理论力学重庆大学出版社

1第五章摩擦静力学第五章摩擦

前几章我们把接触表面都看成是绝对光滑的，忽略了物体之间的摩擦，事实上完全光滑的表面是不存在的，一般情况下都存在有摩擦。当物体的接触表面确实比较光滑，或有良好的润滑条件，以致摩擦力与物体所受其它力相比的确很小时，可以忽略。然而，在很多日常生活和工程实际问题中，摩擦成为主要因素，摩擦力不仅不能忽略，而且还应作为重点来研究。

由于摩擦是一种十分复杂的物理现象，涉及面广，本章只限于讨论工程中常用的近似理论，主要介绍滑动摩擦和滚动摩阻定律，重点研究有摩擦存在时物体的平衡问题。2(a)(b)静力学第五章摩擦定义：两个相接触物体，当其接触处产生相对滑动或相对滑动趋势时，其接触处产生的阻碍物体相对滑动的力叫滑动摩擦力。

§5-1

滑动摩擦1.静滑动摩擦力及最大静滑动摩擦力

如图(a)所示，在粗糙的水平面上放置一重为P的物体，当水平方向无拉力时，显然有P=FN。现在该物体上作用一大小可变化的水平拉力F，如图(b)所示，当拉力F由零逐渐增加但又不很大时，物体仍能维持平衡。3(a)(b)由此可见，支承面对物体的约束力除了法向约束力FN外还有一个阻碍物体沿水平面向右滑动的切向约束力Fs，此力即静滑动摩擦力，简称静摩擦力。显然有Fs=F，因此静摩擦力也是约束力，随着F的增大而增大。然而，它并不能随F的增大而无限地增大。而有一个最大值Fmax，称为最大静摩擦力，此时物体处于平衡的临界状态。当主动力F大于Fmax时，物体将失去平衡而滑动。即静力学第五章摩擦4静力学第五章摩擦实验表明上式称为库仑摩擦定律，是计算最大静摩擦力的近似公式。式中fs称为静摩擦因数，它是一个无量纲的量。一般由实验来确定。2.动滑动摩擦力

当接触处出现相对滑动时，接触物体之间仍有阻碍相对滑动的阻力，这种阻力称为动滑动摩擦力，简称动摩擦力，以Fd

表示，大小可用下式计算。式中fd是动摩擦因数，通常情况下，5静力学第五章摩擦6静力学第五章摩擦§5-2摩擦角和自锁现象1.摩擦角

当有摩擦时，支承面对物体的约束力有法向约束力FN和切向约束力Fs，这两个力的合力称为全约束力FR。它的作用线与接触处的公法线成一偏角j,如图所示，当静摩擦力达最大时，j

也达到最大值jf,称jf为摩擦角。7静力学第五章摩擦2.自锁现象

由于全约束力的作用线与接触处公法线的夹角j不能大于摩擦角，即变化范围为0

j

jf，因此可得：

如果作用于物体的全部主动力的合力的作用线与公法线的夹角q<jf，则无论这个力多么大，物体必保持静止，这种现象称为自锁现象。

利用摩擦角的概念，可用简单的试验方法测定摩擦因数。

反之如果q>jf，则无论这个力多么小，物体必不能保持平衡。8静力学第五章摩擦摩擦角就是物块处于临界状态时斜面的倾角q,即下面的螺旋千斤顶就利用了自锁的概念。9静力学第五章摩擦§5-3考虑摩擦时物体的平衡问题

考虑有摩擦的平衡问题时，其解法与前几章基本一样。但需指出的是，在受力分析和列平衡方程时要将摩擦力考虑在内，因而除平衡方程外，还需增加补充方程0

Fs

fsFN，因此有摩擦的平衡问题的解通常是一个范围。为了避免解不等式，往往先考虑临界状态（Fs

=fsFN），求得结果后再讨论解的平衡范围。应该强调的是摩擦力的方向在临界状态下不能假设，要根据物体相对运动趋势来判断，只有摩擦力是待求未知数时，可以假设其方向。

求解时，根据具体的问题采用解析法或几何法求解，下面举例说明10

取物块A为研究对象，受力分析如图。列平衡方程。解:例题5-1静力学第五章摩擦qAF联立求解得最大静摩擦力所以作用在物体上的摩擦力为因为

小物体A重P=10N，放在粗糙的水平固定面上，它与固定面之间的静摩擦因数fs=0.3。今在小物体A上施加F=4N的力，q

=30°，试求作用在物体上的摩擦力。yAxqPFFNFs11(a)

构件A及B用楔块C联结，如图(a)所示，楔块自重不计，。已知楔块与构件间的摩擦系数fs=0.1,求能自锁的倾斜角q。解：(1)解析法研究楔块C，受力如图(b)，考虑临界平衡例题5-2静力学第五章摩擦

再考虑补充方程联立解之得(b)12(c)静力学第五章摩擦(2)几何法

仍考虑临界平衡状态,在此情况下,楔块C

两端所受的全约束力必大小相等,方向相反且作用线在一条直线上;与作用点处的法线的夹角均等于摩擦角jf如图(c)所示。由几何关系不难得以上是考虑临界状态所得结果，稍作分析即可得例题5-213静力学第五章摩擦例题5-3FAFNBFBFNAABCFxxyhOFBhdBAFx平衡方程为取支架为研究对象,受力分析如图。（1）解析法解:一活动支架套在固定圆柱的外表面，且h=20cm。假设支架和圆柱之间的静摩擦因数fs=0.25。问作用于支架的主动力F

