2023高考数学一轮复习加强版讲义学生版（习题丰富分中高档次）

PAGEPAGE1/考点01集 考点一元素的特 考点二元素的属 考点三集合的运 考点四子集的个 考点五集合间的关 考点六韦恩 考点七求参 考点02复 考点一复数的基本运 考点二复数的实部虚 考点三复数的分 考点四复数的几何意 考点03逻辑用语与充分必要条 考点一命题的否 考点二逻辑用 考点三充分必要条件的判 考点四充分必要条件的选 考点五根据充分必要条件求 考点04三角函数定义及同角三角函 考点一角度与弧度制的互 考点二扇形的弧长与面 考点三三角函数的定 考点四三角函数值的正 考点五同角三角函数公式的简单运 考点六弦的齐 考点05诱导公式及恒等变 考点一诱导公式之化 考点二两角和差与二倍 考点三角的拼 考点四恒等变 考点06三角函数的性 考点一周 考点二单调 考点三对称 考点四奇偶 考点五值 考点六解析 考点七伸缩平 考点07正、余弦定 考点一正余弦定理的选 考点二边角互 考点三三角形的面 考点四三角形的形 考点五三角形个数的判 考点六正余弦综合运 考点08三角函数及正、余弦定理的综合运 考点一实际中的正余弦定 考点二三角形周长与面积的最 考点三三角函数性质与正余弦定 考点四正余弦定理在几何中的运 考点09平面向量的线性运 考点一平面向量概念的辨 考点二基底的选 考点三平面向量的基本定 考点四共线定 考点五平面向量基本定理的运 考点10平面向量的坐标运 考点一坐标运 考点二数量 考点三巧建坐 考点四向量与其他知识的综 考点11不等 考点一解无参不等 考点二不等式的性 考点三三个一元二次的关 考点四恒成立问 考点五解含参不等 考点12基本不等 考点一直接 考点二条件 考点三配凑 考点四换元 考点五基本不等式求参 考点六综合运 考点13等差数 考点一等差数列基本运 考点二等差中 考点三等差数列的前n项 考点四单调性和最 考点五实际运用中的等差数 考点六等差数列的定 考点14等比数 考法一等比数列的基本运 考点二等比中 考点三等比数列的前n项 考点四等比数列定义的运 考点五实际生活中的等比数 考点15递推公式求通 考点一公式法求通 考点二累加 考点三累乘 考点四构造 考点五观察 考点16数列求和常用方 考点一裂项相消求 考点二错位相减求 考点三分组求 考点四倒序相加求 考点17特征数与抽样方 考点一抽样方 考点二频率分布直方 考点三特征 考点四古典概 考点五图表分 考点18排列组 考点一排列组合数的计 考点二排列问 考点三组合问 考点四排列组合综合运 考点19二项式定 考点一二项式中特定项的系 考点二（二项式）系数的性 考点三系数 考点四多项式展开式中特定项系 考点五二项式的应 考点20超几何分布与二项分 考点一分布列、方差、数学期望的性 考点三二项分 考点四数学期望做决 01(3)集合的表示法：列举法、描述法、Venn图法．AB的元素(x∈Ax∈B)ABB中至A中AÞB(BÝA⊆UU中不属于集A的所有元素组成的集合∁UA＝{x|x∈Ux∉在全集中找集合 元素的意义

集合相等子集 空集没有真子

子集求参

考点一 PAGEPAGE6/1（2023·

2（2023

3（2023全国高三专题练习已知集合＝{＋2(＋1)22＋3＋3}且1∈A，则2017a的值为 考点二元素的属性【例2-1（2023·江苏省前黄高级中学模拟预测）设集合A{1,2,3,4}，B{5,6}，C{xy|xA,yB}，则C中元素的个数为（ A，B的关系可以是 A

