中央财经大学微积分课件Ch

中央财经大学微积分课件本课件旨在为中央财经大学学生提供微积分学习资料。内容涵盖函数、极限、导数、微分、不定积分、定积分等核心概念，并结合实际案例进行讲解。ppbypptppt第一章函数与极限本节介绍了微积分中的基本概念——函数和极限。函数是描述两个量之间对应关系的数学工具，极限是描述函数当自变量无限接近某个值时，函数值无限接近某个值的趋势。1.1函数的概念函数是描述两个量之间对应关系的数学工具。它将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素，每个元素都对应一个唯一的输出值。1定义域自变量取值的范围2值域因变量取值的范围3对应关系自变量与因变量之间的关系函数的定义域和值域可以是实数、复数、向量等。函数的对应关系可以用公式、表格、图像等方式来表示。1.2函数的基本性质1单调性函数的单调性描述的是函数值随自变量的变化趋势。单调递增的函数表示自变量增大时，函数值也随之增大；单调递减的函数表示自变量增大时，函数值随之减小。2奇偶性函数的奇偶性是指函数图像关于原点对称或关于y轴对称的性质。奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。3周期性周期性函数是指其图像在一定区间内重复出现相同形状的函数。周期函数的周期是指图像重复出现的最小区间长度。1.3函数的图像函数的图像可以直观地展示函数的性质，如单调性、奇偶性、周期性等。函数图像可以帮助我们理解函数的变化规律，并预测函数在特定自变量下的取值。1绘制图像将自变量作为横坐标，因变量作为纵坐标，并在坐标系中描点连线，形成函数图像。2识别图像根据函数图像的形状，可以判断函数的单调性、奇偶性、周期性等性质。3分析图像通过分析函数图像，可以找到函数的极值点、拐点等重要特征。1.4反函数与复合函数反函数反函数是指将原函数的输入和输出互换得到的函数。若原函数为f(x)，则其反函数记为f-1(x)。反函数满足f(f-1(x))=x且f-1(f(x))=x。复合函数复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入得到的函数。若f(x)和g(x)为两个函数，则其复合函数记为f(g(x))或g(f(x))。复合函数的定义域是g(x)的值域与f(x)的定义域的交集。反函数与复合函数的应用反函数和复合函数在数学和实际应用中都有广泛的应用。例如，在求解方程、证明函数性质等方面，反函数和复合函数都起着重要的作用。1.5初等函数初等函数是数学中常见的函数类型，它们是由基本函数通过有限次加、减、乘、除、复合等运算得到的函数。1幂函数形如y=xn的函数，其中n为实数2指数函数形如y=ax的函数，其中a为正实数且a≠13对数函数形如y=logax的函数，其中a为正实数且a≠14三角函数形如y=sinx、y=cosx、y=tanx等的函数初等函数在微积分、物理、工程等领域都有广泛的应用。它们是理解和解决许多问题的基础工具。1.6极限的概念1极限的概念极限是描述函数当自变量无限接近某个值时，函数值无限接近某个值的趋势。它是微积分的核心概念之一，用于研究函数的变化趋势和连续性。2极限的定义函数f(x)当x趋近于a时，若函数值f(x)无限接近于某个常数L，则称L为f(x)当x趋近于a时的极限。3极限的性质极限具有多种性质，例如极限的唯一性、极限的加减乘除运算性质等，这些性质可以帮助我们简化极限的计算。1.7极限的性质唯一性一个函数在某一点的极限，如果存在，则一定是唯一的。加减乘除运算性质两个函数的极限之和、差、积、商等于它们各自极限的和、差、积、商。夹逼定理如果两个函数在某一点的极限相等，且另一个函数的极限值夹在这两个函数之间，则这个函数在该点的极限也等于这个极限值。单调有界定理如果一个函数在某个区间上单调递增或递减，且有界，则该函数在该区间上的极限存在。1.8极限的计算极限的计算是微积分中的重要组成部分，它有助于我们理解函数的变化趋势。极限的计算方法主要包括直接代入法、因式分解法、等价无穷小替换法、洛必达法则等。1直接代入法当函数在某点连续时，可以直接将该点的值代入函数表达式中求解极限。2因式分解法当函数在某点不连续时，可以先将函数表达式进行因式分解，再进行化简求解极限。3等价无穷小替换法当函数在某点趋于零时，可以使用等价无穷小替换法将函数表达式中的无穷小量替换成等价无穷小量，简化计算。4洛必达法则当函数在某点趋于零或无穷大时，可以使用洛必达法则求解极限。第二章导数与微分导数是微积分中的核心概念之一，它描述了函数在某一点的变化率。微分是对函数在某一点附近的变化量的近似表示，它与导数密切相关。2.1导数的概念导数是微积分中的一个核心概念，它反映了函数在某一点处的变化率。1切线的斜率导数代表了函数图像在某一点的切线的斜率。2瞬时变化率导数表示了函数在某一点的瞬时变化速度。3导数的定义导数定义为函数在某一点的变化量与自变量变化量的比值的极限。2.2导数的计算导数公式掌握基本函数的导数公式，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数公式。导数法则熟练运用导数法则，如加减法法则、乘法法则、除法法则、链式法则等，进行导数的计算。