2025高考物理总复习第四章曲线运动课件

第19课时曲线运动运动的合成与分解CONTENTS03立足“四层”·夯基础概念公式定理着眼“四翼”·探考点题型规律方法聚焦“素养”·提能力巧学妙解应用010201立足“四层”·夯基础概念公式定理

如图为一男子标枪选手的“冠军一投”的运动简化图：投出去的标枪

做曲线运动，忽略空气阻力，结合上述情境，判断下列说法的正误：（1）出手后标枪做匀变速曲线运动。

（

√

）（2）标枪的运动可以分解为水平方向的匀加速直线运动和竖直方向

的竖直上抛运动。

（

×

）√×（3）两个分运动的时间一定与它们的合运动的时间相等。

（

√

）（4）合运动的速度一定比分运动的速度大。

（

×

）（5）分运动的位移、速度、加速度与合运动的位移、速度、加速度

间满足平行四边形定则。

（

√

）√×√02着眼“四翼”·探考点题型规律方法

考点一

曲线运动的理解

[素养自修类]

1.【曲线运动的条件及特点】关于做曲线运动的物体，下列说法正确的是（

）A.所受合外力可以为零B.所受合外力一定为恒力C.所受合外力一定为变力D.所受合外力的方向与物体的速度方向一定不在一条直线上解析：

做曲线运动的物体，速度方向时刻发生变化，所以一定

是变速运动，合外力一定不为零，合外力可以是恒力，例如平抛运

动，合外力也可以是变力，例如匀速圆周运动，故A、B、C错误；

物体做曲线运动的条件是物体所受合外力的方向与物体的速度方向

不在一条直线上，故D正确。2.【轨迹、速度方向与力的方向的关系】（2023·全国乙卷15题）小车在水平地面上沿轨道从左向右运动，

动能一直增加。如果用带箭头的线段表示小车在轨道上相应位置处

所受合力，下列四幅图可能正确的是（

）解析：

做曲线运动的小车所受合外力指向轨迹的凹侧，A、B错误；小车沿轨道从左向右运动，动能一直增加，故合力与运动方向夹角为锐角，C错误，D正确。

1.曲线运动的轨迹与合外力方向、速度方向间的关系（1）运动轨迹夹在合外力与速度的方向之间。（2）合外力一定指向运动轨迹的凹侧。2.曲线运动中速率变化的判断

考点二

运动的合成与分解

[互动共研类]

1.合运动和分运动的关系等时性各分运动经历的时间与合运动经历的时间相等独立性各分运动独立进行，不受其他分运动的影响等效性各分运动的规律叠加起来与合运动有完全相同的效果

3.两个直线运动的合运动两个互成角度的分运动合运动的性质两个匀速直线运动匀速直线运动一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动匀变速曲线运动两个初速度为零的匀加速直线运动匀加速直线运动两个初速度不为零的匀变速直线运动如果v合与a合共线，匀变速直线运动如果v合与a合不共线，匀变速曲线运动【典例1】

（多选）如图甲所示，一无人机正在配送快递。无人

机在0～5s内的飞行过程中，其水平、竖直方向速度vx、vy与时间t

的关系图像分别如图乙、丙所示，规定竖直向上为正方向。下列说

法正确的是（

）A.0～2s内，无人机做匀加速曲线运动B.2～4s内，无人机做匀减速直线运动C.t＝4s时，无人机运动到最高点D.0～5s内，无人机的位移大小为9m

1.【合运动与分运动的关系】跳伞运动深受年轻人的喜爱。在水平风向的环境中，一位极限运动

员从飞机上由静止跳下后，下列说法中正确的是（

）A.风力越大，运动员下落时间越长B.运动员下落时间与风力无关C.风力越大，运动员落地时的竖直速度越大D.运动员落地速度与风力无关

2.【合运动的性质的判断】（多选）2023年春季，和平区五大道的海棠花竞相绽放，绵延上千米的美景，吸引无数游人纷至沓来，成为春日津城最红打卡地。电视台摄制组为了拍到更广、更美的景色，采用了无人机拍摄的方法。现通过传感器将某台无人机上升向前拍摄的飞行过程转化为竖直向上的速度vy及水平方向速度vx与飞行时间t的关系图像，如图甲、乙所示。图乙中t2～t3段图像平行于t轴，则下列说法正确的是（

）A.无人机在t1时刻处于超重状态B.无人机在0～t2这段时间内沿直线飞行C.无人机在t2时刻上升至最高点D.无人机在t2～t3时间内做匀变速运动解析：

由图像可知，无人机在0～t1时间内，竖直方向做匀加速直线运动，水平方向做匀减速直线运动，无人机有竖直向上的加速度，则可知无人机t1时刻处于超重状态，故A正确；由图像可知，无人机在0～t2这段时间内，竖直方向做匀加速直线运动，水平方向做匀减速直线运动，那么合加速度方向与初速度方向不共线，所以无人机做曲线运动，故B错误；无人机在竖直方向上，先向上匀加速，后向上匀减速，直至竖直方向的速度减为零，无人机才上升至最高点，而t2时刻是无人机加速向上结束的时刻，因此t2时刻无人机并未上升至最高点，故C错误；由图像可知，无人机在t2～t3时间内，竖直方向做匀减速直线运动，水平方向做匀速直线运动，只有竖直方向有加速度且恒定，因此可知无人机在t2～t3时间内做匀变速运动，故D正确。

考点三

小船渡河问题

[互动共研类]

1.小船渡河运动的合成与分解2.小船渡河的两类问题、三种情境最短时间问题最短位移问题渡河情境

最短时间问题最短位移问题渡河条件v船⊥v水v合⊥v水（v船＞v水）v合⊥v船（v水＞v

船）渡河结果最短位移为河宽d

A.第一个过程快艇的出发点位于M点左侧8m处B.第一个过程所用的时间约为1.17sC.第二个过程快艇的船头方向应垂直河岸D.第二个过程所用的时间为2s

1.【水流速度小于船在静水中速度的问题】（多选）在某次救援演习中，一冲锋舟匀速横渡一条两岸平直、水

流速度不变的河流，当冲锋舟船头垂直河岸航行时，恰能到达正对

岸下游600m处；若冲锋舟船头保持与河岸成30°角向上游航行时，

则恰能到达正对岸，已知河水的流速大小为5m/s，下列说法正确的

是（

）A.冲锋舟在静水中的速度大小为10m/s

2.【水流速度大于船在静水中速度的问题】一小船在静水中的速度为3m/s，它在一条河宽150m，流速为5m/s

的河流中渡河，则下列说法正确的是（

）A.小船渡河时间不少于60sB.小船以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为150mC.小船以最短位移渡河时，位移大小为250mD.小船以最短位移渡河时，时间为60s

