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第五讲神秘无穷与三次数学危机

1第1页目录一、“有没有限个房间”Hilbert旅馆二、无限与有限区分和联络三、悖论（paradox）四、数学中无限在生活中反应五、潜无限与实无限六．哲学中无限七、无穷与数学危机2第2页

1.“客满”后又来1位客人（“客满”）

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空出了1号房间

一、“有没有限个房间”Hilbert旅馆3第3页

2.客满后又来了一个旅游团，旅游团中有没有穷个客人

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空下了奇数号房间

4第4页3.客满后又来了一万个旅游团，每个团中都有没有穷个客人1234┅k┅↓↓↓↓┅↓┅1000123000340004┅10001×k┅

给出了一万个、又一万个空房间

5第5页是否有些人想提什么问题？6第6页4.[思]该旅馆客满后又来了无穷个旅游团，每个团中都有没有穷个客人，还能否安排？“无穷大！任何一个其它问题都不曾如此深刻地影响人类精神；任何一个其它观点都不曾如此有效地激励人类智力；然而，没有任何概念比无穷大更需要澄清……”----Hilbert7第7页

二、无限与有限区分和联络1.区分

1）在无限集中，“部分能够等于全体”（这是无限本质），而在有限情况下，部分总是小于全体。8第8页

当初伽利略悖论，就是因为没有看到“无限”这一个特点而产生。1234567891011…n…↕↕↕↕↕↕↕↕↕↕↕↕↕149162536496481100121…n2…

[该两集合：有一一对应，于是推出两集合元素个数相等；但由“部分小于全体”，又推出两集合元素个数不相等。这就形成悖论。]9第9页

[思]：结构一个“部分到整体一一对应”：从[0，1）→[0，+∞）。10第10页

2.）

“有限”时成立许多命题，对“无限”不再成立

（1）实数加法结合律在“有限”情况下，加法结合律成立:(a+b)+c=a+(b+c)，a，b，c

11第11页

在“无限”情况下，加法结合律不再成立。如12第12页

（2）有限级数一定有“和”。√

是个确定数无穷级数一定有“和”。×

则不是个确定数。称为该级数“发散”。反之称为“收敛”。13第13页

2.联络

在“有限”与“无限”间建立联络伎俩，往往很主要。

1）数学归纳法

经过有限步骤，证实了命题对无限个自然数均成立。

2）极限

经过有限方法，描写无限过程。

如：；自然数N，都，使时，。

14第14页

0.99999‥‥‥=1?

3）无穷级数

经过有限步骤，求出无限次运算结果，如

4）递推公式,a1=*有一个著名例子：兔子永远追不上乌龟，箭永远射不上靶子。结果即使可笑，但在逻辑上却耐人寻味，这就是著名二分法悖论。

15第15页三、悖论（paradox）悖论（paradox）详细是指：由一个被认可是真命题为前提，设为B，进行正确逻辑推理后，得出一个与前提互为矛盾命题结论非B；反之，以非B为前提，亦可推得B。那么命题B就是一个悖论。1．说谎者悖论：最早见《新约全书·提多书》

“我正在说谎”16第16页2.“外祖母悖论”，我会穿梭时空，回到过去，把我自己外祖母杀了。我外祖母没了，我妈就没了，我也就没了。而我没了，就没有些人杀我外祖母，我外祖母就不会死，那我又有了。而有了我，外祖母就没了，我也就没了……这就是悖论，自己与自己就有矛盾。17第17页3.“说谎者循环”：

A说：“下面是句谎话。”

B说：“上面是句真话。”18第18页

4、芝诺悖论---由无限引出

芝诺（前490？—前430？）是（南意大利）爱利亚学派创始人巴门尼德学生。他企图证实该学派学说：“多”和“变”是虚幻，不可分“一”及“静止存在”才是唯一真实；运动只是假象。于是他设计了四个例证，人称“芝诺悖论”。这些悖论是从哲学角度提出。我们从数学角度看其中一个悖论。

19第19页1）两分法向着一个目标地运动物体，首先必须经过旅程中点；然而要经过这点，又必须先经过旅程四分之一点；要过四分之一点又必须首先经过八分之一点等等，如这类推，以至无穷。结论是：无穷是不可穷尽过程，运动永远不可能开始。20第20页

