2023-2024学年四川省成都市青羊区重点中学九年级（上）期末数学试卷含解析

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年四川省成都市青羊区重点中学九年级（上）期末数学试卷一、选择题1.如图是一个空心圆柱体，其主视图是(

)A.

B.

C.

D.2.菱形和矩形都是特殊的平行四边形，那么下列是菱形和矩形都具有的性质是(

)A.各角都相等 B.各边都相等 C.有两条对称轴 D.对角线相等3.已知方程x2−2x+4=0，则该方程的根的情况为(

)A.方程没有实数根 B.方程有两个相等的实数根

C.方程有两个不相等的实数根 D.方程的根无法判定4.如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，DE/​/BC，DE=1，AD=2，DB=3，则BC的长为(

)A.12

B.32

C.525.已知a2=b3=cA.2 B.3 C.4 D.56.若反比例函数y=k−1x的图象经过点(3,−5)，则它的图象一定还经过点(

)A.(3,5) B.(−1,16) C.(−3,−5) D.(−15,1)7.一次函数y1=k1x+b和反比例函数y2=k2A.−2<x<0或x>1

B.−2<x<1

C.x<−2或x>1

D.x<−2或0<x<18.某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感.设每一轮传染中平均每人传染了x人，则可得到方程(

)A.x+(1+x)=36 B.2(1+x)=36

C.1+x+x(1+x)=36 D.1+x+二、非选择题9.若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为2，则另一个根为______．10.如图，在长为9m，宽为7m的矩形场地上修建两条宽度都为1m且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，则绿化面积共有

m2．

11.某型号汽车行驶时功率一定，行驶速度v(单位：m/s)与所受阻力F(单位：N)是反比例函数关系，其图象如图所示.若该型号汽车在某段公路上行驶时速度为30m/s，则所受阻力F为______N.

12.如图，在平面直角坐标系中，△OAB顶点O在坐标原点，顶点A，B的坐标分别为(−2,−1)，(−1.5,0).△OCD与△OAB位似，位似中心是原点O，若点D的坐标为(4.5,0)，则点C的坐标为______．13.如图，将菱形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，使点D落在射线CA上的点E处，折痕CP交AD于点P.若∠ABC=30°，AP=2，则PE的长等于______．

14.解下列方程：

(1)x2+x−1=0；

(2)215.关于x的一元二次方程x2+2x+3−k=0有两个不相等的实数根．

(1)求k的取值范围；

(2)若方程的两个根为α，β，且k2=αβ+3k，求16.如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE=DF．

(1)求证：△ABE≌△CDF；

(2)若AB=32，BE=2，求四边形AECF的面积．17.为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生(每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种).根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：

(1)本次被调查的学生有______名，补全条形统计图；

(2)扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数______；

(3)学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，则甲和乙同学同时被选中的概率是多少？18.已知：一次函数y=−2x+10的图象与反比例函数y=kx(k>0)的图象相交于A，B两点(A在B的右侧)．

(1)若A(4,2)，求反比例函数的解析式及B点的坐标；

(2)在(1)的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在一点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

(3)当A(a,−2a+10)，B(b,−2b+10)时，直线OA与此反比例函数图象的另一支交于另一点C，连接BC交y轴于点D.若BCBD=52，求19.已知x2−3x+1=0，则(1−x+1x−3)÷20.如图，在△ABC中，AD=DE=EB，AF=FG=GC.现随机向三角形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区域内的概率为______．

21.给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的2倍，则我们称这个矩形是给定矩形的“加倍矩形”，当已知矩形的长和宽分别为3和1时，其“加倍矩形”的对角线长为

．22.如图，已知直线y=−23x+2与坐标轴交于A，B两点，矩形ABCD的对称中心为M，双曲线y=kx(x>0)正好经过C，M两点，则直线23.如图，在△ABC中，AB=AC，点D是AC的中点，将BCD沿BD折叠得到△BED，连接AE.若DE⊥AB于点F，BC=10，则AF的长为______．

24.某商店欲购进A、B两种足球，若购进5个A种足球，3个B种足球，共需450元.若购进10个A种足球，8个B种足球，共需1000元．

(1)购进A、B两种足球每个各需多少元？

(2)该商店购进足够多的两种足球，在销售中发现，A种足球售价为每件80元，每天可销售100个，现在决定对A种足球在每个80元的基础上降价销售，每个每降价1元，多售出20个，该商店对A种足球降价销售后每天销售量超过200个；B种足球销售状况良好，每天可获利7000元.为使销售A、B两种足球每天总获利为10000元，A种足球每个降价多少元？25.如图①，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BC=14，AD=8，BD=6，点E是AD上一动点(不与点A，D重合)，在△ADC内作矩形EFGH，点F在DC上，点G，H在AC上，设DE=x，连接BE．

