．因为CF∥平面A1BE，而平面BCFA1∩平面A1BE=A1B，所以CF∥A1B．所以四边形BCFA1是平行四边形．所以BC=FA1=1219．（13分）设函数f（x）=（x﹣a）•ex，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，试求f（x）的单调增区间；（Ⅱ）试求f（x）在[1，2]上的最大值；（Ⅲ）当a=1时，求证：对于∀x∈[﹣5，+∞），f(x)+x+5≥-6【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=（x﹣a）•ex得f'（x）=（x﹣a+1）•ex．当a=1时，f'（x）=x•ex，令f'（x）＞0，得x＞0，所以f（x）的单调增区间为（0，+∞）．…（4分）（Ⅱ）令f'（x）=0得x=a﹣1．所以当a﹣1≤1时，x∈[1，2]时f'（x）≥0恒成立，f（x）单调递增；当a﹣1≥2时，x∈[1，2]时f'（x）≤0恒成立，f（x）单调递减；当1＜a﹣1＜2时，x∈[1，a﹣1）时f'（x）≤0，f（x）单调递减；x∈（a﹣1，2）时f'（x）＞0，f（x）单调递增．综上，无论a为何值，当x∈[1，2]时，f（x）最大值都为f（1）或f（2）．f（1）=（1﹣a）e，f（2）=（2﹣a）e2，f（1）﹣f（2）=（1﹣a）e﹣（2﹣a）e2=（e2﹣e）a﹣（2e2﹣e）．所以当a≥2e2-ee2-e=2e-1e-1时，f（1）﹣f（2）≥0，f（x）max=f（当a＜2e2-ee2-e=2e-1e-1时，f（1）﹣f（（Ⅲ）令h（x）=f（x）+x，所以h'（x）=xex+1．所以h''（x）=（x+1）ex．令h''（x）=（x+1）ex=0，解得x=﹣1，所以当x∈[﹣5，﹣1），h