辽宁省铁岭市调兵山市第二高级中学2022-2023学年高一下学期期中考试 数学试题（含解析）

调兵山市第二高级中学2022~2023学年高一下学期期初考试数学考试时间：120分钟一、选择题（本大题8小题，每小题5分，共40分）1．已知全集，集合，则（

）A． B． C． D．2．已知是角的终边上的点，则（

）A． B． C． D．3．某校有高一年级学生1000名，高二年级学生1200名，高三年级学生1100名，现用分层抽样的方法从该校所有高中生中抽取330名学生，则抽取的高三年级学生人数为（

）A．50 B．70 C．90 D．1104．若且是第二象限角，则（

）A． B． C． D．5．疫情期间，为了宣传防护工作，某宣传小组从六个社区中随机选出两个进行宣传，则该小组到社区宣传的概率为（

）A． B． C． D．6．甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人的能荣获一等奖的概率分别为和，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为（

）A． B． C． D．7．下列结论中，正确的是()A．函数y＝kx(k为常数，且k＜0)在R上是增函数 B．函数y＝x2在R上是增函数C．函数y＝在定义域内是减函数 D．y＝在(－∞，0)上是减函数8．设均为正数，且，，．则（）A． B． C． D．二、多项选择题（每个小题至少有两个正确的答案，部分答对得2分，全对得5分）9．某市教体局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们的身高都处在，，，，五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则下面叙述正确的是（

）A．样本中女生人数多于男生人数 B．样本中层人数最多C．样本中层次男生人数为6人 D．样本中层次男生人数多于女生人数10．若函数f（x）＝tan2x的图象向右平移个单位得到函数g（x）的图象，那么下列说法正确的是（）A．函数g（x）的定义域为{，k∈Z}B．函数g（x）在单调递增C．函数g（x）图象的对称中心为，k∈ZD．函数g（x）≤1的一个充分条件是11．若函数的两相邻对称轴之间的距离为，且时有最大值，则下列结论成立的是（

）A．B．函数的一个单调递减区间为C．函数的图象关于点对称D．函数的图象关于直线对称12．已知向量与向量满足如下条件，其中与的夹角是的有（

）A．，， B．，C．， D．，三、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）13．已知，则的最小值为.14．函数的图象的对称中心为15．函数的定义域是．16．已知向量满足，且，，则与的夹角为.四、解答题（共70分，每题要求写出必要的解题过程）17．在平面直角坐标系xOy中，点.(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2)设实数满足，求的值.18．将函数的图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到的图象.(1)求函数的解析式；(2)当时，方程有唯一实数根，求的取值范围.19．某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0，1，2，3四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球，记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球号码之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖.（1）求中三等奖的概率；（2）求中奖的概率.20．函数的一段图像如图所示：将的图像向右平移个单位，可得函数的图像，且图像关于原点对称.（1）求的值；（2）求的最小值，并写出的表达式；（3）设，关于的函数在区间上最小值为-2，求的范围.21．某大学艺术专业名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了名学生，记录他们的分数，将数据分成组：，，…，，并整理得到如下频率分布直方图：(1)从总体的名学生中随机抽取一人，估计其分数小于的概率；(2)已知样本中分数小于的学生有人，试估计总体中分数在区间内的人数；(3)已知样本中有一半男生的分数小于，且样本中分数不小于的男女生人数相等，试估计总体中男生和女生人数的比例．22．已知函数，其中．(1)当时，求函数的最大值和最小值；(2)若函数在区间上是单调函数，求的取值范围．1．D【分析】先求的并集再求补集即可.【详解】易知，则，故选：D.2．A【分析】根据三角函数的定义求解即可.【详解】因为为角终边上的一点，所以，，，所以．故选：A3．D【分析】利用分层抽样的定义直接求解即可【详解】由题意得抽取的高三年级学生人数为，故选：D4．B【分析】利用诱导公式求得，再利用同角关系式即得.【详解】由，得，又由为第二象限角，所以．故选：B.5．D【分析】列举出所有基本事件和满足题意的基本事件，根据古典概型概率公式可得结果.【详解】从六个社区中，随机选择两个社区，有，共种结果；其中该小组到社区宣传的结果有：，共种；该小组到社区宣传的概率.故选：D.6．D【分析】利用相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.【详解】设甲、乙获一等奖的概率分别是，不获一等奖的概率是，则这两人中恰有一人获奖的事件的概率为：.故选：D【点睛】本小题主要考查相互独立事件概率计算，属于基础题.7．D【详解】A不正确，当k＞0时，函数y＝kx在R上是增函数．B不正确，函数y＝x2在(0，＋∞)上是增函数．C不正确，如－1＜1，但f(－1)＜f(1)．D正确．故选D8．A【分析】试题分析：在同一坐标系中分别画出，，的图象，与的交点的横坐标为，与的图象的交点的横坐标为，与的图象的交点的横坐标为，从图象可以看出．考点：指数函数、对数函数图象和性质的应用．【方法点睛】一般一个方程中含有两个以上的函数类型，就要考虑用数形结合求解，在同一坐标系中画出两函数图象的交点，函数图象的交点的横坐标即为方程的解．【详解】9．ABC【解析】根据直方图和饼图依次判断每个选项的正误得到答案.【详解】样本中女生人数为：，男生数为，正确；样本中层人数为：；样本中层人数为：；样本中层人数为：；样本中层人数为：；样本中层人数为：；故正确；样本中层次男生人数为：，正确；样本中层次男生人数为：，女生人数为，错误.故选：.【点睛】本题考查了统计图表，意在考查学生的计算能力和应用能力.10．BD【分析】根据平移可得的表达式，然后利用正切函数的性质进行判断即可.【详解】由题可知：令，即所以函数定义域为，故A错令所以函数单调递增区间为，当时，是函数的单调递增区间，故B正确令，故函数对称中心为，故C错所以，所以在所求的范围之内，故D正确故选：BD11．AD【解析】通过周期性求出的值，通过最值求出的值，按照余弦函数的性质逐一判断即可.【详解】∵相邻对称轴之间的距离为，可得周期，即，∴，∵时有最大值，∴，∴，结合，∴，∴，∴，故A正确；当时，，由余弦函数性质得先减后增，故B错误；由于，故C错误；由于，所以函数的图象关于直线对称，故D正确；故选：AD.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键，属于中档题.12．ABC【分析】根据向量数量积运算律和向量夹角公式可判断出AB正误；由向量夹角的坐标运算可求得CD正误.【详解】对于A，，，，又，，A正确；对于B，，，，又，，B正确；对于C，，，，C正确；对于D，，，，D错误.故选：ABC.13．##【分析】利用单调性定义可判断出的单调性，进而确定最小值点.【详解】设，则，，，，在上单调递减，.故答案为：.14．【分析】根据的对称中心为可求解.【详解】令，，解得，所以对称中心为.故答案为:.15．【分析】根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，利用三角函数线求出解集即可.【详解】要使有意义，则，即，分别由三角函数线得，可得故答案为【点睛】本题主要考查三角函数函数的定义域、三角函数不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3)若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.16．##【分析】根据向量数量积运算律可求得，根据向量夹角公式可求得结果.【详解】，，，又，.故答案为：.17．(1)；(2)【分析】（1）由已知，根据给的坐标可直接表示以AB、AC为邻边的对角线的向量坐标，然后利用坐标直接计算向量的模；（2）由已知，分别表示出，，带入给的关系式中，利用向量的数量积运算解方程即可.【详解】（1）由已知，设以线段AB、AC为邻边的平行四边形为，所以，，对角线，因此；另一条对角线，因此；（2）因为，所以，，由，即，解得．18．(1)(2)【分析】（1）根据三角函数平移和伸缩变换原则可直接求得解析式；（2）作出在上的图象，将问题转化为与有且仅有一个交点，采用数形结合的方式可求得结果.【详解】（1）将图象向左平移个单位长度，得到，再将图象上每一点的横坐标扩大为原来的倍，纵坐标不变，可得.（2）作出的大致图象如下图所示，