考点四

关联速度模型

[方法模型类]

1.常见模型2.解题思路【典例3】

如图所示，质量为m的木块a放置在倾角为α的固定斜面

上，通过一根不可伸长的细线绕过固定在斜面上的轻滑轮与质量为

m、套在杆上的小球b相连，小球以速率v向左匀速运动，不计空气

阻力和一切摩擦力，重力加速度为g。当细线与水平杆的夹角为β时

（

）A.木块a的速度大小为vC.细线的拉力大于mgsinαD.细线的拉力小于mgsinα解析：小球b的速度分解为沿绳方向的分速度v1和垂直于绳方向的分速度v2，木块a的速度大小等于v1＝vcos

β，故A、B错误；小球b向左运动过程中，β逐渐减小，则木块a的速度逐渐增大，即木块a做加速运动，细线的拉力大于mgsin

α，故C正确，D错误。

1.【绳端速度分解】（多选）如图所示，人在岸上拉船，已知船的质量为m，水的阻力

恒为f，当轻绳与水平面的夹角为θ时，人的速度为v，人的拉力为F

（不计滑轮与绳之间的摩擦），则以下说法正确的是（

）B.船的速度为vcosθ

2.【杆端速度分解】如图所示，小球a、b用一细直棒相连，a球置于水平地面上，b球靠

在竖直墙面上，释放后b球沿竖直墙面下滑，当滑至细直棒与水平

地面成θ角时，a、b两小球的速度大小的比值为（

）A.sinθB.cosθC.tanθ

03聚焦“素养”·提能力巧学妙解应用

考点一

曲线运动的理解1.如图所示，轮滑演员在舞台上滑出漂亮的曲线轨迹。在此过程中轮

滑演员（

）A.速度始终保持不变B.运动状态始终保持不变C.速度方向沿曲线上各点的切线方向D.所受合力方向始终与速度方向一致1234567891011解析：

轮滑演员做曲线运动，速度方向不断变化，运动状态不

断变化，故A、B错误；做曲线运动的轮滑演员的速度方向沿曲线

上各点的切线方向，故C正确；轮滑演员所受合力方向与速度方向

不在同一条直线上，故D错误。12345678910112.如图所示，光滑水平面上的物体受五个沿水平面

的恒力F1、F2、F3、F4、F5作用，以速率v0沿水平

面做匀速直线运动，若撤去其中某个力（其他力

不变），则在以后的运动中，下列说法正确的是（

）A.若撤去的是F1，则物体将做圆周运动B.若撤去的是F2，则经过一段时间后物体的速率可能再次变为v0C.若撤去的是F3，则经过一段时间后物体的速率可能再次变为v0D.无论撤去这五个力中的哪一个，物体在相同时间内的速度改变量一定都相同1234567891011解析：

撤去F1后，其他力的合力方向与速度方向垂直，因为受

到的是恒力，故物体做匀变速曲线运动，不做圆周运动，故A错

误；撤去F2后，其他力的合力方向与F2的方向相反，则物体在水平

方向先减速到零，再反向加速，而竖直方向一直在加速，所以经过

一段时间后有可能在某时刻速率再次变为v0，故B正确；撤去F3

后，其他力的合力方向与速度方向成锐角，速度增大，则经过一段

时间后，速率比v0大，故C错误；因为这五个力不完全相同，撤去

其中一个力后，其他四个力的合力也不完全相同，根据牛顿第二定

律可知加速度也不完全相同，所以物体在相同时间内的速度改变量

不一定都相同，故D错误。1234567891011考点二

运动的合成与分解3.如图甲所示，在一次施工中，塔吊将重物从O点吊起，从起吊开始

计时，以O为原点，设水平为x方向、竖直为y方向，重物x、y方向

的运动规律分别如图乙、丙所示，则重物（

）A.在水平方向做匀变速直线运动B.运动轨迹为抛物线C.0～8s内的位移大小为40mD.在相等时间内的速度变化量

不相等1234567891011

12345678910114.如图所示，在风洞实验室中，从A点以水平速度v0向左抛出一个质

量为m的小球（可视为质点），小球抛出后所受空气作用力沿水平

方向，其大小为F，经过一段时间小球运动到A点正下方的B点处，

重力加速度为g，在此过程中，求：（1）小球离A、B所在直线的最远距离；

1234567891011（2）A、B两点间的距离；

1234567891011（3）小球的最大速率vmax。

1234567891011考点三

小船渡河问题5.（多选）如图所示，小船（视为质点）从岸边A点开始渡河，河两

岸平行，河的宽度为150m，水流速度大小为3m/s，船在静水中的

速度大小为4m/s，则（

）A.船不可能到达正对岸B点B.船的最短过河时间为37.5sC.船要以最短路程过河，船头必须指向正对岸1234567891011

12345678910116.（多选）船在静水中速度与时间的关系如图甲所示，河水流速与某河岸边的距离的变化关系如图乙所示，则（

）A.船渡河的最短时间50sB.要使船以最短时间渡河，船在行驶过程中，船头必须始终与河岸垂直C.船在河水中航行的轨迹是一条直线D.船以最短时间渡河，船在河水中的最大速度是5m/s1234567891011