(1)当矩形EFGH是正方形时，直接写出EF的长；

(2)设△ABE的面积为S1，矩形EFGH的面积为S2，令y=S1S2，求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量x的取值范围)；

(3)如图②，点P(a,b)是(2)中得到的函数图象上的任意一点，过点P的直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于M，N两点，求△OMN26.如图1，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=4，AD=8，点E为AD边上一点(0<AE<3)，连结EO并延长，交BC于点F，四边形ABFE与A′B′FE关于EF所在直线成轴对称，线段B′F交AD边于点G．

(1)求证：GE=GF；

(2)当AE=2DG时，求AE的长；

(3)如图2，连结OB′，OD，分别交AD，B′F于点H，K.记四边形OKGH的面积为S1，△DGK的面积为S2，当AE=1时，求S1S2答案和解析1.【答案】D

【解析】解：从前面观察物体可以发现：它的主视图应为矩形，

又因为该几何体为空心圆柱体，故中间的两条棱在主视图中应为虚线，

故选：D．

找到从前面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．

本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图；注意看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线．2.【答案】C

【解析】解：∵矩形的性质为：对边平行且相等，四个角都相等，对角线互相平分且相等，有两条对称轴，

菱形的性质为：四边相等，对边平行且相等，对角相等，对角线互相垂直平分，有两条对称轴，

∴菱形和矩形都具有的性质是：对边平行且相等，对角线互相平分，有两条对称轴，

故选：C．

利用矩形的性质和菱形的性质直接可求解．

本题考查了矩形的性质，菱形的性质，轴对称图形的对称轴个数，掌握矩形的性质和菱形的性质是解题的关键．3.【答案】A

【解析】解：方程x2−2x+4=0，

∵a=1，b=−2，c=4，

∴Δ=b2−4ac=(−2)2−4×1×4=4−16=−12<0，

则方程没有实数根．

故选：A．

求出一元二次方程根的判别式的值，判断即可．

此题考查了根的判别式：

根的判别式大于0，一元二次方程有两个不相等的实数根；4.【答案】C

【解析】解：∵AD=2，DB=3，

∴AB=AD+DB=2+3=5，

∵DE/​/BC，

∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，

∴△ADE∽△ABC，

∴ADAB=DEBC，

∴25=1BC，

∴BC=52，

故选：5.【答案】A

【解析】【分析】

本题主要考查了比例的性质，运用设k法是解决问题的关键，设a2=b3=c4=k，则a=2k，b=3k，c=4k，代入3a−2b+ca即可得到其值．

【解答】

解：设a2=b3=c46.【答案】D

【解析】解：由题意得：k−1=3×(−5)=−15，

∵−15×1=−15，

∴反比例函数y=k−1x一定还经过点(−15,1)，

故选：D．

把(3,−5)代入求出k−1即可求解．7.【答案】D

【解析】解：∵根据函数图象可知，当x<−2或0<x<1时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，

∴当y1>y2时，x的取值范围是：x<−2或0<x<1．

故选：D．

当一次函数的值大于反比例函数的值时，直线在双曲线的上方，根据图象可得出当y18.【答案】C

【解析】解：由题意得：1+x+x(1+x)=36，

故选：C．

患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每一轮传染中平均每人传染了x人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是(x+1)人，则传染x(x+1)人，依题意列方程：1+x+x(1+x)=36．

本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．9.【答案】−5

【解析】解：设方程的另一根为x，

根据题意，得：2+x=−3，

解得：x=−5，

故答案为：−5．

设方程的另一根为x，根据一元二次方程根与系数的关系即可求出另一根．

本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系为：x10.【答案】48

【解析】【分析】

本题考查了生活中平移现象，根据题目的已知条件并结合图形分析绿地部分的长和宽是解题的关键．

利用平移可得绿地部分的长为(9−1)m，宽为(7−1)m，然后进行计算即可．

【解答】

解：由题意得：

(9−1)×(7−1)=8×6=48(m2)，

∴绿化面积共有48m211.【答案】2500

【解析】解：设功率为P，由题可知P=Fv，即v=PF，将F=3750N，V=20m/s代入可得：P=75000，即反比例函数为：v=75000F.当v=30m/s时，F=7500030=2500N．

胡答案为：12.【答案】(6,3)