A

A1（2023·B={45个数为（）

D．(0,3（2023

D．{0,2,3,PAGEPAGE10/（2023· A．x|1xx|0x

B．x|1xx|0x1（2023· A．1,3

B．1,3,52（2023· A．xx

B．xx

x1x

x1x3（2023·

1x5，则M∩N A．x0x

B．x1x C．x4x D．x0x4（2023

C．1,

D．0,

MA合M的个数为 4-3（2023·河北石家庄·高三阶段练习）Axy|x2y21Bxy|y|x|1 2（2023· 3（2023· 4（2023 x 考点五集合间的关系 A．A

B．B

C．A

D．A5-2（2023·陕西·交大附中高三阶段练习）已知集合Mx2x5Nxx1x6 A．MC．N

B．MNx2xD．MNx5x1（2023· A．a,bb,

B．0 C．0

D．2（2023· A．10 B．11 C．12 D．133（2023

C．A

D．B A．2,

B．7,

C．1,3,

6-2（2023·河南省实验中学高三阶段练习（理设全集UR，Ax|x(x30，Bx|x1，则图中阴影部分表示的集合为（） D．{x1（2023·

C．4,5,

2（2023·全国·高三专题练习）如图，U是全集，M,P,S是U的子集，则阴影部分表示的集合是

C．(MP)ðU

D．(MP)ðU3（2023 A．x3xC．x3x

B．xx3xD．x3x则m

若AB，则m的最小值为（

1（2023· 2（2023 A．5,

D．,05,3（2023· 4（2023 b 1（2023·

B．1,

2（2023·江苏·高考真题）已知集合M1,3，N1a,3，若M∪N1,2,3，则a的值是（ 3（2023·全国·高考真题）设集合U{1,2,3,4,5,6},A{1,3,6},B{2,3,4}，则A∩ðUB（ B．{1,6} 4（2023· A．7,

B．5,7,

5（2023 6（2023

C．3,

7（2023·

B．2,

C．3,

D．2,3,8（2020· 9（2020· A． B．a,

C．b,

D．a,b,c,10（2020· 11（20202,}

3}

13（2020·海南·高考真题）设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=（ 14（2020· A．{x|1xC．{x|3x

B．{x|2xD．{x|1x15（2020·

17（2020· 18（2020 ） 20（2020) C．{−2，−1，0，3}1（2023 2（2023·

x1，则AB

B．A∪B

C．A

D．B3（2023 A．,1∪2,C．1,2

B．,0∪1,4（2023 A．y1yC．y1y

B．y4yD．y2y5（2023·

A．2,1

B．2,1

C．0,1

D．0,1

2

1 6（2023·

1，Bxx26x8则A∩ðRB（ A．x0x2C．x0x2x

B．x2xD．x0x2x

2 x7（2023·x

x16x6x

B．3,1,48（2023·

B．P

CUPU

D．P∩ðUS9（2023·甘肃·静宁县第一中学）设集合A{x,y|x2y22,x,yR}，B{(x,y)|xy0,x,yR}，则A∩B的子集的个数是（ 10（2023

11（2023

12（2023·云南师大附中高三）已知集合Axx1(2n1),nZ,Bxx4n1,nZ，则 A∩B

AB

A∪B1202则MN中的元素个数为（ 1（202·

xyzxyz为非零实数 则M的子集个数是 15（2023·16（2023则MN是（ x3，yC．3,

3,D．3,17（2023·上海师大附中高三阶段练习）已知集合M{x|(xa)(x2axa1)0}各元素之和等于3，则实数a 18（2023· xx19（2023· xx 20（2023· 21（2023· x2 22（2023·))中元素只有一个，则实数a组成的集合 PAGE18/PAGE18/ 复a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，az的实部，bz的虚部(i为（b＝0，（a＝0，b≠0，