1234567891011

1234567891011

12345678910118.如图所示，一根长为L的直杆一端抵在墙角，一端依靠在箱子的光

滑竖直侧壁上，将箱子以大小为v的速度向右推，直杆绕O点在竖直

面内转动，当直杆与竖直方向的夹角为θ时，直杆转动的角速度大

小为（

）1234567891011

1234567891011

9.快递给人们的生活带来很多便利，一快递小哥用无人机给一些不方

便下楼取件的客户配送快递。某次配送快递无人机在飞行过程中，

水平方向的速度vx及竖直方向的速度vy与飞行时间t的关系图像如图

甲、乙所示。关于无人机的运动，下列说法正确的是（

）1234567891011

A.0～t1时间内，无人机做曲线运动B.t2时刻，无人机运动到最高点C.在t2～t4时间内，无人机做匀变速直线运动1234567891011

123456789101110.（多选）如图甲所示，竖直圆筒内壁光滑，

半径为R，在侧壁同一竖直线上有A、B两

小孔相距h，将一小球从上部A孔沿筒内壁

水平射入筒中，小球紧贴筒内壁运动，并

恰好能到达下部小孔B，所用时间为t1，到达下部小孔B时的速度大小为vB。如图乙所示，用光滑细钢丝绕成的螺距相同的柱形螺线管，横截面半径也为R，竖直固定，钢丝上下两端C、D恰好在同一竖直线上，相距h，一小铜环穿在钢丝上从上端C无初速度下滑到达底端D，所用时间为t2，到达D端时的速度大小为vD，二者相比较，下列结论正确的是（

）A.t1＝t2B.

t1＜t2C.vB＝vDD.

vB＞vD1234567891011

123456789101111.如图所示，以岸边O点为原点建立空间直角坐

标系，x轴沿河岸方向、y轴垂直河岸方向、z

轴竖直向上。水流速度恒为vx＝5m/s，方向沿

x轴正方向。t＝0时刻开始，某船保持船头始终

朝向y轴正方向运动至江心，船在y方向上的初速度为零，加速度为a1＝4m/s2。船在x轴方向上的速度始终与水流速度相同。在t＝5s时，船员相对船体以vz＝10m/s的速度将一个小石块垂直向上抛出，忽略空气阻力，重力加速度取g＝10m/s2。求：1234567891011答案：（25m，50m，0）

解析：沿x方向做匀速运动，则x1＝vxt（1）t＝5s时船的位置坐标（x1，y1，z1）；

解得y1＝50mt＝5s时船的位置坐标为（25m，50m，0）。1234567891011（2）石块到达最高点时的位置坐标（x2，y2，z2）。答案：（30m，70m，5m）

1234567891011第20课时抛体运动CONTENTS03立足“四层”·夯基础概念公式定理着眼“四翼”·探考点题型规律方法聚焦“素养”·提能力巧学妙解应用010201立足“四层”·夯基础概念公式定理

人教版教材必修第二册P14“问题”中排球运动员沿水平方向击球，

不计空气阻力。判断下列说法正误：（2）在同一高度处击球，排球的初速度越大，水平位移越大。

（

√

）（3）排球的速度方向在时刻变化，加速度方向也时刻变化。

（

×

）（4）排球的落地时间与初速度大小无关。

（

√

）（5）如果击球的位置非常高，排球落地时的速度可以竖直向下。

（

×

）√×√×（1）排球在任意相等时间内速度变化量相同。

（

√

）√02着眼“四翼”·探考点题型规律方法

考点一

平抛运动的规律

[互动共研类]

1.飞行时间

2.水平射程

3.落地速度

（1）速度的变化规律相等时间ΔT内的速度变化量相等，即Δv＝Δvy＝gΔT，方向竖直向下。（2）位移的变化规律①相等时间ΔT内的水平位移相等，即Δx＝v0ΔT。②连续相等时间ΔT内，竖直方向上的位移差不变，即Δy＝

gΔT2。4.速度和位移的变化规律

（2）平抛运动任意时刻的速度反向延长线通过对应水平位移的中

点（反延过中）。

每隔0.05s发出一次闪光。某次拍摄时，小球在抛出瞬间频闪仪恰好闪光，拍摄的照片编辑后如图所示。图中的第一个小球为抛出瞬间的影像，每相邻两个球之间被删去了3个影像，所标出的两个线段的长度s1和s2之比为3∶7。重力加速度大小取g＝10m/s2，忽略空气阻力。求在抛出瞬间小球速度的大小。【典例1】

（2022·全国甲卷24题）将一小球水平抛出，使用频闪仪和照相机对运动的小球进行拍摄，频闪仪

1.【平抛运动规律的应用】以速度v0水平抛出一小球后，不计空气阻力，某时刻小球的竖直分

位移与水平分位移大小相等。下列判断正确的是（

）A.此时小球的竖直分速度大小等于水平分速度大小B.此时小球速度的方向与位移的方向相同C.此时小球速度的方向与水平方向成45°角

2.【多体平抛问题】（2024·九省联考贵州）无人机在一斜坡上方沿水平方向向右做匀

速直线运动，飞行过程中先后释放甲、乙两个小球，两小球释放的初始位置如图所示。已知两小球均落在斜坡上，不计空气阻力，比较两小球分别从释放到落在斜坡上的过程，下列说法正确的是（

）A.乙球的位移大B.乙球下落的时间长C.乙球落在斜坡上的速度大D.乙球落在斜坡上的速度与竖直方向的夹角大D

考点二

斜抛运动

[互动共研类]1.斜抛运动的条件及性质（1）条件①只受重力。②初速度方向斜向上或斜向下。（2）性质：匀变速曲线运动。2.几种抛体运动的比较（1）共同点：物体均只受重力作用，加速度均为重力加速度g，且

保持不变。（2）不同点：竖直方向上的抛体运动为匀变速直线运动，平抛、

斜抛为匀变速曲线运动。（3）研究方法：对平抛、斜抛运动，通过分解将其转化为直线运

动，根据分运动遵循的规律列方程，要注意区分合运动与分

运动。【典例2】

如图所示为自由式滑雪大跳台，将选手视为质点。图（a）是选手从3m高跳台斜向上冲出的运动示意图，图（b）是选手在空中运动时离跳台底部所在水平面的高度y随时间t变化的图线。已知t＝1s时，图线所对应的切线斜率为4（单位：m/s），重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力，下列说法正确的是（

）A.选手冲出跳台的速度大小为14m/sB.t＝1.4s时，选手到达最高点，离跳台底部所在水平面的高度为12.8mC.t＝1.0s和t＝1.8s时，选手的速度相同D.选手落到跳台底部所在水平面的速度大小可能为16m/s