【解析】解：∵△OCD与△OAB位似，位似中心是原点O，点B的坐标为(−1.5,0)，点D的坐标为(4.5,0)，

∴△OCD与△OAB的相似比为3：1，

∵点A的坐标为(−2,−1)，

∴点C的坐标为(−2×(−3),−1×(−3))，即(6,3)，

故答案为：(6,3)．

根据题意求出△OCD与△OAB的相似比，再根据位似变换的性质计算即可．

本题考查的是位似变换，正确求出相似比是解题的关键．13.【答案】2【解析】解：过点A作AF⊥PE于点F，

∵四边形ABCD是菱形，

∴∠D=∠ABC=30°，AD=CD，

∴∠DAC=180°−∠D2=75°，

由折叠可知：∠E=∠D=30°，

∴∠APE=∠DAC−∠AEP=45°，

在Rt△APF中，PF=AP⋅cos∠APE，

∴PF=AF=2×cos45°=2，

在Rt△AEF中，tan∠AEP=AFEF，

∴EF=AFtan30∘=233=6，

∴PE=PF+EF=2+14.【答案】解：(1)移项，得x2+x=1，

配方，得x2+x+14=1+14，

(x+12)2=54，

x+12=±52，

x1【解析】(1)根据配方法进行求解即可；

(2)用公式法进行求解即可．

本题考查了一元二次方程的求解，正确的计算是解决本题的关键．15.【答案】解：(1)b2−4ac=22−4×1×(3−k)=−8+4k，

∵有两个不相等的实数，

∴−8+4k>0，

解得：k>2；

(2)∵方程的两个根为α，β，

∴αβ=ca=3−k，

∴k【解析】(1)根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得出b2−4ac>0，把字母和数代入求出k的取值范围；

(2)根据两根之积为：ca，把字母和数代入求出k16.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，

∴CD=AB，∠ABE=∠CDF=45°，

在△ABE和△CDF中，

AB=CD∠ABE=∠CDFBE=DF,

∴△ABE≌△CDF(SAS)．

(2)解：如图，连接AC，交BD于点O，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，AO=CO，DO=BO，

又∵DF=BE，

∴OE=OF，AO=CO，

∴四边形AECF是平行四边形，

∵AC⊥EF，

∴四边形AECF是菱形，

∵AB=32，

∴AC=BD=6，

∵BE=DF=2，

EF=BD−BE−DF=2，

∴四边形AECF的面积【解析】(1)根据全等三角形的判定定理证明即可；

(2)根据正方形的性质，菱形的判定定理和性质定理解答即可．

本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，菱形的判定和性质，熟练掌握相关性质是解答本题的关键．

(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，

∴CD=AB，∠ABE=∠CDF=45°，

在△ABE和△CDF中，

AB=CD∠ABE=∠CDFBE=DF,

∴△ABE≌△CDF(SAS)．

(2)解：如图，连接AC，交BD于点O，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，AO=CO，DO=BO，