共轭复数：a＋bi与c＋di共轭 |z|

1.z1abi,z2cdi(a,b,cdR)z1z2abi)cdiacbd)iz1z2abi)cdiacbd)iz1z2abi)cdiacbdadbc)i

abi(abi)(cdi)acbd(bcad)i(cdi (cdi)(c

c2di （1（2020· 4 D．2（2（2023· –3

3

1i

31i（3（2023·i

1i

1（2020· 1 2（2020· 3（2020·（1–i）4=（ 4（2023·

1 1

A．11

B．11

C．1

D．1 【例2（2023·江苏·高考真题）若复数z满足1iz3i，则z的虚部等于 1（2020·复数1

2（2020· PAGE19/PAGE19/3（2023·

4（2023·

（1（2020· （2（2023·

1（2023· 1 2（2023·1

3（2023·z满足条件的复数：z 2（1（2023· （2（2023·

=（

（3（2023· （4（2023·PAGE20/PAGE20/ 1（2023· 2（2023·

3（2023·

4（2023·

5（2023· 1（2020· 1

2

1

22（2020· 3（2020·

4（2023· 1

1

1

15（2023· 6

4

6

46（2023· 13

13

3

37（2023·

PAGE21/PAGE21/8（2023·1A．i 9（2023·四川达州·一模（理复数z满足zi1i2，则z（

10（2023·山东文登·高三期中）已知aR，若a12a1)iR（i为虚数单位，则a

11（2023· 112（2023·

1

z2yx则z1z2

13（2023·

3

，则z

D．14（2023· 15（2023·z（ 13

13

31

31516（2023·

17（2023·

z 6

1 PAGE22/PAGE22/

18（2023· 1

19（2023· 20（2023· 2

1（2023·

2（2023· A．12i的虚部是 B．|12iC．12i的共轭复数是1 14（2023·1则zz

1

，zz

5（2023·1 6（2023· A．2

B．2

C．5

D．57（2023· A．a0，b

B．a0，b

C．a

D．bPAGE23/PAGE23/8（2023·江苏海安·高三期中）已知2i3是关于x的方程x26xq0(qR)的一个根，则 9（2023· A．1

B．1

C．1

D．110（2023·湖南·雅礼中学高三阶段练习）复数abi与cdi（其中a,b,c,dR，i为虚数单 A．adbc

B．acbd

C．ac

D．ad11（2023·abab是纯虚数”的 12（2023·

32iz42i对应的点分别为Z1，Z2，Z3，Z4，则其中一个点不在以原点为圆心，半径为

13（2023· 1i

是“a1”的 14（2023·非零复数a，b，下列式子仍然恒成立的是（ a2aC．a2

a1aba15．（2020·全国·高考真题（理设复数z1，z2满足|z1|=|z2|=2，z1z2 i，则|z1z2|=

zz1z1z在复平面内对应的点的轨迹为圆PAGE24/PAGE24/z3i的虚部为iz12i)2z对应的点位于第二象限17（2023·的点为Az2z21i2z2B为xy 复数z1的虚部为 B．(x1)2(y1)2C．z1z2的最大

D．z1

18（2023·（ i（i为虚数单位，

zAz0的虚部为

C．z

Dz

1z eicosisin（R）.根据欧拉公式，下列说法正确的是（

4i

与

20（2023· z1z2z1zzz2 z1z2z1z2z1z2z1z2PAGE25/PAGE25/ p⇒qpq的充分条件，qppqp⇒qqAÜpqpqBÝpqpqp⇏qq⇏A⊈BA⊉【例1（2023·陕西礼泉）设命题p:nN*,n22n3，则命题p的否定是 A．nN*,n22nC．nN*,n22n

B．nN*,n22nD．nN*,n22n1（2023· A．x0,x22x3C．x0,x22x3

B．x0,x22x3D．x0,x22x32（2023· x00，tanx0sinC．x0，tanxsin

x00，tanx0sinD．x0，tanxsin3（2023· 【例2-1（2023·江苏·邵伯高级中学高三阶段练习）已知命题p:xR,x22xa0为假命题，则实数a的取值范围是（ A．a