1.【逆向思维法处理斜上抛运动】某同学在练习投篮时将篮球从同一位置斜向上抛出，其中有两次篮

球垂直撞在竖直放置的篮板上，运动轨迹如图所示，不计空气阻

力，关于这两次篮球从抛出到撞击篮板的过程（

）A.两次在空中运动的时间相等B.两次抛出时的速度大小相等C.第1次抛出时速度的水平分量小D.第2次抛出时速度的竖直分量大解析：

将篮球的运动反向处理，即为平抛运动。由题图可知，

第2次运动过程中的高度较小，所以运动时间较短，故A错误；第2

次运动过程中的高度较小，故第2次抛出时速度的竖直分量较小，

故D错误；平抛运动在水平方向上是匀速直线运动，水平射程相

等，由x＝v0t可知，第1次抛出时水平分速度较小，故C正确；水平

分速度第2次较大，竖直分速度第1次较大，根据速度的合成可知，

两次抛出时的速度大小关系不能确定，故B错误。2.【平抛运动与斜上抛运动的比较】（2023·湖南高考2题）如图（a），我国某些农村地区人们用手抛撒

谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图

（b）所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于

P点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为v1和v2，其中v1方向水

平，v2方向斜向上。忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下

列说法正确的是（

）A.谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度B.谷粒2在最高点的速度小于v1C.两谷粒从O到P的运动时间相等D.两谷粒从O到P的平均速度相等

考点三

类平抛运动

[互动共研类]1.受力特点物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直。2.运动特点

3.求解方法（1）常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直

线运动和垂直于初速度方向（即沿合力方向）的匀加速直

线运动，两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有

等时性。（2）特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角

坐标系，将加速度分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然

后分别在x、y方向列方程求解。【典例3】

如图所示的光滑斜面长为l，宽为b，倾角为θ，一物块（可看成质点）沿斜面左上方顶点P水平射入，恰好从底端Q点离开斜面，试求：（重力加速度为g）（1）物块由P运动到Q所用的时间t；

（2）物块由P点水平射入时的初速度v0的大小；

（3）物块离开Q点时速度的大小v。

据悉，我国已在陕西省西安市的阎良机场建立了一座航空母舰所使用的滑跳式甲板跑道，用来让飞行员练习在航空母舰上的滑跳式甲板起飞。如图所示的AOB为此跑道纵截面示意图，其中AO段水平，OB为抛物线，O点为抛物线的顶点，抛物线过O点的切线水平，OB的水平距离为x，竖直高度为y。某次训练中，观察战机（视为质点）通过OB段时，得知战机在水平方向做匀速直线运动，所用时间为t，则战机离开B点的速率为（

）

03聚焦“素养”·提能力巧学妙解应用

考点一

平抛运动的规律1.如图所示，儿童在公园里玩水枪，她握紧枪杆保持水平，水源源不

断地沿水平方向射出。若枪口距地面高h，水从水枪的管口喷出的

速度恒为v，管内横截面积为S，重力加速度为g，则水流稳定后在

空中的体积为（

）B.

Sv12345678910

123456789102.某同学进行抛体运动的相关研究。第一次把一个

体积较小的钢球（小钢球体积小，空气阻力可以

忽略不计）用发射器从H＝1.25m高处水平射出，

落地点为P，发射点到P点的水平距离为x。第二

次把一个质量相同的塑料球用同一水平速度水平

射出，仅改变发射高度，发现当发射高度调整为h＝1.8m时，塑料球的落点也在P点。该同学对塑料球的受力做了一下分析和处理：塑料球竖直方向速度较小，空气阻力的竖直分力忽略不计，但水平方向的空气阻力不能忽略且视为恒力。根据这种设想，塑料球在运动时受到的空气阻力约为重力的（重力加速度的大小g＝10m/s2）（

）12345678910

123456789103.（多选）如图所示，从足够高的1、2两点水平抛出两个小球，之后

两球在空中的P点相碰，测得从1、2两点抛出的小球在P点时速度方

向与水平方向的夹角分别为53°、45°。已知1、2两点在同一竖直线

上，P点到1、2两点的水平距离为d，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，

重力加速度为g，不计空气阻力。下列说法正确的是（

）A.从1、2两点抛出的小球在空中运动的时间相等B.从1、2两点抛出的小球经过P点时的速度大小相等12345678910

12345678910考点二

斜抛运动4.有A、B两小球，B的质量为A的两倍。现将它们以相同速率沿同一

方向抛出，不计空气阻力。图中①为A的运动轨迹，则B的运动轨迹

是（

）A.①B.

②C.③D.

④解析：

不计空气阻力的情况下，两球沿同一方向以相同速率抛

出，其运动轨迹是相同的，选项A正确。123456789105.体育课上，某同学跳起投篮，篮球脱手后斜向上

飞出，如图所示。篮球在上升过程中速度方向与

水平方向的夹角θ的正切值为tanθ，不计空气阻

力，关于tanθ与篮球运动时间t的关系，下列图

像中可能正确的是（

）12345678910

12345678910考点三

类平抛运动6.（多选）如图所示，两个倾角分别为30°、45°的光滑斜面放在同一水平面上，两斜面间距大于小球直径，斜面高度相等。有三个完全相同的小球a、b、c，开始均静止于同一高度处，其中b小球在两斜面之间，a、c两小球在斜面顶端。若同时释放，小球a、b、c到达该水平面的时间分别为t1、t2、t3。若同时沿水平方向抛出，初速度方向如图所示，小球a、b、c到达该水平面的时间分别为t1'、t2'、t3'。下列关于时间的关系正确的是（

）A.t1＞t3＞t2B.t1＝t1'、t2＝t2'、t3＝t3'C.t1'＞t2'＞t3'D.t1＜t1'、t2＜t2'、t3＜t3'12345678910

123456789107.如图所示，A、B两质点以相同的水平速度v0抛出，A在竖直平面内

运动，落地点为P1，B在光滑斜面上运动，落地点为P2。不计阻

力，比较P1、P2在x轴方向上的远近关系是（

）A.P1较远B.