2）阿基里斯(Achilles)悖论：阿基里斯追不上乌龟。

21第21页3）飞矢不动悖论

一支飞行箭是静止：因为每一时刻这支箭都有其确定位置因而是静止，所以箭就不能处于运动状态。22第22页4）“操场或游行队伍”A、B两件物体以等速向相反方向运动。从静止C看来，比如说，A、B都在1小时内移动了2公里；可是，从A看来，则B在1小时内就移动了4公里。因为B保持等速移动，所以移动2公里时间应该是移动4公里时间二分之一。因而二分之一时间等于两倍时间。23第23页症结：无限段长度和，可能是有限；无限段时间和，也可能是有限。

芝诺悖论意义：

1）促进了严格、求证数学发展2）较早“反证法”及“无限”思想3）尖锐地提出离散与连续矛盾：空间和时间有没有最小单位？24第24页

芝诺前两个悖论是反对“空间和时间是连续”，后两个悖论则是反对“空间和时间是离散”；第一、第三反对绝对运动，而第二、第四，反对相对运动。在芝诺看来，这两种理论都有毛病；所以，“运动只是假象，不动不变才是真实”。芝诺哲学观点即使不对，不过，他如此尖锐地提出了空间和时间是连续还是离散问题，引发人们长久讨论，促进了认识发展，不能不说是巨大贡献。25第25页/f/5054067.html从诧异到思索 ——数学悖论奇景《科学美国人》杂志社马丁•加德纳26第26页

四、数学中无限在生活中反应

1）大烟囱是圆：每一块砖都是直（整体看又是圆）2）锉刀锉一个光滑零件：每一锉锉下去都是直（许多刀合在一起效果又是光滑）27第27页

3）

不规则图形面积：正方形面积，长方形面积三角形面积，多边形面积，圆面积。规则图形面积→不规则图形面积？法Ⅰ.用方格套（想像成透明）。方格越小，所得面积越准

28第28页

法Ⅱ.首先转化成求曲边梯形面积，（不规则图形→若干个曲边梯形），再设法求曲边梯形面积：划分，求和，矩形面积之和~曲边梯形面积；越小，就越准确；再取极限，就得到曲边梯形面积。29第29页

五、潜无限与实无限1．潜无限与实无限简史

潜无限是指把无限看成一个永无终止过程，认为无限只存在于人们思维中，只是说话一个方式，不是一个实体。30第30页从古希腊到康托以前大多数哲学家和数学家都持潜无限观点他们认为“正整数集是无限”来自我们不能穷举全部正整数。比如，能够想象一个个正整数写在一张张小纸条上，从1，2，3，…写起，每写一张，就把该纸条装进一个大袋子里，那么，这一过程将永无终止。所以，把全体正整数袋子看作一个实体是不可能，它只能存在于人们思维里。亚里士多德只认可潜无限：不认可直线式由点组成高斯反对实无限：反对把无穷量作为现实实体，认为无限只不过是一个说话方式31第31页康托集合论与实无限但康托不一样意这一观点，他很愿意把这个装有全部正整数袋子看作一个完整实体。这就是实无限观点。康托工作是划时代，对当代数学产生了巨大影响，但当初，康托老师克罗内克尔，却激烈反对康托观点。所以康托当初处境和待遇都不太好。因为康托尔无穷学说从根本上否定了“整体大于部分”观念，而且他在无限王国走得如此远，以至于同时代数学家和哲学家都不能了解他观点，惧怕集合论。有些人说，康托尔集合论是一个“疾病”，康托尔概念是“雾中之雾”，甚至说康托尔是“疯子”。来自数学权威们巨大精神压力终于摧垮了康托尔，使他心力交瘁，患了精神分裂症，被送进精神病医院。191月6日，康托尔在一家精神病院逝世。康托无穷集合论也造成了第三次数学危机。32第32页康托GeorgFerdinandPhilipCantor(1845～1918)德国数学家，集合论创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡（今苏联列宁格勒），191月6日病逝于哈雷。1862年17岁时入瑞士苏黎世大学,翌年转入柏林大学,主修数学，从学于E.E.库默尔、K.（T.W.）魏尔斯特拉斯。1866年曾去格丁根学习一学期。1867年在库默尔指导下以数论方面论文获博士学位。后即在该大学任讲师，1872年任副教授，1879年任教授。

