必修5-20届人教版高中数学专题1

1.2应用举例

k知识

i.解三角形应用题的基本思想

解三角形应用题时，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解三角形，

得到实际问题的解，求解的关键是将实际问题转化为问题.

2.运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤

(1)分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图(一个或几个三角形)；

(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解三

角形的数学模型；

(3)求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解；

(4)检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解.

3.三角形面积公式

(1)三角形的高的公式：hA=bsinC=cs\nBf〃产csinA=〃sinC,〃c=〃sin5二加irtA.

(2)三角形的面积公式：5=-6zZ?sinC,5=___________,S=___________.

2

K知识参考答案：

1.解三角形3.—hcsinA—casinB

22

重占

从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解三角形，得到实际问题

K-重点

的解；利用三角形的面积公式解决与面积有关的问题

测量距离、高度、角度问题中数学模型的建立，利用正弦定理、余弦定理求

K一难点

证简单的证明题

K一易错解题时应由题意准确画出示意图，容易忽略图形的多种画法从而导致错误

-留鼠盘&测量距离问题

当的长度不可直接测量时，求A,8之间的距离有以下三种类型.

(1)如图1,A,8之间不可达也不可视

计算方法：测量AC,3C及角C,由余弦定理可得AB=JAC?+_2ACBCcosC•

(2)如图2,B,C与点A可视但不可达

计算方法：测量8C,角B，角C,则4=兀—3-C,由正弦定理可得AB="型C.

(3)如图3,C,。与点A,B均可视不可达，

计算方法：测量C2NB£>C,NAC2N3CD,NA。。，在以。。中由正弦定理求AC,

在ABCD中由正弦定理求BC,在△ABC•中由余弦定理求AB.

如下图，为,了测量河对岸A，8两点间的距离，在河的这边测得CD=Ylkm,NADB=N88=30。,

ZACD=60°,/ACB=45。，则A,B两点间的距离为

【答案】亚

4

【解析】因为乙4。。=乙彻-/。£>5=60',Z.4CZ)=60o,所以ND.4O60。，AC=DC=B,

2

BCDC巫

因为在△3CO中，ZD5C=45C>所以=二飞,所以BC=3.

sin300sm45°4

在△J5c中，由余弦定理得.43：=.=*-5?-"CBCcoJ5：=三+之一2x立x包x立=-

428

所以.43=述，所以/,5两点间的距离为述km.

44

【名师点睛】在解含有两个或两个以上的三角形的问题时，首先应根据条件应用正、余弦定理或三角形内

角和定理在一个三角形中求解边和角，然后在此基础上求解另一个三角形，依此类推.首选哪一个三角形

至关重要，原则是首选的三角形应与其他三角形有一定联系，旦方便求解

二鼠鼠彘&测量高度问题

当A8的高度不可直接测量时，求A，8之间的距离有以下三种类型.

（1）如图1.底部可达

计算方法：测量及角C,则AB=8CtanC.

（2）如图2,底部不可达，但点8与C,。共线

计算方法：测量CD,角C,/ADB，由正弦定理求AC或AO,再解直角三角形求AB.

（3）如图3,底部不可达，且点8与C,。不共线

计算方法：测量C2N5CZ）,N8OC,NACB,在△BCD中由正弦定理求BC,再解直角三角形求

AB.

,如下图，在地,平面上有一旗杆0P,为了测量它的高度儿在地面上选一基线A8,测得A8=20m,

在A点处测得P点的仰角NQ4P=30。，在B点处测得P点的仰角NOBP=45。，又测得NAOB=60。，则旗杆

的高度人。m.（结果保留整数）

【解析】因为在RtA4OP中，ZOAP=30°,OP=h,所以。4==舟.

tan30°

OP

在RtZSBOP中，ZOBP=45°,所以。B=---------=h.

tan45°

在△AO8中，AB=20,ZAOB=60°,由余弦定理得AB2=OA2+OB2-2XO4XOB-COS60。,

2LL1400

BP20=（V3^）W-2xA/3/jx/zx-,解得〃2=彳q276.4,所以/?=13.故旗杆的高度约为13m.

【名师点睛】高度的测量主要是一些底部不能到达或者无法直接测量的物体的高度问题.常用正弦定理或

余弦定理计算出物体的顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题.这类

物体高度的测量是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形或者在空间构造,三棱锥，再依据条件利用正、余

弦定理解其中的一个或者几个三角形，从而求出所需测量物体的高度.

