2024秋八年级数学上册 第十五章 分式15.3 分式方程 2解分式方程教案（新版）新人教版

2024秋八年级数学上册第十五章分式15.3分式方程2解分式方程教案（新版）新人教版授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间教学内容2024秋八年级数学上册第十五章分式15.3分式方程2解分式方程教案（新版）新人教版

1.理解分式方程的定义及特点；

2.掌握解分式方程的基本步骤及方法；

-去分母：通过交叉相乘等方法将分式方程转化为整式方程；

-求解整式方程：运用一元一次方程、一元二次方程等解法求解转化后的整式方程；

-检验：将求得的解代入原分式方程进行检验，确保解的正确性；

3.学会解决实际问题中的分式方程问题；

4.分析并讨论分式方程解的存在性和唯一性。核心素养目标分析本节课围绕分式方程的教学，旨在培养学生的以下核心素养：

1.数学抽象：通过引入分式方程的概念，使学生能够从具体问题中抽象出数学模型，理解数学问题的本质，提高数学抽象能力。

2.逻辑推理：在解分式方程的过程中，学生需要运用逻辑推理，分析问题，逐步转化方程形式，培养学生严谨的逻辑思维。

3.数学建模：学会将现实生活中的问题转化为分式方程模型，培养学生的数学建模能力，提高解决实际问题的能力。

4.数学运算：在解分式方程的过程中，强化学生的数学运算能力，特别是整式运算、分式运算等基本运算技能。

5.数据分析：通过分析分式方程解的存在性和唯一性，培养学生对数据的分析、判断和评价能力。

6.问题解决：培养学生面对复杂问题时，能够运用所学知识进行问题分解、策略选择和求解的能力，提高问题解决的综合素养。教学难点与重点1.教学重点

-分式方程的定义及其与整式方程的区别：强调分式方程中分母不为零的特性，理解分式方程的数学表达形式。

-解分式方程的基本步骤：去分母、求解整式方程、检验解的正确性，这是解分式方程的核心流程。

-分式方程在实际问题中的应用：通过具体例题，让学生掌握将实际问题转化为分式方程模型的方法。

-分式方程解的存在性和唯一性：讨论何时分式方程有解、何时无解，以及解的唯一性条件。

举例解释：

-重点讲解如何通过交叉相乘等方法去分母，例如方程$\frac{x+3}{2}=3x-4$的去分母过程。

-在求解整式方程时，强调对一元一次方程或一元二次方程解法的熟练运用，如解$3x-4=2x+6$。

-通过实际例题，如“甲、乙两人合作完成一项工作，甲单独做需5天，乙单独做需10天，两人合作几天可以完成？”将问题转化为分式方程$\frac{1}{5}+\frac{1}{10}=\frac{1}{x}$。

2.教学难点

-去分母时的运算技巧：学生在去分母时可能会出现运算错误，如漏乘或错乘项。

-整式方程求解时的策略选择：面对不同的整式方程，学生需要选择合适的解法，这对部分学生来说是一个难点。

-分式方程解的检验：学生容易忽视解的检验，或不清楚如何检验分式方程的解是否正确。

-理解分式方程解的存在性和唯一性：这部分概念较为抽象，学生可能难以理解何时方程无解或解不唯一。

举例解释：

-难点在于引导学生正确处理去分母的过程，例如对于方程$\frac{2}{x-1}=\frac{3}{x+2}$，应如何正确交叉相乘，避免漏乘或错乘项。

-在求解整式方程时，对于方程$3x^2-4x-4=0$，需要判断何时使用因式分解，何时使用求根公式。

-在检验解时，解释为何要将解代入原方程，如对于方程$\frac{x+3}{x-1}=2$，将解$x=3$代入原方程进行检验。

-对于存在性和唯一性的理解，通过对比不同类型的方程，如$\frac{1}{x}=2$和$\frac{x+3}{x^2-1}=2$，讨论它们的解的情况。教学方法与策略1.选择适合教学目标和学习者特点的教学方法