的作用线距圆柱中心线至少多远才能使支架不致下滑（支架自重不计）。14联立求解得补充方程静力学第五章摩擦例题5-3解得（2）几何法

由以上二个例子可以看出，当有摩擦处的约束力以全约束力形式给出，如能利用二力平衡条件和三力平衡汇交定理且几何关系又较简单，用几何法往往较方便。支架受力分析如图所示。由几何关系得15hCabFP

宽a，高b的矩形柜放置在水平面上，柜重P，重心C在其几何中心，柜与地面间的静摩擦因数是fs，在柜的侧面施加水平向右的力F，求柜发生运动时所需推力F

的最小值。静力学第五章摩擦例题5-416yABCxFPFBFAFNBFNA1.假设不翻倒但即将滑动，考虑临界平衡。解:取矩形柜为研究对象,受力分析如图。联立求解得柜子开始滑动所需的最小推力补充方程列平衡方程静力学第五章摩擦例题5-4172.假设矩形柜不滑动但将绕B

翻倒。柜绕B

翻倒条件：

FNA=0使柜翻倒的最小推力为列平衡方程ABCxFPFBFAFNBFNA解得静力学第五章摩擦例题5-4综上所述使柜发生运动所需的最小推力为18

长为l的梯子AB一端靠在墙壁上，另一端搁在地板上，如图所示。假设梯子与墙壁的接触是完全光滑的，梯子与地板之间有摩擦，其静摩擦因数为fs。梯子的重量略去不计。今有一重为P的人沿梯子向上爬，如果保证人爬到顶端而梯子不致下滑，求梯子与墙壁的夹角q。qlaABP静力学第五章摩擦例题5-519

以梯子AB为研究对象，人的位置用距离a表示，梯子的受力如图。解：使梯子保持静止，必须满足下列平衡方程：yqlaABxFsFNAPFNB同时满足物理条件静力学第五章摩擦例题5-5联立解之得因

0≤a≤l，

当a=l时，上式左边达到最大值。所以或即为所求20

重为P=100N的匀质滚轮夹在无重杆AB和水平面之间，在杆端B作用一垂直于AB的力FB，其大小为FB=50N。A为光滑铰链，轮与杆间的摩擦因数为fs1=0.4。轮半径为r，杆长为l，当q=60°时，AC=CB=0.5l，如图所示。如要维持系统平衡，（1）若D处静摩擦因数fs2=0.3，求此时作用于轮心O处水平推力F的最小值;（2）若fs2=0.15,此时F

的最小值又为多少？ABCDOrqPFFB静力学第五章摩擦例题5-621解：

此题在C，D两处都有摩擦，两个摩擦力之中只要有一个达到最大值，系统即处于临界状态。假设C处的摩擦先达到最大值，轮有水平向右滚动的趋势。静力学第五章摩擦例题5-6ABCFAxFAyFCFNCFBq1.以杆AB为研究对象，受力分析如图。解得列平衡方程补充方程22静力学第五章摩擦例题5-62.以轮为研究对象，列平衡方程。DOCFNDFDPFq当fs2=0.3时，D处最大摩擦力为

由于故D处无滑动所以维持系统平衡的最小水平推力为F=26.6N。代入上面各式解得F=26.6N，FND=184.6N将23解方程得最小水平推力为受力图不变，补充方程应改为此时C处最大摩擦力为因此当fs2=0.15时，维持系统平衡的最小水平推力改为所以C处无滑动。由于

说明前面假定不成立，D处应先达到临界状态。3.当

fs2=0.15时,静力学第五章摩擦例题5-624静力学第五章摩擦

由实践可知，使滚子滚动比使它滑动省力，如果仍用下图的力学模型来分析就存在问题。即无论水平力F

多么小，此物体均不能平衡，因对点A的矩的平衡方程不满足，即§5-4滚动摩阻的概念

出现这种现象的原因是，实际接触面并不是刚体，它们在力的作用下都会发生一些变形，有一个接触面，如图所示。这是与实际情况不符的，说明此力学模型有缺陷，需要修正。25此力系向A点简化

与静滑动摩擦力相似，滚动摩阻力偶矩Mf随主动力F的增大而增大；但有一个最大值Mmax,即或静力学第五章摩擦且最大滑动摩阻力偶矩上式即是滚动摩阻定律，d称为滚动摩阻系数，具有长度的量纲

，单位一般用mm。与滚子和支承面的材料的硬度和湿度等有关。与滚子的半径无关。26静力学第五章摩擦滚动摩阻动画27静力学第五章摩擦滚阻系数的物理意义如下由力的平移定理与比较得

一般情况下，相对滑动摩擦而言，由于滚阻阻力偶矩很小，所以在工程中大多数情况下滚阻力偶矩忽略不计。28取轮子为研究对象,受力分析如图。由平衡方程解:静力学第五章摩擦例题5-7匀质轮子的重量P=3kN，半径r=0.3m；今在轮中心施加平行于斜面的拉力FH，使轮子沿与水平面成q=30°的斜面匀速向上作纯滚动。已知轮子与斜面的滚阻系数δ=0.05cm，试求力FH的大小。联立求解补充方程qFHArOqFHAOqMmaxPFsFNyx29

如图所示，总重为P的拖车在牵引力F作用下要爬上倾角为θ

的斜坡。设车轮半径为r，轮胎与路面的滚动摩阻系数为δ，其它尺寸如图所示。求拖车所需的牵引力。静力学第五章摩擦例题5-8aCxybθh2h1FθPAO30

拖车的两对轮子都是从动轮，因此滑动摩擦力的方向都朝后。设拖车处于开始向上滚动的临界状态，因此前后轮的滚