O留鼠鹿臼测量角度问题

测量角度问题主要涉及海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方位角等概念，若是观察建筑物、

山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念.

J如图，某船在A处看灯塔S在北偏东30。方向，它以每小时30海里的速度向正北方向航行，经过

40分钟航行到B处，看灯塔S在北偏东75。方向，则此时该船到灯塔5的距离约为海里.（精

确到0.01海里）

【答案】14.14

【解析】由题图可知，在△且SS中，Z.45S=180°-75e=105°,ZB.4S=30°,

40BSAB

所以4ss=45。，/3=30、£；=20（海里），由正弦定理，得—

60sin30sm45

故55=也嗒=100a14.14,故该船到灯塔S的距离约为14.14海里.

【名师点睛】解决此类问题的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角

形中已知哪些量，■需要求哪些量.解题时应认真审题，结合图形去选择正、余弦定理，这是最重要的一步.

四'里篁邕&三角形的面积计算问题

在求三角形的面积时，若存在三角形边长平方和的情况，一般联想到用余弦定理解决；若存在边长乘积时,

一般联想到用公式5=—abs\nC=—^csinA=—casinB解决.

222

，在△ABC中，角A,B,C对应的三边分别是a,h,c,已知。=2有，Z>=2,AA3C的面积S=6,

则，=

A.2B.77C.2币D.2或2不

【答案】D

【解析】由S=；而sinC=、2smC=+得sinC=1,所以C=30°或150°.

①当030。时，由余弦定理得八^一尼一2abeosC=(2有)2+2-2x］也x2cos300=4,所以c=2.

②当C=15(T时，由余弦定理得d-a2-抗一2而cosC=C有x2cosl5(T=28,所以c=25.

综上，c=2或2s.故选D.

【名师点睛】在解三角形面积的问题中，要注意三角形面枳公式与余弦定理的结合.

五留思点&三角形中边角关系恒等式的证明

，在△ABC中，求证:a2+b~_sin2A+sin2B

c2sin2C

【解析】根据正弦定理，可设3=/一=1J=Z，显然k和,

sinAsinBsine

2+b2k2sm2A+k2sm2Bsin2A+sin2B

所以，左边=@=右边,

-)2

c氏2sin2csinC

a1+h2sin2A+sin2B

所以

C2sin2C

【名师点睛】有关三角形的证明问题，主要涉及三角形的边和角的三角函数关系.从某种意义上看，这类

问题就是有目标地对含边和角的式子进行化简的问题，所以解题思路与判断三角形的形状类似：将边化为

角或者将角化为边

■好题

基砒

1.已知4,8两地的距离为5km,B,C两地的距离为10km,经测量可知，ZABC=120°,则A,C两地

的距离为

A.5kmB.5石kmC.7A/5kmD.5V7km

2.如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定的一点C，测出AC的

距离为50五m,NACB=45。，NC45=105°后，就可以计算出A，8两点的距离为

A.100mB.500mC.10072mD.200m

3.如图，一艘轮船以每小时60海里的速度自A沿南偏东35°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C

处有一座灯塔，轮船在A处观察灯塔，其方向是南偏东65°,在B处观察灯塔，其方向是北偏东70°,

那么B,C间的距离是

A.15夜海里B.156海里C.306海里D.30及海里

4.若锐角三角•形ABC的面积为66,且AB=4，AC=6,则3C=

A.4B.2亚C.2"D.2X/7

5.一架直升飞机在600m的高空中，测得地面上一座塔的塔顶与塔底的俯角分别是30°和60°,则塔高为

A.400mB.40()73mC.20()百mD.200m

6.在△ABC中，若A=60°,Z?=4,%15c=4百，则。=.

7.江岸边有一炮台高3()m,江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得两船的俯角

分别为45。和60。，而且两条船与炮台底部连线成30。角，则两条船相距m.

8.如图所示，在山顶上有一座塔，在山底测得塔顶的仰角NCA8=45。，沿倾斜角为30。的斜坡走1000米

至S点，又测得塔顶的仰角/£>SB=75。，求塔高BZ).

B

9.锐角三角形ABC中，角A，B,C所对的边分别为a,b,c,已知cos2C=—'.

4

(1)求sinC的值;

(2)当〃=2,2sinA=sinC时;求b的长及△ABC的面积.