33第33页实无限、潜无限只是一个硬币两个面两种无穷思想经历了此消彼长，两种无限在当代数学中都是有用武之地。微积分采取潜无限，非标准分析采取实无限无穷本身是一个矛盾体，既是一个需无穷迫近过程，也是一个可供研究实体Hilbert认为：无穷是一个永恒之谜，无穷是人类心情宁静最大敌人34第34页

六．哲学中无限

1．哲学对“无限”兴趣

哲学是研究整个世界科学。自从提出“无限”概念，就引发了哲学家广泛关注和研究。现在我们知道哲学中有下边一些命题：

35第35页

物质是无限；时间与空间是无限；物质运动形式是无限。一个人生命是有限；一个人对客观世界认识是有限。36第36页无限可分与原子论很多思想家都研究过无穷大。古希腊哲学家们就一条线段(或者就任何数量而言)，是不是可无限地被分割，或者说是不是能够最终得到一个不可分割点(即“原子”)等问题，展开了无休止争论。他们当代追随者——物理学家们今天依然还在设法处理同一个问题，他们使用巨大粒子加速器寻找“基本粒子”——那些组成整个宇宙基本砖块。天文学家一直在从另一个极端——无限辽阔——尺度上思索着无穷大问题。我们宇宙真像它所展现在晴朗黑夜那样无穷无尽，或是它有一个边界(在这个边界之外什么东西也不存在)吗？有限宇宙可能性似乎是对我们常识一个挑战。我们能够在任何方向上一直走下去而永远也到不了“边”，这个事实不是很清楚吗？不过我们将不难看出，当研究无穷大时，“常识”是一个非常差劲向导！37第37页

2．数学对“无限”观点贡献

数学则更严密地研究有限与无限关系，大大提升了人类认识无限能力。在有限环境中生存有限人类，取得把握无限能力和技巧，那是人类智慧；在取得这些结果过程中表达出来奋斗与热情，那是人类情感；对无限认识结果，则是人类智慧与热情共同结晶。一个人，若把自己智慧与热情融入数学学习和数学研究之中，就会产生一个尤其感受。假如这么，数学学习不但不是难事，而且会充满乐趣。38第38页

[抢答题]结构一个无穷多个运动员百米赛跑，但结果没有第一名例子。（要求表示出每一个运动员百米成绩，且要求靠近实际：不能跑进9秒）39第39页解答运动员1234…百米成绩10秒9.9秒9.89秒9.889秒…另解…40第40页七、无穷与数学危机数学史上有过三次数学危机，它们都与无穷相关，也与人们对无穷认识相关。我们已经讨论过第一次与第二次数学危机第一次数学危机要害是不认识无理数，而无理数是无限不循环小数41第41页

第二次数学危机要害，是极限理论逻辑基础不完善，而极限正是“有穷过渡到无穷”主要伎俩。贝克莱责难，也集中在“无穷小量”上。因为无穷与有穷有本质区分，所以，极限严格定义，极限存在性，无穷级数收敛性，这么一些理论问题就显得尤其主要。42第42页第三次数学危机1．“数学基础”曙光——集合论到19世纪，数学从各方面走向成熟。非欧几何出现使几何理论愈加扩展和完善；实数理论（和极限理论）出现使微积分有了牢靠基础；群理论、算术公理出现使算术、代数逻辑基础更为明晰，等等。人们水到渠成地思索：整个数学基础在哪里？正在这时，19世纪末，集合论出现了。人们感觉到，集合论有可能成为整个数学基础。43第43页其理由是：算术以整数、分数等为对象，微积分以变数、函数为对象，几何以点、线、面及其组成图形为对象。同时，用集合论语言，算术对象可说成是“以整数、分数等组成集合”；微积分对象可说成是“以函数等组成集合”；几何对象可说成是“以点、线、面等组成集合”。这么一来，都是以集合为对象了。集合成了更基本概念。44第44页于是，集合论似乎给数学家带来了曙光：可能会一劳永逸地摆脱“数学基础”危机。尽管集合论本身相容性还未证实，但许多人认为这只是时间问题。庞加莱甚至在19巴黎国际数学家大会上宣称：“………借助集合论概念，我们能够建造整个数学大厦……今天，我们能够说绝正确严格性已经到达了……”45第45页