P2较远C.P1、P2等远D.

A、B都有可能12345678910

12345678910

8.（多选）如图所示，竖直墙MN、PQ间距为l，竖直线OA到两边墙

面等距。从离地高度一定的O点垂直墙面以初速度v0水平抛出一个

小球，小球与墙上B点、C点各发生一次弹性碰撞后恰好落在地面上

的A点。设B点距地面高度为h1，C点距地面高度为h2，所有摩擦和

阻力均不计。下列说法正确的是（

）A.下落h1和h2所用时间t1∶t2＝2∶1B.h1∶h2＝15∶7C.仅将间距l加倍而仍在两墙中央O点平抛，小球不会落在

A点D.仅将初速度v0增为nv0（n为正整数），小球一定落在A点12345678910

12345678910

（1）投出物资后热气球的加速度；

12345678910

12345678910（2）落地时物资与热气球的距离d。

1234567891010.如图为一“永动机”玩具的模型，abcd是一组光滑细金属双轨，

轨道间距为l＝0.8cm，bc段水平。按下一个隐蔽开关后，把质量m

＝3.6g的钢球从软木盘中心洞口O无初速释放，经过隐蔽的加速装

置，钢球便沿轨道运动至d点斜向上飞出，速度与水平方向成

53°，之后恰好落到洞口O点附近的G点，接着在洞口附近来回运

动一段时间后，再次从洞口无初速落下，此后不断重复以上过

程。不计空气阻力，g＝10m/s2，sin53°＝0.8。12345678910（1）已知钢球直径d＝1cm，求钢球在bc段上滚动时，每条轨道

对钢球的支持力大小F；答案：0.03N

12345678910（2）若将钢球看作质点，G、d处在同一高度，水平距离s＝60

cm，求钢球从d点飞出后能上升的最大高度h。

12345678910第21课时平抛运动的综合问题CONTENTS02着眼“四翼”·探考点题型规律方法聚焦“素养”·提能力巧学妙解应用0101着眼“四翼”·探考点题型规律方法

题型一

与斜面相关联的平抛运动

模型

方法分解速度，构建速

度矢量三角形，找

到斜面倾角θ与速度

方向的关系分解速度，构

建速度的矢量

三角形分解位移，构建位移矢

量三角形，隐含条件：

斜面倾角θ等于位移与

水平方向的夹角基本

规律【典例1】

如图所示，倾角为θ的斜面体固定在水平面上，两个可视为质点的小球甲和乙分别沿水平方向抛出，两球的初速度大小相等，已知甲的抛出点为斜面体的顶点，经过一段时间两球分别落在斜面上的A、B点后不再反弹，落在斜面上的瞬间，小球乙的速度与斜面垂直。忽略空气阻力，重力加速度为g，则下列选项正确的是（

）A.甲、乙两球在空中运动的时间之比为tan2θ∶1B.甲、乙两球下落的高度之比为2tan2θ∶1C.甲、乙两球的水平位移大小之比为tanθ∶1D.甲、乙两球落在斜面上瞬间的速度方向与水平方向夹角的正切值之

比为2tan2θ∶1

1.【顺着斜面的平抛运动】如图，在倾角为α的斜面顶端，将小球以v0的初速度水平向左抛出，经过一定时间小球发生第一次撞击。自小球抛出至第一次撞击过程中小球水平方向的位移为x，忽略空气阻力，则下列图像正确的是（

）

2.【对着斜面的平抛运动】

题型二

与曲面相关联的平抛运动运动情景物理量分析

运动情景物理量分析

小球恰好从圆柱体Q点沿切线飞过，此时半径OQ

垂直于速度方向，圆心角θ与速度的偏向角相等A.v1＜v2B.t1＜t2C.小球落到D点时，速度方向可能垂直于圆弧D.小球落到C点时，速度与水平方向的夹角一定大于45°【典例2】

（多选）如图所示为一半圆形的坑，其中坑边缘两点A、

B与圆心O等高且在同一竖直平面内，在圆边缘A点将一小球以速度v1

水平抛出，小球落到C点，运动时间为t1，第二次从A点以速度v2水平

抛出，小球落到D点，运动时间为t2，不计空气阻力，则（

）

如图所示，B为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O的连线与竖直方

向的夹角为α。一小球在圆轨道左侧的A点以速度v0平抛，恰好沿B点

的切线方向进入圆轨道。已知重力加速度大小为g，不计空气阻力，

则A、B之间的水平距离为（

）

题型三

平抛运动中的临界极值问题1.常见的“临界术语”（1）题目中有“刚好”“恰好”“正好”“取值范围”“多长时

间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在临界点。（2）题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明

题述的过程中存在着极值。2.平抛运动临界、极值问题的分析方法（1）确定研究对象的运动性质；（2）根据题意确定临界状态；（3）确定临界轨迹，画出轨迹示意图；（4）应用平抛运动的规律结合临界条件列方程求解。【典例3】

如图所示，在楼梯口，用弹射器向第一级台阶弹射小球。台阶高为H，宽为L，A为竖直踢脚板的最高点，B为水平踏脚板的最右侧点，C是水平踏脚板的中点。弹射器沿水平方向弹射小球，弹射器高度h和小球的初速度v0可调节，小球被弹出前与A的水平距离也为L。某次弹射时，小球恰好没有擦到A而击中B，为了能击中C点，需调整h为h'，调整v0为v0'，下列判断正确的是（

）A.h'的最大值为2hB.

h'的最小值为2h

1.【平抛运动的临界问题】如图所示，窗子上、下沿间的高度H＝1.6m，竖直墙的厚度d

＝0.4

m，某人在距离墙壁L＝1.4m、距窗子上沿h

＝0.2m处的

P点，将

可视为质点的小物件以垂直于墙壁的速度v水平抛出，要求小物件

能直接穿过窗口并落在水平地面上，不计空气阻力，g＝10m/s2。

则可以实现上述要求的速度大小是（

）A.2m/sB.4m/sC.8m/sD.10m/s

2.【平抛运动的极值问题】某科技比赛中，参赛者设计了一个轨道模型，如图所示。模型放到

0.8m高的水平桌子上，最高点距离水平地面2m，右端出口水平。

现让小球在最高点由静止释放，忽略阻力作用，为使小球飞得最

远，右端出口距离桌面的高度应设计为（

）A.0B.0.1mC.0.2mD.0.3m

03聚焦“素养”·提能力巧学妙解应用

题型一

与斜面相关的平抛运动1.（2022·广东高考3题）如图是滑雪道的示意图。可

视为质点的运动员从斜坡上的M点由静止自由滑

下，经过水平NP段后飞入空中，在Q点落地。不计运动员经过N点的机械能损失，不计摩擦力和空气阻力。下列能表示该过程运动员速度大小v或加速度大小a随时间t变化的图像是（