犍力

10.已知"BC的周长为20,面积为106，A=60。，则8c的长等于

A.5B.6C.7D.8

11.如图所示，在一条水平直线上选取三点A,B,C进行测量，测得A8=25m,BC=60m,水深4£>=40m,

BE=100m,CF=55m,则NZ)E厂的余弦值为

12.为了测量一建筑物的高度，某人在地面上选取共线的三点A,B,C,分别测得此建筑物的仰角为30。,

45°,60°,且A8=BC=30m,如图所示，则建筑物的高度为

c

A.5#mB.105/6mC.15cmD.20#m

13.两船同时从A港出发，甲船以每小时20海里的速度向北偏东80°的方向航行，乙船以每小时12海里

的速度向北偏西40°方向航行，一小时后两船相距海里.

14.如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB，

某目标点P沿墙面上的射线CN移动，此人为了瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角6的大

小.若A8=12m,AC=20m,ZBCM=45°，则tan0的最大值为.(仰角。为AP

与平面ABC所成角)

15.某港口。要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口的。北

偏西30。且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设

该小艇沿直线方向以u海里/小时的航行速度匀速行驶，经过“、时与轮船相遇.

(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；

(3)是否存在也使得小艇以u海里〃卜时的航行速度。行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？

若存在，试确定v的取值范围；若不存在，请说明理由.

真M

16.（2017浙江）已知△”（?，AB=AC=4,BC=2.点。为A3延长线上一点，BD=2,-连结CD则

的面积是，cosZBDC=.

17.（2017山东文）在/XABC中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,已知43,ABAC=-6>^5C=3,

求A和a.

18.（2017新课标全国I理）"5。的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,已知八45。的面积为一一

3sinA

(1)求sinBsinC；

(2)若6cos3cosc=1,a=3,求△ABC的周长.

B

19.(2017新课标全国II理)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8si9M-.

2

(1)求cos8;

(2)若。+c=6,ZvlBC的面积为2,求b.

1.D【解析】在八48。中，AB=5km,BC=10km,NA5C=120。，根据余弦定理得,

AC2=52+102-2x5xl0xcos120°nAC=5不km.故选D.

2.A【解析】在中，乙4cB=45。，NC.W5=105。，所以N43C=30。，又,4C=500tn,所

以由正弦定理，可得，伤=———xsmZ.4Cg=^^-xsin45°=10072x=100(m).故选

sinAABCsin30°2

3.A【解析】易知在ZXABC中，AB=30海里，ZC4B=30°,ZABC=35°+70°=105°,/.ZACB=45°,

BCAB

根据正弦定理得贰而=诉，解得BC=15c（海里）・故选A.

66,sinA=走,由于△ABC为锐

4.D【解析】三角形面积S=LAB-AC-sinA=』x4x6sinA

222

角三角形，所以cosA=；，由余弦定理可求得BC=JAB?+4c2一2AB.ACcosA=2J7，故选D.

CD

5.A【解析】如下图所示，在Rt△AC。中，可得tan30。=——

AC

CP=AC-tan30°=600x=20073在AWE中，由正弦定理，可得

3

ABBE

=AB=200,所以。E=50=600—200=400(m).故选A.

sin300sin60°

，解得，又。,

6.4【解析】S^BC=—/?csinA=—x4xcxsin60°46c=4.;2=c=4A=60

22

所以△ABC为等边三角形，所以。=4.

7.1073【解析】如下图，O,A分别为炮台底部和顶部，M,N为两艘船，假设由炮台顶部测得M船的

俯角为60°,测得N船的俯角为45。，可求得ON=Q4=30m,0M=—OA=lQy/3>n,又

3

ZMON=30°,所以可根据余弦定理求得MN=106(m).故两条船相距106m.

8.500米

【解析】•/ZS18=ZC18-ZC4S=450-30o=15°,NS3/=Z^BC-NS5C=450-15°=30°,

BSASAS-sin150.五k、

・•.在△月5s中，一=「而，：.BS=•=50°AA（/#-4（米）,

sin15sin30sin30

：.BD=BSsm75°=500（痣-0）x®=500（米）.故塔高BD为500米.

9.（1）sinC=—;（2）b=2庭,5=715.

4

【解析】（1）因为cos2c=1—2sin2c=-Lo<C<3,所以sinC=亚.