当时，方程有唯一实数根，的图象和直线有且仅有一个交点，结合图象可知：.19．（1）（2）【分析】（1）这是一个古典概型，先得到从装有编号为0，1，2，3四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球，记下编号后放回，连续取两次的基本事件总数，再列举出的两个小球号码之和等于4或3基本事件的种数，代入公式求解.（2）按照（1）的方法，再求得中一等奖和中二等奖的概率，然后利用互斥事件的概率，将一，二，三等奖的概率求和即可.【详解】（1）从装有编号为0，1，2，3四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球，记下编号后放回，连续取两次的基本事件总数为种，取出的两个小球号码之和等于4或3基本事件有：，共7种.所以中三等奖的概率；（2）取出的两个小球号码之和6基本事件有：，共1种.所以中一等奖的概率；取出的两个小球号码之和5基本事件有：，共2种.所以中二等奖的概率；所以中奖的概率【点睛】本题主要考查古典概型的概率以及互斥事件的概率，还考查了运算求解的能力，属于基础题.20．（1），，（2）（3）【详解】（1）由函数的最大值可得，函数的最小正周期为：，则，当时，，故：，令可得：.(2)结合(1)的结论可得，故的最小值为，将函数图象向右平移个单位可得.(3)由题意结合(2)的结论可得：，结合函数的定义域可得：，若函数能取到最小值，则：，其中，据此可得的取值范围是.21．(1)(2)(3)【分析】（1）利用频率和减掉不低于的频率即可得到分数小于的频率，即为所求概率；（2）根据频率分布直方图可计算求得样本中分数在内的人数及对应频率，由此可得总体中分数在区间内的人数；（3）设样本中的男生人数有人，女生有人，根据分数小于分的总人数为人和样本共有人可构造方程组求得，进而结合分层抽样原则得到比例.【详解】（1）由频率分布直方图知：样本中分数小于的频率为，由频率估计概率，可知分数小于的概率.（2）由（1）知：样本中分数小于的人数为人；样本中分数在的人数为人，样本中分数在内的人数为人，所占频率为，总体中分数在区间内的人数为人.（3）设样本中的男生人数有人，女生有人，分数小于的男生有人，不小于的男生有人，女生有人