）1234567891011解析：

根据题述可知，运动员在斜坡上由静止滑下做加速度小

于g的匀加速运动，在NP段做匀速直线运动，从P飞出后做平抛运

动，加速度大小为g，速度方向时刻改变、大小不均匀增大，所以

只有图像C正确。12345678910112.如图所示，小球以v0正对倾角为θ的斜面水平抛出，若小球到达斜面

的位移最小，则飞行时间t为（重力加速度为g）（

）A.t＝v0tanθ

12345678910113.（多选）小兰和小亮周末去爬山，在一个倾角为α＝37°的山坡上玩

抛石块。如图所示，小兰爬上紧挨山坡底端的一棵树，从树上Q点

朝着山坡水平抛出一个石块甲，石块甲正好垂直打在山坡中点P；

小亮在山坡顶端的A点水平抛出一个石块乙，石块乙也落在P点。已

知山坡长度AC＝L，重力加速度为g，sin37°＝0.6，不计空气阻

力，则下列说法正确的是（

）A.石块甲的抛出点Q一定比A点高D.若两石块同时抛出，则他们一定同时击中P点1234567891011

1234567891011题型二

与曲面相关联的平抛运动4.（多选）如图所示，竖直截面为半圆形的容器，O为圆心，AB为沿

水平方向的直径。一物体在A点以向右的水平初速度vA抛出，与此

同时另一物体在B点以向左的水平初速度vB抛出，两物体都落到容

器的同一点P。已知∠BAP＝37°，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，不计

空气阻力，下列说法正确的是（

）A.B比A先到达P点B.两物体一定同时到达P点C.抛出时，两物体的速度大小之比为vA∶vB＝16∶9D.抛出时，两物体的速度大小之比为vA∶vB＝4∶11234567891011

12345678910115.（多选）如图所示，在水平放置的半径为R的圆柱体的正上方P点，

将一个小球以速度v0沿垂直于圆柱体轴线方向水平抛出，小球飞行

一段时间后恰好从圆柱体的Q点沿切线方向飞过，测得该截面的圆

心O与Q点的连线与竖直方向的夹角为θ，那么小球从P运动到Q所用

的时间是（

）1234567891011

1234567891011题型三

平抛运动中的临界极值问题6.如图所示，排球比赛中，某队员在距网水平距离为4.8m、距地面

3.2m高处将排球沿垂直网的方向以16m/s的速度水平击出。已知网

高2.24m，排球场地长18m，重力加速度g取10m/s2，可将排球视

为质点，下列判断正确的是（

）A.球不能过网B.球落在对方场地内C.球落在对方场地底线上D.球落在对方场地底线之外1234567891011

12345678910117.（多选）康杰中学举办的“学雷锋集爱心”义卖活

动中，有班级设置了套圈游戏，如图所示。某同学

从距水平地面高度1m处水平抛出一个半径为0.1m

的圆环，套前方地面上的水杯，假设圆环运动过

程始终保持水平，圆环中心到水杯的水平距离为

3.0m，水杯高度为0.2m，水杯大小忽略不计。重力加速度g＝10m/s2（忽略空气阻力），要想套住水杯，圆环刚抛出时的速度可能是（

）A.7.6m/sB.7.7m/sC.7.8m/sD.7.9m/s1234567891011

12345678910118.如图，倾角θ＝30°的斜面体ABC固定在水平面上，斜面AC长为L，

在斜面中点D处立有一根竖直的细杆，从斜面顶端A点水平抛出一

个小球，小球刚好能越过竖直细杆并落在斜面的底端C。不计空气

阻力，小球可视为质点，则细杆的长度为（

）1234567891011

1234567891011

9.如图所示，a、b两小球分别从半径大小为R的半圆轨道顶端和斜面

顶端以大小相等的初速度同时水平抛出，已知半圆轨道的半径与斜

面竖直高度相等，斜面斜边长是其竖直高度的2倍，a、b均可视为

质点，结果a、b两球同时分别落在半圆轨道和斜面上，则小球的初

速度大小为（重力加速度为g，不计空气阻力）（

）1234567891011

123456789101110.（多选）主题口号为“一起向未来”的2022年北京冬奥会圆满落

幕。跳台滑雪比赛在河北张家口举行，如图，跳台滑雪赛道由助

滑道AB、着陆坡CD、停止区DE三部分组成。比赛中，甲、乙两

运动员先后以速度v1、v2从C点正上方B处沿水平方向飞出，分别

落在了着陆坡的中点P和末端D，运动员可看成质点，不计空气阻

力，着陆坡的倾角为θ，重力加速度为g，则（

）1234567891011B.v1、v2的大小关系为v2＝2v1C.甲、乙两运动员落到着陆坡前瞬间速度方向相同D.甲运动员落到着陆坡前瞬间速度方向与水平方向的夹角比乙的大1234567891011

1234567891011设甲、乙两运动员落到着陆坡前瞬间速度方向与水平方向夹角分别为α1和α2，位移方向与水平方向成β1和β2，根据平抛运动推论可知tanα1＝2tanβ1，tanα2＝2tanβ2，由情境图可知，甲运动员落到着陆坡前瞬间位移方向与水平方向夹角比乙的大，即β1＞β2，则有tanα1＞tanα2，可得α1＞α2，即甲运动员落到着陆坡前瞬间速度方向与水平方向的夹角比乙的大，C错误，D正确。123456789101111.如图所示，高为H、倾角为θ＝45°的斜面AB放置在水平地面上，左