-讲授法：通过系统讲解分式方程的定义、解法步骤及解的存在性与唯一性，为学生提供清晰的知识框架。

-案例研究：结合实际生活中的问题，设计分式方程案例，引导学生探讨、分析，提高学生解决实际问题的能力。

-小组讨论：针对分式方程的难点问题，组织学生进行小组讨论，促进学生之间的互动与思考。

-项目导向学习：设计有关分式方程的探究项目，让学生自主探究、合作学习，培养学生的自主学习能力。

2.设计具体的教学活动

-角色扮演：让学生扮演数学家、工程师等角色，运用分式方程解决实际问题，提高学生的参与度和兴趣。

-数学游戏：设计分式方程相关的数学游戏，如解方程接力、方程猜谜等，激发学生的学习热情。

-实验活动：通过实际操作，让学生体验分式方程在生活中的应用，如测量液体浓度、计算速度等。

-解题竞赛：组织分式方程解题竞赛，鼓励学生积极参与，提高解题速度和准确性。

3.确定教学媒体和资源的使用

-PPT：制作包含分式方程定义、解法步骤、案例及难点解析的PPT，方便学生理解和记忆。

-视频：播放与分式方程相关的教学视频，如解分式方程的实际应用场景、解题技巧等，丰富教学形式。

-在线工具：利用在线数学工具，如数学公式编辑器、图形计算器等，帮助学生更直观地理解分式方程。

-网络资源：推荐学生查阅与分式方程相关的网络资源，如学术文章、教学博客等，拓展知识视野。教学流程（一）课前准备（预计用时：5分钟）

学生预习：

发放预习材料，引导学生提前了解分式方程的学习内容，标记出有疑问或不懂的地方。设计预习问题，如“分式方程与整式方程有什么不同？”激发学生思考，为课堂学习分式方程内容做好准备。

教师备课：

深入研究教材，明确分式方程教学目标和重难点。准备教学用具和多媒体资源，确保教学过程的顺利进行。设计课堂互动环节，如小组讨论、实验活动等，提高学生学习分式方程的积极性。

（二）课堂导入（预计用时：3分钟）

激发兴趣：

回顾旧知：

简要回顾上节课学习的分式的概念和性质，帮助学生建立知识之间的联系。提出问题，检查学生对分式的掌握情况，为学习新课打下基础。

（三）新课呈现（预计用时：25分钟）

知识讲解：

清晰、准确地讲解分式方程的定义、解法步骤，结合实例帮助学生理解。突出重点，强调难点，如去分母的方法、解整式方程的技巧等，通过对比、归纳等方法帮助学生加深记忆。

互动探究：

设计小组讨论环节，让学生围绕“如何解分式方程”的问题展开讨论，培养学生的合作精神和沟通能力。鼓励学生提出自己的观点和疑问，引导学生深入思考，拓展思维。

技能训练：

总结归纳：

在新课呈现结束后，对分式方程的知识点进行梳理和总结。强调重点和难点，帮助学生形成完整的知识体系。

（四）巩固练习（预计用时：5分钟）

随堂练习：

设计随堂练习题，让学生在课堂上完成，检查学生对分式方程知识的掌握情况。鼓励学生相互讨论、互相帮助，共同解决问题。

错题订正：

针对学生在随堂练习中出现的错误，进行及时订正和讲解。引导学生分析错误原因，避免类似错误再次发生。

（五）拓展延伸（预计用时：3分钟）

知识拓展：

介绍与分式方程相关的拓展知识，如分式方程在工程、物理等领域的应用，拓宽学生的知识视野。引导学生关注学科前沿动态，培养学生的创新意识和探索精神。

情感升华：

结合分式方程内容，引导学生思考数学与生活的联系，培养学生的社会责任感。鼓励学生分享学习心得和体会，增进师生之间的情感交流。

（六）课堂小结（预计用时：2分钟）

简要回顾本节课学习的分式方程内容，强调重点和难点。肯定学生的表现，鼓励他们继续努力。

布置作业：

根据本节课学习的分式方程内容，布置适量的课后作业，巩固学习效果。提醒学生注意作业要求和时间安排，确保作业质量。知识点梳理1.分式方程的定义及基本形式

-分式方程：含有分母的方程，分母不为零。

-基本形式：$\frac{A(x)}{B(x)}=\frac{C(x)}{D(x)}$，其中$B(x)$和$D(x)$不为零。

2.解分式方程的基本步骤

-去分母：通过交叉相乘等方法，将分式方程转化为整式方程。

-求解整式方程：运用一元一次方程、一元二次方程等解法求解转化后的整式方程。

-检验解：将求得的解代入原分式方程进行检验，确保解的正确性。

3.分式方程的解法

-去分母的方法：交叉相乘、通分等。

-一元一次方程的解法：移项、合并同类项、系数化为1等。

-一元二次方程的解法：因式分解、求根公式等。

4.分式方程解的存在性与唯一性

-解的存在性：分式方程可能无解、有一个解或多个解。

-解的唯一性：在特定条件下，分式方程的解可能是唯一的。

5.分式方程在实际问题中的应用

-路程与速度问题：如速度等式$\frac{S}{v_1}=\frac{S}{v_2}$。

-混合问题：如溶液混合问题中的浓度等式。

-几何问题：如相似三角形中的比例关系。

6.分式方程的常见类型

-简单分式方程：如$\frac{1}{x}=2$。

-复合分式方程：如$\frac{1}{x+1}=\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x}$。