B．a

C．a

D．a 【例2-2（2023·云南师大附中）如果命题“xR,使得x2a1x10”是假命题，那么实数a

3,

1（2023· a[0,

a(0,

a

a3（2023· 充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 【例3-1（2023·天津·高考真题）已知aR，则“a6”是“a236”的 【例3-2（2023·福建省泉州第一中学高三期中）1943年19岁的曹火具在平西根据地进行改名为《没有共产党就没有新中国．2023年是中国共产党建党100周年，仅从逻辑学角度 1（2023· 2（2023·x 3（2023·）已知abR，i为虚数单位，则ab”是“复数abab是纯虚数 PAGE28/PAGE28/4（2023· 考点四充分必要条件的选择 A．-1 D．-1 1（2023· A．x

B．x

C．x

D．x2（2023·云南师大附中）复数abi(a,bR)与1i之积为实数的充要条件是 A．a=b=C．ab

B．abD．ab3（2023·A．a

B．a

C．a

D．a【例5（2023·河南）若“ax|a|1”是“x2x60”的充分不必要条件，则a的取值范 2a

2a

2a

2a1（2023· aC．a

aD．a2（2023·吉林）设p:2x23x10，q:x2(2a1)xa(a1)0，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（

B．0,1

(,0]∪1,

D．(,0)∪1,

2

3（2023·分不必要条件，则实数a的取值范围为（ A．,

PAGE29/PAGE29/1（2023· 2（2023· A．该命题为假命题，其否定是xRtan2x4B．该命题为假命题，其否定是xRtan2x4C．该命题为真命题，其否定是xRtan2x4D．该命题为真命题，其否定是xRtan2x43（2023· 4（2023·天津蓟州·高三期中）设aR，集合Mxxx30，Nxx11,，那么“aM”是“aN”的（ x x5（202·

1”是“x2”的 6（2020·天津·高考真题）设aR，则“a1”是“a2a”的（ 7（2020· A．10且3C．xR，cosx

B．12或4D．xR，x28（2023·

9（2023·陕西·长安一中高三阶段练习（理已知abR，则ab0”是a2b2 A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 PAGE30/PAGE30/10（2023· 11（2023· 12（2023· 13（2023· 3”是“C”的 14（2023· 15（2023·四川省资中县第二中学）设p：x0，q：2x8，则p是q的（ 16（2023·“x

1”的 17（2023·:不充分条件，则实数a的取值范围是

x

1.p是q

mx22x18（2023·mx22x A．mC．m

B．mD．m

的定义域为RPAGE31/PAGE31/1（2020· 2（2023·新疆·伊宁市第一中学）命题“已知a1，若x0，则ax1”的否命题为 A．已知0a1x0，则axC．已知a1x0，则ax

B．已知a1x0，则ax已知0a1x0，则ax3（2023·河南宋基信阳实验中学）已知命题p：xR，tanxsinx1，则p是 xR，tanxsinxC．xR，tanxsinx

xR，tanxsinxD．xR，tanxsinx4（2023· 5（2023·山东泰安·高三期中）已知a0且a1，则“a2”是“loga21”的 6（2023·河南·高三阶段练习（文）“ab”是“ab”的（ 7（2023·m1x2y20垂直”是“m2”的 8（2023·河南）已知非零向量aba3b3abab是ab 9（2023·“

3x3x

10（2023·浙江省三门中学高三期中）ab2aba2b是ab 11（2023· A．x2y2C．2x2y

B．lnxlnyD．xyyx12（2023· A．kC．k

或k

B．kD．k

或k13（2023·山西·怀仁市第一中学校）已知m0，p2x6，q2mx2m A．0mC．0m

B．m14（2023·命题p成立的一个充分不必要条件可以是（ A．a4,

B．a4,D．a,15（2023··（ A．aC．a

B．aD．a16（2023·广东·广州市番禺区实验中学多选）若函数f(x)4x2kx8在[5,20]上具有 A．k(,40]∪[160,C．k(,

B．k(,40)∪(160,)D．k(160,)17（2023·PAGE33/PAGE33/ A．a2

B．1

C．ac2

D．ab18（2023· PAGE34/PAGE34/ 终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角αS＝{β|β＝α＋ rad，1rad＝π°≈57°18′S＝1 r(r＝sinα＝y，cosα＝x，tan sincostan