侧高台上有一人向斜面多次投掷小球以练习准确性，小球每次出

手时的速度方向都是水平向右，出手点位于高台边缘且距地面高

度为2H，重力加速度为g，忽略空气阻力。1234567891011（1）如果斜面底端A点到高台的水平距离也为H，为了使小球能

够投掷到斜面上，求小球的初速度v0的取值范围；

1234567891011（2）若小球垂直击中斜面AB的中点C点（途中未画出），求A点

距高台的水平距离s；

1234567891011（3）如果落在A点的小球与落在B点的小球速度大小相等，求A点

距高台的水平距离x。

1234567891011第22课时圆周运动CONTENTS03立足“四层”·夯基础概念公式定理着眼“四翼”·探考点题型规律方法聚焦“素养”·提能力巧学妙解应用010201立足“四层”·夯基础概念公式定理

现在有一种叫作“魔盘”的娱乐设施，如图所示。当“魔盘”转动很

慢时，人会随着“魔盘”一起转动，当盘的速度逐渐增大时，盘上的

人便逐渐向边缘滑去，离转动中心越远的人，这种滑动的趋势越明

显，当“魔盘”转动到一定速度时，人会“贴”在“魔盘”竖直壁上

而不会滑下。判断下列说法的正误：（1）人随“魔盘”一起做匀速圆周运动时，其角速度是不变的。

（

√

）（2）人随“魔盘”一起做匀速圆周运动时，其合外力是不变的。

（

×

）（3）人随“魔盘”一起做匀速圆周运动的向心加速度与半径成反

比。

（

×

）（4）随“魔盘”一起做匀速圆周运动时，人离“魔盘”中心越远，

人运动得越快。

（

√

）√××√（5）“魔盘”的转速逐渐增大时，盘上的人便逐渐向边缘滑去，这

是人受沿半径向外的离心力作用的缘故。

（

×

）×02着眼“四翼”·探考点题型规律方法

考点一

圆周运动的运动学问题

[素养自修类]

1.【皮带传动问题】（多选）如图甲所示是中学物理实验室常用的感应起电机，它是由

两个大小相等、直径约为30cm的感应玻璃盘起电的，其中一个玻

璃盘通过从动轮与手摇主动轮连接，如图乙所示，玻璃盘以100

r/min的转速旋转，已知主动轮的半径约为8cm，从动轮的半径约为

2cm，P和Q是玻璃盘边缘上的两点，若转动时皮带不打滑，下列

说法正确的是（

）A.P、Q的线速度相同B.玻璃盘的转动方向与摇把转动方向相反C.P点的线速度大小约为1.6m/sD.摇把的转速约为400r/min

2.【齿轮传动问题】如图甲所示，修正带是通过两个齿轮相互咬合进行工作的，其原理

可简化为如图乙所示的模型。A、B是大、小齿轮边缘上的两点，C

是大轮上的一点。若大轮半径是小轮半径的2倍，小轮中心到A点和

大轮中心到C点的距离之比为2∶1，则A、B、C三点（

）A.线速度大小之比为4∶4∶1B.角速度之比为1∶1∶1C.转速之比为2∶2∶1D.向心加速度大小之比为2∶1∶1

3.【同轴转动问题】如图所示是静止在地面上的起吊重物的吊车，某次操作过程中，液

压杆长度收缩，吊臂绕固定转轴顺时针转动，吊臂上的M、N两点

做圆周运动，此时M点的角速度为ω，ON＝2OM＝2L，则（

）A.M点的速度方向垂直于液压杆B.N点的角速度为2ωC.两点的线速度大小关系为vN＝4vMD.N点的向心加速度大小为2ω2L解析：

吊臂是绕固定转轴O旋转的，因此M点的速度方向垂直于

吊臂，不垂直于液压杆，故A错误；M、N点在吊臂上绕同一固定转

轴O旋转，有相同的角速度，即N点的角速度应该等于M点的角速

度，故B错误；根据v＝ωr可知vN＝2vM，故C错误；根据an＝ω2r可

知，N点的向心加速度大小为anN＝2ω2L，故D正确。

1.匀速圆周运动各物理量间的关系2.常见的三类传动方式及特点（1）皮带传动：如图甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动

时，与皮带接触的轮子边缘上各点的线速度大小相等，图甲

中vA＝vC≠vB，图乙中vA＝vB≠vP＝vQ。（2）摩擦传动和齿轮传动：如图丙、丁所示，两轮边缘接触，接

触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB。（3）同轴转动：如图戊、己、庚所示，绕同一转轴转动的物体，

角速度相同，即ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比。

考点二

圆周运动的动力学问题

[多维探究类]

1.圆周运动向心力的理解（1）向心力是按力的作用效果命名的，可以由重力、弹力、摩

擦力等各种性质力提供，可以是某个力或某个力的分力，

也可以是几个力的合力，在受力分析中要避免再添加一个

向心力。（2）匀速圆周运动的合外力恰好全部提供向心力，即F向＝F合。（3）变速圆周运动的合外力与向心力的关系变速圆周运动的合外力方向一般不指向圆心（特例如竖直面

内水流星最高点和最低点的合外力方向指向圆心），可以分

解为如图所示的两个分力。（4）切向分力Ft：产生切向加速度at，只改变线速度的大小。当at

与v同向时，速度增大，做加速圆周运动；反向时则速度减

小，做减速圆周运动。（5）法向分力Fn：提供向心力，产生向心加速度an，只改变线速度

的方向。2.解答圆周运动的动力学问题的基本思路【典例】

（多选）杭州游乐园有一种叫作“快乐飞机”的游乐项目，模型如图所示，已知模型飞机质量为m，固定在长为L的旋臂上，旋臂与竖直方向夹角为θ，当模型飞机以角速度ω绕中央轴在水平面内做匀速圆周运动时，下列说法正确的是（

）A.模型飞机受到重力、旋臂的作用力和向心力B.旋臂对模型飞机的作用力方向一定与旋臂垂直D.若夹角θ增大，则旋臂对模型飞机的作用力增大

1.【车辆转弯问题】（多选）列车转弯时的受力分析如图所示，铁路转弯处的圆弧半径为R，两铁轨之间的距离为d，内外轨的高度差为h，铁轨平面和水平面间的夹角为α（α很小，可近似认为tanα≈sinα），重力加速度

为g，下列说法正确的是（

）A.列车转弯时受到重力、支持力和向心力的作用D.若增大α角，可提高列车安全过转弯处的速度

2.【离心运动问题】在玻璃管中放一个乒乓球后注满水，然后用软木塞封住管口，将此玻璃管固定在转盘上，管口置于转盘转轴处，玻璃管处于静止状态。当转盘在水平面内转动时，如图所示，则乒乓球会（球直径比管直径略小）（

）A.向管底运动B.