-高次分式方程：如$\frac{x^2+1}{x-1}=\frac{x^2-1}{x+1}$。

7.分式方程的求解策略

-分析方程的结构，选择合适的解法。

-注意分母为零的情况，避免无意义解。

-检验解时，确保代入后分母不为零。

8.分式方程的转化技巧

-通分：将分母不同的分式方程转化为分母相同的方程。

-分子分母同时乘以或除以同一个非零多项式：保持方程的等价性。

9.分式方程的复杂情况处理

-分式方程组：同时求解多个分式方程，可能需要联立方程组。

-无理分式方程：涉及无理数的分式方程，可能需要使用数值方法求解。

10.分式方程的数学建模

-将实际问题转化为分式方程模型。

-确定未知量和已知量，建立方程。典型例题讲解例题1：解分式方程$\frac{2}{x}-\frac{3}{2}=\frac{1}{4}$

解答：去分母，得$8-3x=\frac{x}{2}$，移项合并得$5x=10$，解得$x=2$，检验：将$x=2$代入原方程，两边相等，所以$x=2$是原方程的解。

例题2：解分式方程$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-1}=\frac{1}{x}$

解答：去分母，得$x^2-1+x^2+x=x^2-1$，移项合并得$2x^2+x=0$，因式分解得$x(2x+1)=0$，解得$x=0$或$x=-\frac{1}{2}$，检验：将$x=0$和$x=-\frac{1}{2}$代入原方程，两边相等，所以$x=0$和$x=-\frac{1}{2}$是原方程的解。

例题3：解分式方程$\frac{2}{x-2}=\frac{3}{x+1}$

解答：去分母，得$2x+4=3x-6$，移项合并得$x=10$，检验：将$x=10$代入原方程，两边相等，所以$x=10$是原方程的解。

例题4：解分式方程$\frac{3}{x+2}+\frac{2}{x-2}=\frac{1}{x}$

解答：去分母，得$3x-6+2x+4=x+2$，移项合并得$5x-10=0$，解得$x=2$，检验：将$x=2$代入原方程，两边相等，所以$x=2$是原方程的解。

例题5：解分式方程$\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}=\frac{2}{x}$

解答：去分母，得$x^2-1+x^2+1=2x(x-1)(x+1)$，移项合并得$2x^3-2x=0$，因式分解得$2x(x^2-1)=0$，解得$x=0$或$x=1$或$x=-1$，检验：将$x=0$、$x=1$和$x=-1$代入原方程，两边相等，所以$x=0$、$x=1$和$x=-1$是原方程的解。

例题6：解分式方程$\frac{2}{x^2-1}=\frac{1}{x-1}$

解答：去分母，得$2(x-1)=x+1$，移项合并得$2x-2=x+1$，解得$x=3$，检验：将$x=3$代入原方程，两边相等，所以$x=3$是原方程的解。

例题7：解分式方程$\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x-2}=\frac{2}{x^2-4}$

解答：去分母，得$(x-2)+(x+2)=2$，移项合并得$2x=2$，解得$x=1$，检验：将$x=1$代入原方程，两边相等，所以$x=1$是原方程的解。

例题8：解分式方程$\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x+3}=\frac{2}{x^2-9}$

解答：去分母，得$(x+3)+(x-3)=2$，移项合并得$2x=2$，解得$x=1$，检验：将$x=1$代入原方程，两边相等，所以$x=1$是原方程的解。

例题9：解分式方程$\frac{2}{x-1}=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x^2-1}$

解答：去分母，得$2(x+1)(x^2-1)=(x-1)(x+1)+(x-1)$，移项合并得$2x^3-2x^2-2x+2=x^2-1$，解得$x=1$，检验：将$x=1$代入原方程，两边相等，所以$x=1$是原方程的解。

例题10：解分式方程$\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x-2}=\frac{2}{x^2-4}$

解答：去分母，得$(x-2)+(x+2)=2$，移项合并得$2x=2$，解得$x=1$，检验：将$x=1$代入原方程，两边相等，所以$x=1$是原方程的解。板书设计1.分式方程的定义及基本形式