424

（2）当a=2,2sinA=sinC时，由‘一解得c=4.

sinAsinC

由cos2c=2cos2（?—1=-4及0<C<无，可得cosC=仄，

424

由c2=a2+62-2"cosC，可得廿一厢,一口=0,解得b=2"（负值舍去），

所以SAABC=^^sinC=\Z15.

10.C【解析】设角A，B,，。所对的边分别为。，匕，c,由题意得a+/?+c=20©,-Z7csin60°=1073

2

②，由①②得。+c=20-a,〃c=40,所以/=〃+c、2一〃c=3+c）2-3bc=（20-〃）2一3x40,

解得a=7.故选C.

H.A【解析】如下图所示，作DM〃AC交BE千N，交CE于则

DF=y/MF2+DM2=7152+852=5^98(m)-

DE=y/DN2+EN2=A/252+602=65(m)-

EF=«BE-FC):+BC?="52+602=75(m),

在△£)石尸中，由余弦定理的推论可得，

cos/阻JE"尸一次=652+75-52x2985

2DExEF2x65x7565

故选A.

12.C【解析】设建筑物的高度为2由题图知，尸―，PB=6m,PC=W〃m,

302+2/I2-4^2

所以在△PBA和中△EBC中，分别由余弦定理的推论，得cosZPBA=

2x30x@①,

302,21,2_g"

cosZPBC=_________一§②，因为NP3/+NP8C=180。，所以COSZPBK+COSNPBC

__2x30x@

=0③.由①②③，解得力=15《或”=一15褥（舍去），即建筑物的高度为15&m.故选C.

13.28【解析】如图，在ZXABC中，AB^20,AC=12,NC45=40°+80°=120。，由余弦定理得

BC2=202+122-2x20x12-cos120°=784,二BC=28(海里).故一小时后两船相距28海里.

c

北I

'B

40c!

西i-4东

14.-【解析】如图，过P作于点。，连接AO,则NP4O=e，设OC=x，则OP=x,

3

4

在直角A45C中，由勾股定理，可得BC=16,所以cosNBCA=《.

在“。。中,，由余弦定理，可得AO=^400+--2x20xx£=J%?-32x+400,

tan人”X_1

从而AO32尤+400J(20_4,+2>

2045

易知当一二一,即x=25时，tan。取得最大值，最大值为一.

x53

15.(1)30海里/小时；(2)lOg海里/小时；(3)存在，u的取值范围为(15百,30).

【解析】(D设相遇时小艇的航行距离为S海里，

则由余弦定理，可得S=^900r:+400-2x30rx20cos(90°-30°)

=，900产-6001+400

2

=^900(r-1)+300s

故当”:时，%n=10W，此时v=30道，

即小艇以30档海里小时的速度航行，相遇时小能的航行距禽最小.

(2)如图，设小艇与轮船在一处相遇，

由题意可知(⑺2=2()2+(30t)2-2・20-30Jcos(900-30。),

化简得声=理—竺2+900=400(---)2+675,

ttt4

由于所以！22,

2t

所以当1=2时，v取得最小值10万，即小艇航行速度的最小值为10/海里/小时.

t

(3)存在.由(2)知丫2=型一%+900,

tt

设1=〃(〃>0),于是400M2-6(X)M+900-V2=().

t

小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇，等价于方程有两个不等正根，

22

600-1600(900-v)>0「r-

即j002>0，解得156<”30,所•以v的取值范围是(156,30).

16.半呼【解析】取5c中点E,由题意可知在人4班中，cosZ^BC=^1=l,所以

24期4

cosZDBC=-l,sinZDBC=,所以S.==：xBDx5CxsinZD5C=半.因为

NABC=2ZBDC,所以8SZABC=8s2Z3Z）C=28s：ZBDC-l=[,解得8sZBDC=典或

44

esNBDC=T（舍去）.综上可得，△38的面积为芈，8sZBDC=吧.

424

43兀I—

17.A=――,a=>/29.

4

3ccosA=-6

【思路分析】先由数量积公式及三角形面积公式得1一..一，由此求A,再利用余弦定理求公

一x3csinA=3

12

【解析】因为砺.*=一6，所以匕ccosA=-6,

又S4ABe=3,所以hcsinA=6,因此tanA=—l,

37r

又0<A<7i,所以A=q-,又b=3,所以C=2Q.

万

由余弦定理〃=〃+C2-27?CCOSA，可得/=