特殊函数的导数学习一些特殊函数的导数公式，如反三角函数、隐函数等，并将其应用于具体问题中。2.3导数的性质1单调性导数的正负号决定了函数的单调性。导数大于零，函数单调递增；导数小于零，函数单调递减。2极值函数的极值点是导数为零或不存在的点。导数在极值点附近改变符号，由正变负，函数取得极大值；由负变正，函数取得极小值。3凹凸性函数的凹凸性由二阶导数决定。二阶导数大于零，函数为凹函数；二阶导数小于零，函数为凸函数。2.4高阶导数高阶导数是函数的导数的导数，表示函数变化率的变化率。高阶导数在微积分中扮演着重要的角色，它可以帮助我们更深入地理解函数的性质和变化规律。1二阶导数函数的二阶导数表示函数的凹凸性。2三阶导数函数的三阶导数表示函数的拐点。3四阶及更高阶导数高阶导数可以用于研究函数的更复杂性质。例如，二阶导数大于零表示函数是凹函数，二阶导数小于零表示函数是凸函数。三阶导数可以帮助我们判断函数的拐点，也就是函数凹凸性发生改变的点。2.5微分的概念1微分的定义微分是函数在某一点附近的变化量的近似表示，它反映了函数在该点的局部变化趋势。2微分与导数的关系微分与导数密切相关，函数的微分等于导数乘以自变量的增量。3微分的应用微分广泛应用于函数的线性逼近、误差估计、曲线长度的计算等方面。2.6微分的应用微分在数学和物理等领域有着广泛的应用。它可以帮助我们解决许多实际问题。1线性逼近微分可以用来近似地表示函数在某一点附近的变化。2误差估计利用微分，我们可以估计函数值的误差范围。3曲线长度计算微分可以用来计算曲线的长度。4物理学中的应用微分在物理学中也有着广泛的应用，例如计算物体运动的速度和加速度。第三章导数的应用导数是微积分中的核心概念，它在数学和物理等领域有着广泛的应用。它可以帮助我们解决许多实际问题。导数的应用主要体现在对函数的性质和变化规律的研究方面。通过导数，我们可以分析函数的单调性、极值、凹凸性等。3.1导数与函数的单调性导数是函数变化率的度量，它与函数的单调性密切相关。导数的正负号决定了函数的单调性。1导数为正函数单调递增2导数为负函数单调递减3导数为零函数可能存在极值点如果导数在某区间内始终为正，则函数在该区间内单调递增；如果导数在某区间内始终为负，则函数在该区间内单调递减。3.2导数与函数的极值极值点函数的极值点是导数为零或不存在的点。极值判定导数在极值点附近改变符号，由正变负，函数取得极大值；由负变正，函数取得极小值。二阶导数判别法如果函数的二阶导数在极值点处大于零，则该点为极小值点；如果二阶导数小于零，则该点为极大值点。3.3导数与函数的图像导数可以帮助我们更准确地描绘函数的图像。通过分析导数的正负号，我们能够确定函数的单调性，并找到函数的极值点。1单调性导数为正，函数单调递增；导数为负，函数单调递减。2极值导数为零的点可能是函数的极值点。3凹凸性二阶导数可以判断函数的凹凸性。4拐点二阶导数为零的点可能是函数的拐点。利用导数的这些性质，我们能够更全面地了解函数的图像，并绘制出更加准确的曲线。3.4导数与曲线的几何性质导数在曲线几何中扮演着重要角色。利用导数，我们可以分析曲线在某点的切线方向、曲率、凹凸性等几何性质。这些性质可以帮助我们更深入地理解曲线的形状和特征。1切线曲线在某点的切线方向由导数决定。导数值表示切线的斜率。2曲率曲线的曲率表示曲线弯曲程度，由二阶导数决定。3凹凸性曲线在某点的凹凸性由二阶导数决定。二阶导数大于零，曲线为凹函数；二阶导数小于零，曲线为凸函数。这些几何性质在实际应用中有着广泛的应用，例如在工程设计、物理建模等领域。第四章不定积分不定积分是微积分的重要组成部分，是微分的逆运算。不定积分与微分之间有着密切的联系，是理解微积分的核心内容。不定积分在数学和物理等领域有着广泛的应用，例如求解函数的面积、体积、曲线的长度等问题。4.1不定积分的概念1原函数不定积分是指所有导数等于给定函数的函数集合，这些函数称为原函数。2积分符号不定积分用积分符号表示，积分符号∫表示对被积函数进行积分运算。3积分常数由于导数的常数项为零，因此不定积分的结果会包含一个任意常数，称为积分常数。4.2基本积分公式常数积分对于常数函数，其不定积分等于该常数乘以自变量加上一个积分常数。幂函数积分对于幂函数，其不定积分等于自变量的n+1次方除以n+1，加上一个积分常数。指数函数积分对于指数函数，其不定积分等于指数函数本身除以其底数的自然对数，加上一个积分常数。三角函数积分对于三角函数，其不定积分可以通过三角函数的导数公式反推得到。其他常用积分公式除了以上几种基本积分公式外，还有其他一些常用积分公式，例如反三角函数积分、对数函数积分等。4.3换元积分法1换元法原理将原积分中的变量替换成另一个变量，并将被积函数和积分限转化，使积分更容易计算。2常用换元类型常用的换元类型包括直接换元、三角换元和分部积分法结合换元。3积分步骤1.选择合适的换元；2.计算新的积分；3.将积分结果代回原变量。4.4分部积分法分部积分法是一种重要的积分技巧，用于计算两个函数的乘积的积分。该方法基于微积分中的乘积法则，将一个函数的积分转化为另一个函数的导数的积分。1公式∫udv=uv-∫vdu2选择u和dv选择合适的u和dv，使∫vdu更容易计算。3计算∫vdu计算∫vdu，通常需要使用其他积分技巧。4代入公式