sin

＝tan

costanα＝sinα的变形公式：sinα＝cosαtanα；cosα＝sincos tanl＝|α|·r

＝

＝|α|·r中的α B．10化成度是﹣600 D．化成度是15 1（2023·

2（2023·（2）（3）PAGE36/PAGE36/

1（2023· 2（2023· 3（2023· 开始计时，则点P第一次到达最高点需要 5（2023·若，R=10cm，求：

PAGE37/PAGE37/

（2023·

1（2023·半轴重合，终边上的一点P的坐标为(1,2)，则sin（ 2

2

2（2023· 3 tan 3（2023· 2 4（2023· 4

4 （2023· Asin0且cosCsin0且cos

Bsin0且cosDsin0且cos（2023· PAGE38/PAGE38/1（2023· 2（2023· 3（2023·黑龙江·铁人中学高三阶段练习（理若tan0，则（

sin

（2023·

1（2023·cos

3（2023· 【例6-1（2023·陕西·西安中学高三阶段练（理若tan2则cos2sin2

-

（2023·

C．

D．PAGE39/PAGE39/1（2023·

B．-

2（2023· 2sin3（2023·山东泰安·高三期中）若cos2sin5,则 C．

4（2023· 2

D．tan

sincos

7-2（2023·福建·三明市第二中学高三阶段练习）已知sincos4，,则sincos

4 4

4 为 1（2023·

2（2023·）sin2cos2

PAGE40/PAGE40/3（2023· 4（2023·

，且π<α5cosα－sinα的值为．1（

D．

3（2023· 4（2023·重合，终边上的一点P的坐标为1,3，则cos（ 3

35（2023·

-

，则tan的值为

7（2023·

8（2023· A．

B．

C．

PAGE41/PAGE41/9（2023·

1cos2sin2a

10（2023·

sin2cos2cos2

C．

11（2023·

则等于 A．-

C．-

12（2023·黑龙江实验中学高三阶段练习）sinθ＋cosθ＝4(0sinθ－cos A．

B．－13（2023·上海市建平中学高三阶段练习已知点Ptan,sin在第三象限则角（ ；（3） （9）2 （精确到1度 2 15（2023· （3）－60°= （7135°= 16（2023·一点P的坐标是(3a,4a)，其中a0，则cos的值是 17（2023·, PAGE42/PAGE42/ Psin

18（2023·

的终边经过点

4 则sin 19（2023· 20（2023·

4 1（2023·

2（2023· 3（2023·

4（2023·

1.414

1.732A．1.012 B．1.768 C．2.043 D．2.9455（2023·

6（2023·合始边均与x铀的非负半轴重合它们的终边关于y轴对称若cos2则cos

7（2023·重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线3xy0上，求角余弦值为（ 3

3

8（2023·

9（2023·

PAGE44/PAGE44/10（2023·

cos2sin2cos2sin

11（2023·黑龙江）若sin，cosx的方程4x22mxm0的两个根，则m 1 B．1 C．1 12（2023·

1

113（2023·22 3

C．3C．314（2023·

-

sin2xsinxcos2xsinx15（2023·

sin2

16（2023·江苏省镇江中学高三阶段练习）若tan2，则sincos 1sin

17（2023· A．0和

718（2023·

cos PAGE45/PAGE45/tan

sincos19（2023· tan2

sincos sincos

sin(2π)34 20（2023·

1 525 ,，B5,5，又,0,， 2 cosAOB 21（2023· PAGE46/PAGE46/05sin－sinsin－sincoscoscoscos－cos－cossin－sintan－tan－tantan②kk为偶数， cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsin cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsin “同名相乘sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsin sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsin tan(α－β)＝tanα－tan1＋tanαtan

tan(α＋β)＝tanα＋tan “上同号11－tanαtansin2α＝2sinαcosα↔1sin2α＝sinαcoscos2cos2=1＋cos2cos2