又∵DF=BE，

∴OE=OF，AO=CO，

∴四边形AECF是平行四边形，

∵AC⊥EF，

∴四边形AECF是菱形，

∵AB=32，

∴AC=BD=6，

∵BE=DF=2，

EF=BD−BE−DF=2，

∴17.【答案】100

36°

【解析】解：(1)本次被调查的学生人数为30÷30%=100(名)．

选择“足球”的人数为35%×100=35(名)．

补全条形统计图如下：

(2)扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数为

10100×360°=36°．

故答案为：36°．

(3)画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种，

∴甲和乙同学同时被选中的概率为212=16．

(1)用选择“篮球”的人数除以其所占百分比，可得本次被调查的学生总人数；求出选择“足球”的人数，再补全条形统计图即可．

(2)用选择“羽毛球”的人数除以本次被调查的学生总人数再乘以360°即可．

18.【答案】解：(1)把A(4,2)代入y=kx，得k=4×2=8．

∴反比例函数的解析式为y=8x．

解方程组y=−2x+10y=8x，得：

x=1y=8或x=4y=2，

∴点B的坐标为(1,8)；

(2)①若∠BAP=90°，

过点A作AH⊥OE于H，设AP与x轴的交点为M，如图1，

对于y=−2x+10，当y=0时，−2x+10=0，解得x=5，

∴点E(5,0)，OE=5，

∵A(4,2)，

∴OH=4，AH=2，

∴HE=5−4=1，

∵AH⊥OE，

∴∠AHM=∠AHE=90°，

又∵∠BAP=90°，

∴∠AME+∠AEM=90°，∠AME+∠MAH=90°，

∴∠MAH=∠AEM，

∴△AHM∽△EHA，

∴AHEH=MHAH，

∴21=MH2，

∴MH=4，

∴M(0,0)，

可设直线AP的解析式为y=mx，

则有4m=2，解得m=12，

∴直线AP的解析式为y=12x，

解方程组y=12xy=8x，得：

x=4y=2或x=−4y=−2，

∴点P的坐标为(−4,−2)．

②若∠ABP=90°，

同理可得：点P的坐标为(−16,−12)，

综上所述：符合条件的点P的坐标为(−4,−2)、(−16,−12)；

(3)过点B作BS⊥y轴于S，过点C作CT⊥y轴于T，连接OB，如图2，

则有BS//CT，

∴△CTD∽△BSD，

∴CDBD=CTBS，

∵BCBD=52，

∴CTBS=CDBD=32，

∵A(a,−2a+10)，B(b,−2b+10)，

∴C(−a,2a−10)，CT=a，BS=b，

∴ab=32，即b=23a.

∵A(a,−2a+10)，B(b,−2b+10)都在反比例函数y=kx的图象上，

∴a(−2a+10)=b(−2b+10)，

∴a(−2a+10)=23【解析】(1)只需把点A的坐标代入反比例函数的解析式，就可求出反比例函数的解析式；解一次函数与反比例函数的解析式组成的方程组，就可得到点B的坐标；

(2)△PAB是以AB为直角边的直角三角形，可分两种情况讨论：①若∠BAP=90°，过点A作AH⊥OE于H，设AP与x轴的交点为M，如图1，易得OE=5，OH=4，AH=2，HE=1.易证△AHM∽△EHA，根据相似三角形的性质可求出MH，从而得到点M的坐标，然后用待定系数法求出直线AP的解析式，再解直线AP与反比例函数的解析式组成的方程组，就可得到点P的坐标；②若∠ABP=90°，同理即可得到点P的坐标；

(3)过点B作BS⊥y轴于S，过点C作CT⊥y轴于T，连接OB，如图2，易证△CTD∽△BSD，根据相似三角形的性质可得CTBS=CDBD=32，由A(a,−2a+10)，B(b,−2b+10)，可得C(−a,2a−10)，CT=a，BS=b，即可得到ab=32，即b=23a，由A、B都在反比例函数的图象上可得a(−2a+10)=b(−2b+10)，把b=23a代入即可求出a的值，从而得到点A、B19.【答案】8

【解析】解：原式=(x−3x−3−x+1x−3)⋅2(x−2)x(x−2)

