2020-2021学年新教材高中数学导数及其应用6.1导数6.1.1函数的平均变化率课件

第六章导数及其应用导数函数的平均变化率主题变化率问题1.写出气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的关系式.然后将球半径r表示为球体积V的函数.提示:体积V与半径r之间的关系式为V(r)=πr3.将半径r表示为体积V的函数为r(V)=基础预习初探2.当V从0增加到1L时,气球半径增加了多少?此时气球的平均膨胀率是多少?当V从1L增加到2L呢?提示:当V从0增加到1L时,气球半径增加了r(1)-r(0)≈0.62(dm).气球的平均膨胀率为≈0.62(dm/L).当V从1L增加到2L时,气球半径增加了r(2)-r(1)≈0.16(dm).气球的平均膨胀率为≈0.16(dm/L).3.若跳水运动员运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系:h(t2+6.5t+10,则运动员在这段时间里的平均速度是多少?运动员在1≤t≤2这段时间里的平均速度是多少?提示:在这段时间里的平均速度是

在1≤t≤2这段时间里的平均速度是=-8.2(m/s).结论:若函数y=f(x)的定义域为D,且x1,x2∈D,x1≠x2,y1=f(x1),y2=f(x2),则(1)自变量的改变量为Δx=____;(2)因变量的改变量为Δy=_____(或Δf=f(x2)-f(x1));(3)以x1,x2为端点的闭区间上的平均变化率为x2-x1y2-y1【对点练】1.当自变量从x0变到x1时,函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数 (

)A.在[x0,x1]上的平均变化率B.在x0处的变化率C.在x1处的变化率D.以上都不对【解析】选A.由平均变化率的定义知当自变量从x0变到x1时,函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数在[x0,x1]上的平均变化率.2.质点运动规律s=t2+3,则在时间[3,3+Δt]中,相应的平均速度等于 (

)A.6+Δt B.6+Δt+C.3+Δt D.9+Δt【解析】选A.【补偿训练】婴儿从出生到第24个月的体重变化如图,则第二年婴儿体重的月平均变化率是________.

【解析】由题图可知,第二年婴儿体重的月平均变化率为=0.25(千克/月).答案:千克/月核心互动探究探究点一求函数的平均变化率【典例1】求函数y=f(x)=3x2+2在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率,并求当x0时平均变化率的值.【思维导引】利用平均变化率的定义求解.【解析】函数y=f(x)=3x2+2在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为=6x0+3Δx.当x0时,函数y=3x2+2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2+3×0.1=12.3.【延伸探究】在本例中,分别求函数在x0=1,2,3附近Δx取时的平均变化率k1,k2,k3,并比较其大小.【解析】由例题可知,函数在[x0,x0+Δx]上的平均变化率为6x0+3Δx.当x0=1,Δx=时,函数在[1,1.5]上的平均变化率为k1=6×1+3×0.5=7.5;当x0=2,Δx=时,函数在[2,2.5]上的平均变化率为k2=6×2+3×0.5=13.5;当x0=3,Δx=时,函数在[3,3.5]上的平均变化率为k3=6×3+3×0.5=19.5.所以k1<k2<k3.【类题通法】求平均变化率可根据定义代入公式直接求解,解题的关键是弄清自变量的增量Δx与函数值的增量Δy,主要步骤是:(1)先计算函数值的改变量Δy=f(x1)-f(x0);(2)再计算自变量的改变量Δx=x1-x0;(3)得平均变化率【定向训练】若函数y=f(x)=x2-1,图像上点P(2,3)及其邻近一点Q(2+Δx,3+Δy),则

= (

)A.4 B.4Δx C.4+Δx 【解析】选C.因为Δy=(2+Δx)2-1-(22-1)=4Δx+(Δx)2,所以=4+Δx.探究点二平均变化率的比较【典例2】已知函数f(x)=3-x2,计算当x0=1,2,3,Δx=时,平均变化率的值,并比较函数f(x)=3-x2在哪一点附近的平均变化率最大?【思维导引】先利用平均变化率的定义分别求解,然后比较大小.【解析】函数f(x)=3-x2在x0到x0+Δx之间的平均变化率为当x0=1,Δx=时,平均变化率的值为-;当x0=2,Δx=时,平均变化率的值为-;当x0=3,Δx=时,平均变化率的值为-,因为所以函数f(x)=3-x2在x0=1附近的平均变化率最大.【类题通法】平均变化率比较大小问题:(1)计算函数值的改变量Δy;(2)计算平均变化率(3)比较各平均变化率的大小.【定向训练】函数y=-x2,y=,y=2x+1,y=在x=1附近(Δx很小时),平均变化率最大的一个是 (

)=-x2

==2x+1

=

【解析】选=-x2在x=1附近的平均变化率为k1=-(2+Δx);y=在x=1附近的平均变化率为k2=;y=2x+1在x=1附近的平均变化率为k3=2;y=在x=1附近的平均变化率为k4=;当Δx很小时,k1<0,k2<0,0<k4<1,所以最大的是k3.探究点三平均变化率的几何意义【典例3】已知函数f(x)=x2-1图像上两点A(2,3),B(2+Δx,3+Δy),当Δx=-1时,求割线AB的斜率.【解析】因为Δx=-1,2+Δx=1,所以Δy==-3,kAB==3.所以割线AB的斜率为3.【类题通法】求割线斜率问题:(1)计算函数值的改变量Δy;(2)计算平均变化率(3)平均变化率即为割线的斜率.【定向训练】过曲线f(x)=x3上两点P(2,8)和Q(2+Δx,8+Δy)作曲线的割线,求出当Δx时,割线的斜率.【解析】因为Δy=f(2+Δx)-f(2)=(2+Δx)3-8=(Δx)3+6(Δx)2+12Δx,所以割线PQ的斜率k==Δx2+6Δx+12.设Δx时割线的斜率为k1,则k12.【课堂小结】

课堂素养达标1.在平均变化率的定义中,自变量x在x0处的增量Δx应满足 (

)>0 <0 =0 D.Δx≠0【解析】选D.在平均变化率的定义中,自变量x在x0处的增量Δx要求Δx≠0.2.函数y=f(x),当自变量x由x0改变到x0+Δx时,Δy= (

)A.f(x0+Δx) B.f(x0)+ΔxC.f(x0)·Δx D.f(x0+Δx)-f(x0)【解析】选看作相对于f(x0)的“增量”,可用f(x0+Δx)-f(x0)代替.3.函数y=在x=1附近,当Δx=时,平均变化率为______.

【解析】

答案:-24.已知某质点按规律s=2t2+2t(