2．算术集合论基础1）人们按以下逻辑次序把全部数学基础归结为算术，即归结为非负整数，即自然数集合加上0——现在我国中小学就把这一集合称为自然数集合。（算术）非负整数n→有理数实数复数图形46第46页

所以，全部数学似乎都可归结为非负整数了，或者说，全部数学都能够归结为算术了。这么，假如能把算术建立在集合论基础上，就相当于处理了整个“数学基础”问题。法国数学家、数理逻辑先驱弗雷格（G.Frege,1848—1925）就做了这么工作。他写了一本名叫《算术基础》书。47第47页弗雷格《算术基础》48第48页

2)弗雷格《算术基础》为了使算术建立在集合论基础上，全部非负整数，都需要用集合论观点和语言重新定义。首先从0说起。0是什么？应该先回答0是什么，然后才有表示“0”符号。49第49页

为此，先定义“空集”。空集是“不含元素集合”。比如，“方程在实数集中根集合”就是一个空集，再例如“由最大正整数组成集合”也是一个空集。50第50页

全部空集放在一起，作成一个集合集合，（为说话简单我们把“集合集合”称作类），这个类，就能够给它一个符号：0，中国人念“ling”，英国人念“Zero”。

空集是空，但由全部空集组成类，它本身却是一个元素了，即，0是一个元素了。由它再作成一个集合{0}，则不是空集了。51第51页

弗雷格再定义两个集合间双射：既是满射又是单射映射叫作双射，也称可逆映射；通俗地说，就是存在逆映射映射。它能够在两个集合间往返地映射，所以普通称为“双射”。弗雷格再定义两个集合“等价”：，能够在其间建立双射两个集合A、B称为“等价”。52第52页下边能够定义“1”了。把与集合{0}等价全部集合放在一起，作成一个集合集合。这个类，就能够给它一个符号：1。再定义“2”。把与集合{0，1}等价全部集合放在一起，作成一个集合集合。这个类，就叫：2。然后，把与{0，1，2}等价集合作成类，叫：3。53第53页

普通地，在有了0，1，2，…，n定义后，就把全部与集合{0，1，2，…，n}等价集合放在一起，作成集合集合，这么类，定义为：n+1。这种定义概念方法，叫作“归纳定义”方法。54第54页

这么，弗雷格就从空集出发，而仅仅用到集合及集合等价概念，把全部非负整数定义出来了。于是依据上边说“可以把全部数学归结为非负整数”，就能够说，全部数学能够建立在集合论基础上了。55第55页

3．罗素“集合论悖论”引发危机1）悖论引发震憾和危机正当弗雷格即将出版他《算术基础》一书时候，罗素集合论悖论出来了。这也是庞加莱宣告“完全严格数学已经建立起来！”之后刚才两年，即1902年。56第56页伯特兰·罗素（1872-1970）Russell,BertrandArthurWilliam(ThirdEarlRussell)

出生年月：1872-1970国籍：英国

学科成就：英国著名哲学家、数学家、逻辑学家，分析学主要创始人，世界和平运动提倡者和组织者。

所获奖项：1950年诺贝尔文学奖。

罗素57第57页

集合论中竟然有逻辑上矛盾！倾刻之间，算术基础动摇了，整个数学基础似乎也动摇了。这一动摇所带来震憾是空前。许多原先为集合论兴高采烈数学家发出哀叹：我们数学就是建立在这么基础上吗？

罗素悖论引发危机，就称为第三次数学危机。58第58页

罗素把他发觉悖论写信告诉弗雷格。弗雷格在他《算术基础》一书末尾无可奈何地写道：“一个科学家碰到最不愉快事莫过于，当他工作完成时，基础崩塌了。当本书即将印刷时，罗素先生一封信就使我陷入这么尴尬境地。”59第59页狄德金(Dedekind)原来打算把《连续性及无理数》第3版付印，这时也把稿件抽了回来。发觉拓扑学中“不动点原理”布劳恩(Brouwer))也认为自己过去做工作都是“废话”，声称要放弃不动点原理。60第60页

2）罗素悖论在叙述罗素悖论之前,我们先注意到下边事实：一个集合或者是它本身成员(元素),或者不是它本身组员(元素)，二者必居其一。罗素把前者称为“异常集合”，把后者称为“正常集合”。61第61页