=−4x−3⋅2x

=−8x2−3x，

∵x20.【答案】23【解析】解：∵AD=DE=EB，AF=FG=GC，

∴DF//EG//BC，

∴△ADF∽△AEG∽△ABC，

∴S△ADFS△ABC=19，S△AEGS△ABC=49，

∴空白部分占△ABC的421.【答案】2【解析】解：设“加倍”矩形的长为x，则宽为[2×(3+1)−x]，

依题意，得：x[2×(3+1)−x]=2×3×1，

整理，得：x2−8x+6=0，

解得：x1=4+10，x2=4−10，

当x=4+10时，2×(3+1)−x=4−10<4+10，符合题意；

当x=4−10时，2×(3+1)−x=4+22.【答案】y=−7【解析】解：∵直线y=−23x+2与坐标轴交于A，B两点，

∴令x=0时，y=2；令y=0时，x=3；

∴A(3,0)，B(0,2)，则OA=3，OB=2，

如图所示，过点C作CE⊥y轴于E，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC=90°，

∴∠CBE+∠ABO=90°，且∠ABO+∠BAO=90°，

∴∠CBE=∠BAO，且∠CEB=∠BOC=90°，

∴△CEB∽△BOA，

∴CEEB=BOOA=23，

设CE=2a，则BE=3a，

即E(0,3a+2)，则C(2a,3a+2)，

∵矩形ABCD的对称中心为M，且A(3,0)，

∴点M的横坐标为2a+32，纵坐标为3a+22，

即M(2a+32,3a+22)，

∵双曲线y=kx(x>0)正好经过C，M两点，

∴2a(3a+2)=2a+32×3a+22，

解得，a1=12，a2=−23(不符合题意，舍去)，

∴点C(1,72)，

∴设过点A(3,0)，点C(1,72)所在直线的解析式为y=kx+b，

∴3k+b=0k+b=72，

解得k=−723.【答案】2【解析】解：取BC中点H，连接AH，过点D作DG⊥BC于点G，DM⊥BE于点M．

设EF=a，AD=CD=DE=x，则DF=x−a．

∵AB=AC，

∴AB=2x，∠ABC=∠ACB，BH=HC=5．

又由折叠得∠ACB=∠BED，BE=BC=10，

∴∠ABC=∠BED，

∴cos∠ABC=cos∠BED，即BHAB=EFEB，

∴52x=a10，

解得：a=25x，

∴DF=x−a=x−25x，

∵D是AC中点，DG⊥BC，

∴DG是△AHC的中位线，

∴CG=12CH=52，

∴BG=152，

由折叠知∠DEM=∠DCG，ED=CD，

在△EMD和△CGD中，

∠DEM=∠DCG∠DME=∠DGCED=CD，

∴△EMD≌△CGD(AAS)，

∴DG=MD．

∵DE⊥AB，

∴∠EFB=90°，

∴∠DEB+∠EBF=90°．

又∵∠CAH+∠ACB=90°，且∠ACB=∠DEB，

∴∠EBF=∠CAH，

∴∠EBF+∠ABC=90°，

∴∠DMB=∠MBG=∠BGD=90°

∴四边形MBGD是正方形，

∴DG=BG=152，

∴AH=2DG=15．

在Rt△AHC中，AH2+HC2=AC2，

∴152+52=(2x)2，

解得：x=5102，

∴a=24.【答案】解：(1)设购进A足球每个需x元，B足球每个需y元，

则由题意得：5x+3y=45010x+8y=1000，

解得：x=60y=50，

答：购进A商品每个需60元，B商品每个需50元．

(2)设A种足球每个降价m元，

则由题意得：100+20m>200(80−60−m)(100+20m)+7000=10000，

化简得：m>5m2−15m+50=0，

∴m=10，【解析】(1)设购进A足球每个需x元，B足球每个需y元，根据单价乘以个数，把两种足球的费用相加得总费用，列二元一次方程组求解即可；

(2)设A种足球每个降价m元，则根据“每个每降价1元，多售出20件，该商店对A种足球降价销售后每天销量超过200个”，可得100+20m>200；

再由题意可得A的利润为(80−60−m)(20m+100)；结合B每天可获利7000元，A，B两种足球每天获利10000元，列方程即可求出m的值．

本题综合考查了二元一次方程组、一元一次不等式和一元二次方程在实际问题中的应用，具有较强的综合性．25.【答案】解：(1)EF=823．

(2)∵△ADC是等腰直角三角形，

∴∠C=45°，

∵四边形EFGH是矩形，

∴EF//AC，

∠FDE=∠C=45°，即△DEF是等腰直角三角形，

∴DE=DF=x，DA=DC=8，

∴AE=CF=8−x，

∴EH=22AE=22(8−x)，EF=2DE=2x，

∴y=S1S2=12×(8−x)×62x×22(8−x)=3x，

∴y关于x的函数解析式为y=3x．

(3)如图②，过点P作PR⊥OM于M【解析】(1)设EF=m.证明AH=HG=CG=m，构建方程求解即可．

解：设EF=m，

∵BC=14，BD=6，

∴CD=BC−BD=14−6=8，

∵AD=8，

∴AD=DC=8，

∵AD⊥BC，

∴∠ADC=90°，即△ADC是等腰直角三角形，

∴AC=2AD=82，

∵四边形EFGH是正方形，

∴EH=FG=GH=EF=m，∠EHG=∠FGH=90°，

∴∠AHE=∠FGC=90°，

∵∠DAC=∠C=45°，

∴∠AEH=∠EAH=45°，∠GFC=∠C=45°，

∴AH=EH=m，CG=FG=m，

∴AH=HG=CG=m，

∴3m=82，

∴m=823，

∴EF=823．

(2)解直角三角形可得EH=22AE=22(8−x)，EF=2DE=2x，利用三角形面积公式，矩形的面积公式求解即可．

(3)如图②中，过点26.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD/​/BC，

∴∠GEF=∠BFE，

∵四边形ABFE与A′B′FE关于EF所在直线成轴对称，

∴∠BFE=∠GFE，

∴∠GEF=∠GFE，

∴GE=GF；

(2)解：过G作GH⊥BC于H，如图：

设DG=x，则AE=2x，

∴GE=AD−AE−DG=8−3x=GF，

∵∠GHC=∠C=∠D=90°，

∴四边形GHCD是矩形，

∴GH=CD=AB=4，CH=DG=x，

∵点O为矩形ABCD的对称中心，

∴CF=AE=2x，

∴FH=CF−CH=x，

在Rt△GFH中，FH2+GH2=GF2，

∴(x)2+42=(8−3