-分式方程：含有分母的方程，分母不为零。

-基本形式：$\frac{A(x)}{B(x)}=\frac{C(x)}{D(x)}$，其中$B(x)$和$D(x)$不为零。

2.解分式方程的基本步骤

-去分母：通过交叉相乘等方法，将分式方程转化为整式方程。

-求解整式方程：运用一元一次方程、一元二次方程等解法求解转化后的整式方程。

-检验解：将求得的解代入原分式方程进行检验，确保解的正确性。

3.分式方程的解法

-去分母的方法：交叉相乘、通分等。

-一元一次方程的解法：移项、合并同类项、系数化为1等。

-一元二次方程的解法：因式分解、求根公式等。

4.分式方程解的存在性与唯一性

-解的存在性：分式方程可能无解、有一个解或多个解。

-解的唯一性：在特定条件下，分式方程的解可能是唯一的。

5.分式方程在实际问题中的应用

-路程与速度问题：如速度等式$\frac{S}{v_1}=\frac{S}{v_2}$。

-混合问题：如溶液混合问题中的浓度等式。

-几何问题：如相似三角形中的比例关系。

6.分式方程的常见类型

-简单分式方程：如$\frac{1}{x}=2$。

-复合分式方程：如$\frac{1}{x+1}=\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x}$。

-高次分式方程：如$\frac{x^2+1}{x-1}=\frac{x^2-1}{x+1}$。

7.分式方程的求解策略

-分析方程的结构，选择合适的解法。

-注意分母为零的情况，避免无意义解。

-检验解时，确保代入后分母不为零。

8.分式方程的转化技巧

-通分：将分母不同的分式方程转化为分母相同的方程。

-分子分母同时乘以或除以同一个非零多项式：保持方程的等价性。

9.分式方程的复杂情况处理

-分式方程组：同时求解多个分式方程，可能需要联立方程组。

-无理分式方程：涉及无理数的分式方程，可能需要使用数值方法求解。

10.分式方程的数学建模

-将实际问题转化为分式方程模型。

-确定未知量和已知量，建立方程。课堂小结，当堂检测一、课堂小结

1.分式方程的定义及基本形式

-分式方程：含有分母的方程，分母不为零。

-基本形式：$\frac{A(x)}{B(x)}=\frac{C(x)}{D(x)}$，其中$B(x)$和$D(x)$不为零。

2.解分式方程的基本步骤

-去分母：通过交叉相乘等方法，将分式方程转化为整式方程。

-求解整式方程：运用一元一次方程、一元二次方程等解法求解转化后的整式方程。

-检验解：将求得的解代入原分式方程进行检验，确保解的正确性。

3.分式方程的解法

-去分母的方法：交叉相乘、通分等。

-一元一次方程的解法：移项、合并同类项、系数化为1等。

-一元二次方程的解法：因式分解、求根公式等。

4.分式方程解的存在性与唯一性

-解的存在性：分式方程可能无解、有一个解或多个解。

-解的唯一性：在特定条件下，分式方程的解可能是唯一的。

5.分式方程在实际问题中的应用

-路程与速度问题：如速度等式$\frac{S}{v_1}=\frac{S}{v_2}$。

-混合问题：如溶液混合问题中的浓度等式。

-几何问题：如相似三角形中的比例关系。

6.分式方程的常见类型

-简单分式方程：如$\frac{1}{x}=2$。

-复合分式方程：如$\frac{1}{x+1}=\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x}$。

-高次分式方程：如$\frac{x^2+1}{x-1}=\frac{x^2-1}{x+1}$。

7.分式方程的求解策略

-分析方程的结构，选择合适的解法。

-注意分母为零的情况，避免无意义解。

-检验解时，确保代入后分母不为零。

8.分式方程的转化技巧

-通分：将分母不同的分式方程转化为分母相同的方程。

-分子分母同时乘以或除以同一个非零多项式：保持方程的等价性。

9.分式方程的复杂情况处理

-分式方程组：同时求解多个分式方程，可能需要联立方程组。

-无理分式方程：涉及无理数的分式方程，可能需要使用数值方法求解。

10.分式方程的数学建模

-将实际问题转化为分式方程模型。

-确定未知量和已知量，建立方程。

二、当堂检测

1.解分式方程$\frac{2}{x}-\frac{3}{2}=\frac{1}{4}$

2.解分式方程$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-1}=\frac{1}{x}$

3.解分式方程$\frac{2}{x-2}=\frac{3}{x+1}$

4.解分式方程$\frac{3}{x+2}