比如,全部抽象概念集合，本身还是抽象概念。即，它是这一集合本身元素，所以是“异常集合”。不过，全部些人集合，不是人，即，它不是这一集合本身元素，所以是“正常集合”。再比如，全部集合集合，本身还是集合，即，它是这一集合本身元素，所以是“异常集合”。不过，全部星星集合不是星星，即，它不是这一集合本身元素，所以是“正常集合”。62第62页罗素当年例子“异常集合”1：不多于29个字母表示句子所组成集合“异常集合”2：不是麻雀东西所组成集合63第63页

罗素悖论是：以表示“是其本身组员全部集合集合”（全部异常集合集合），而以表示“不是它本身组员全部集合集合”（全部正常集合集合），于是任一集合或者属于，或者属于，二者必居其一，且只居其一。然后问：集合是否是它本身组员？（集合是否是异常集合？）64第64页

假如是它本身组员，则按及定义，是组员，而不是组员，即不是它本身组员，这与假设矛盾。即

假如不是它本身组员，则按及定义，是组员，而不是组员，即是它本身组员，这又与假设矛盾。即

悖论在于：不论哪一个情况，都得出矛盾。65第65页

罗素悖论通俗化——“剪发师悖论”：某村一个剪发师宣称，他给且只给村里自己不给自己刮脸人刮脸。问：剪发师是否给自己刮脸？假如他给自己刮脸，他就属于自己给自己刮脸人，按宣称标准，剪发师不应该给他自己刮脸，这与假设矛盾。假如他不给自己刮脸，他就属于自己不给自己刮脸，按宣称标准，剪发师应该给他自己刮脸，这又与假设矛盾。66第66页4．危机消除

危机出现以后，包含罗素本人在内许多数学家作了巨大努力来消除悖论。当初消除悖论选择有两种，一个是抛弃集合论，再寻找新理论基础，另一个是分析悖论产生原因，改造集合论，探讨消除悖论可能。人们选择了后一条路，希望在消除悖论同时，尽可能把原有理论中有价值东西保留下来。67第67页

这种选择理由是，原有康托集合论即使简明，但并不是建立在明晰公理基础之上，这就留下了处理问题余地。罗素等人分析后认为，这些悖论共同特征（悖论实质）是“自我指谓”。即，一个待定义概念，用了包含该概念在内一些概念来定义，造成恶性循环。比如，悖论中定义“不属于本身集合”时，包括到“本身”这个待定义对象。（再如“本句话是七个字”）68第68页为了消除悖论，数学家们要将康托“朴素集合论”加以公理化；而且要求构造集合标准，比如，不允许出现“全部集合集合”、“一切属于本身集合”这样集合。危机处理69第69页“非断言”定义方式上面每一个悖论都包括一个集合S和S一个组员M(既M是靠S定义)。这么一个定义被称作是“非断言”，而非断言定义在某种意义上是循环。比如，考虑罗素剪发师悖论：用M标志剪发师，用S标示全部组员集合，则M被非断言地定义为“S给而且只给不自己刮胡子人中刮胡子那个组员”。此定义循环性质是显然——剪发师定义包括全部组员，而且剪发师本身就是这里组员。所以，不允许有非断言定义便可能是一个处理集合论己知悖论方法。然而，对这种处理方法，有一个严重责难，即包含非断言定义那几部分数学是数学家很不愿丢弃。70第70页19，策梅洛（E.F.F.Zermelo,1871—1953）提出了由7条公理组成集合论体系，称为Z-系统。1922年，弗兰克（A.A.Fraenkel）又加进一条公理，还把公理用符号逻辑表示出来，形成了集合论ZF-系统。再以后，还有改进ZFC-系统。这么，大致完成了由朴素集合论到公理集合论发展过程，悖论消除了。71第71页当代公理集合论大堆公理，简直难说孰真孰假，可是又不能把它们都消除掉，它们跟整个数学是血肉相连。不过，新系统相容性还未证实。所以，庞加莱在策梅洛公理化集合论出来后很快，形象地评论道：“为了防狼，羊群已经用篱笆圈起来了，但却不知道圈内有没有狼”。数学确实定性在一步一步地丧失。这就是说，第三次数学危机处理，并不是完全令人满意。第三次危机表面上处理了实质上更深刻地以其它形式延续72第72页5．无限集合也有“大小”