向管口运动C.保持不动D.

无法判断解析：

转盘在水平面内转动时，玻璃管壁的摩擦力不足以提供

水做圆周运动时所需要的向心力，所以水被“甩”到外侧管底才能

随转盘转动，则乒乓球在水的作用下向管口运动，故B正确。3.【圆锥摆运动】四个完全相同的小球A、B、C、D均在水平面内做圆锥摆运动。如

图甲所示，其中小球A、B在同一水平面内做圆锥摆运动（连接B球

的绳较长）；如图乙所示，小球C、D在不同水平面内做圆锥摆运

动，但是连接C、D的绳与竖直方向之间的夹角相同（连接D球的绳

较长）。下列说法错误的是（

）A.小球A、B角速度相等B.小球A、B线速度大小相同C.小球C、D向心加速度大小相同D.小球D受到绳的拉力与小球C受到绳的拉力大小相等

03聚焦“素养”·提能力巧学妙解应用考点一

圆周运动的运动学问题1.（多选）我国北方有一种玩具陀螺，用鞭子抽打会使它的转速加

快。有些陀螺是空心的，其表面带有一条狭长的缝隙，转起来后会

嗡嗡作响。如图所示，a、b、c是旋转陀螺上的三个点，到陀螺轴

线的距离ra＝rb＞rc，下列判断正确的是（

）A.a、b两点的线速度相同，向心加速度也相同B.a、b、c三点的转速大小关系为na＝nb＞ncC.a、b、c三点的向心加速度大小关系为ana＝anb＞ancD.a、b、c三点的线速度大小关系为va＝vb＞vc1234567891011解析：

a、b两点线速度、向心加速度大小相同，方向不

同，A错误；a、b、c三点转速相等，B错误；同轴转动时角速

度相同，根据an＝ω2r，a、b、c三点向心加速度大小关系为ana

＝anb＞anc，C正确；根据

v＝ωr，a、b、c三点线速度大小关系

为va＝vb＞vc，D正确。12345678910112.如图所示的旋转脱水拖把，拖把杆内有一段长度为35cm的螺杆通

过拖把杆下段与拖把头接在一起，螺杆的螺距（相邻螺纹之间的距

离）d＝5cm，拖把头的半径为10cm，拖把杆上段相对螺杆向下运

动时拖把头就会旋转，把拖把头上的水甩出去。某次脱水时，拖把

杆上段1s内匀速下压了35cm，该过程中拖把头匀速转动，下列说

法正确的是（

）A.拖把头边缘的线速度为1.4πm/sB.拖把杆向下运动的速度为0.1πm/sC.拖把头转动的角速度为7πrad/sD.拖把头的转速为1r/s1234567891011

12345678910113.剪纸艺术源远流长，经久不衰，是中国民间艺术中的瑰宝。将如图所示具有对称性的剪纸平放并固定在水平圆盘上，剪纸中心与圆盘中心重合，圆盘匀速转动，在暗室中用每秒闪光10次的频闪光源照

射圆盘，暗室中静止不动的观察者观察到剪纸相对静止，则圆盘的

转速至少为（

）A.0.02r/sB.2r/sC.4r/sD.4πr/s1234567891011

1234567891011

考点二

圆周运动的动力学问题4.（2023·北京高考10题）

在太空实验室中可以利用匀速圆周运动测量小球质量。如图所示，不可伸长的轻绳一端固定于O点，另一端系一待测小球，使其绕O点做匀速圆周运动，用力传感器测得绳上的拉力为F，用停表测得小球转过n圈所用的时间为t，用刻度尺测得O点到球心的距离为圆周运动的半径R。下列说法正确的是（

）A.圆周运动轨道可处于任意平面内C.若误将n－1圈记作n圈，则所得质量偏大D.若测R时未计入小球半径，则所得质量偏小1234567891011

12345678910115.图甲是市区中心的环岛路，A、B两车正在绕环岛做速度大小相等的

匀速圆周运动，如图乙所示。下列说法正确的是（

）A.A、B两车的向心加速度大小相等B.A车的角速度比B车的角速度大C.A、B两车所受的合力大小一定相等D.A车所受的合力大小一定比B车的大1234567891011

12345678910116.应用物理知识分析生活中的常见现象，可以使物理学习更加有趣和

深入。例如你用手掌平托一苹果，保持这样的姿势在竖直平面内按

顺时针方向做匀速圆周运动。在苹果从最低点a到最左侧点b运动的

过程，下列说法中正确的是（

）A.手掌对苹果的摩擦力越来越大B.苹果先处于超重状态后处于失重状态C.手掌对苹果的支持力越来越大D.苹果所受的合外力越来越大1234567891011解析：

苹果从最低点a到最左侧点b运动的过程中，加速度大小

不变，加速度在水平方向上的分加速度逐渐增大，由牛顿第二定律

可知，手掌对苹果的摩擦力越来越大，A正确；苹果做匀速圆周运

动，从a到b的运动中，加速度在竖直方向上有向上的分加速度，可

知该过程苹果处于超重状态，B错误；苹果做匀速圆周运动，从a到

b的运动中，加速度大小不变，加速度在竖直方向上的分加速度逐

渐减小，可知手掌对苹果的支持力越来越小，C错误；苹果做匀速

圆周运动，加速度大小不变，则苹果所受的合外力大小不变，方向

始终指向圆心，D错误。12345678910117.如图所示，质量相等的甲、乙两个小球，在光滑玻璃漏斗内壁做水

平面内的匀速圆周运动，甲在乙的上方，则（

）A.球甲的角速度一定大于球乙