2sin2=1－cos2sin2

PAGE47/PAGE47/tan2α＝2tan（1（2023·

cos

2sin（2（2023

1（2023· 2 cos= 2 2（2023 -

3（2023

-4（2023·

（1）sin11cos29cos11sin29PAGE48/PAGE48/（2）cos24cos69sin24sin111（3）sin222.5cos222.52sin15cos151sin153cos15 （6）3sin151cos15 1（2023· 2（2023·河南）计算：sin11002sin100 3（2023·

4

4.（2023·河南）y5（2023·

3sinxcosx （1）cos100cos40sin80sin40（2）cos80cos55cos10cos35（3）2sin15 2 （4）2sin15 2 PAGE49/PAGE49/ 3-1（2023·全国·高一课时练习）已知

，则

2

2 6 6

【例3-3（2023·福建·福州三中模拟预测）已知sin(4，则cos(

-

3 12 3

3

则cos 2

2

252

2

1（2023· 2

3 cos 2（2023

6)＝－5则sin 6 A．－7

－

3（2023·

PAGE50/PAGE50/

cos80∘sin10∘

1（2023· sin

sin32（2023

sin122cos212

3（2023·sin10cos

51，则cos108 4（2023· 1（2023·

B．

D．2（2023· A．

B．

3（2023· 2A．

D．4（2023· A．4

D．45（2023·河南·高三阶段练习（理已知sin373，则cos593

B．-

D．PAGE51/PAGE51/6（2023· 5

B．

7（2023·

-8（2023 6 3

9（2023·

10（2023·原点，若角的终边经过点(3,4)，则sin() 11（2023· 12（2023 2 13（2023·

，则 sin 14（2023 15（2023· sin2sin21cos2

16（2023·

23 2 18（2023· PAGE52/PAGE52/19（2023·定点A，若角终边经过点A，则sin2sin3 2 20（2023· 4 sinsin1（2023·

2（2023·四川泸州）已知cosx1，则sin2x 4 A．

C．

3（2023· 2

C．2

D．24（2023·） A．

B．

C．

cos

cos5（2023·全国·高三阶段练习）已知k4，且cos

6（2023· 4

2

27（2023·Mtan3

1cos,23

6

1或 B．

PAGE53/PAGE53/8（2023·

1

9（2023·点Pcos15∘sin15∘,cos15∘sin15∘，则tan（

10（2023 6 2 6A．

B．

C．

11（2023的夹角为，则cos2（

B．2

D．212（2023

D．713（2023· 5， 14（2023· 3 cos2x 3 15（2023· 6 6 16（2023·江苏省泰兴中学高三期中）已知sinx1，且0x PAGE54/PAGE54/ x) x) 17（2023·辽宁大连·高三阶段练习）若sin25sin10，且ππ 3

18（2023·

2 （2）4cos50tan40PAGE55/PAGE55/06y＝siny＝cosy＝tan 1x＝2kπ， 2π2π kπ＋PAGE56/PAGE56/

xx∈[0,2π]

||y＝Asinωxy＝Asin(ωx＋φ)的图象时，ω而不是|φ|，x1PAGE57/PAGE57/φ＝kπ(k∈Z)φ＝kπ＋π(k∈Z) 1（2023·河南宋基信阳实验中学）ysinxycosxycos2x 6 ④ytan2x中，最小正周期为的所有函数为 4 1（2023· 6 2（2023· 3（2023·|

，③ycos2xπ，④ytan2xπ 6 4 中，最小正周期为π的所有函数为 考点二 PAGE58/PAGE58/

0,3π

3π,24

4

f(x)cos(3πx)

3cos(xπ)的单调增区间为 C．π2kπ,2π2kπ,kZ

B．1,2

C．2,7

D．7,26

331（2023· 3 2（2023· y＝sin(2xC．y＝sin(x

y＝cos(2xD．y＝cos(x

423（2023·海南鑫源高级中学高二期中）y23sinxcosx2cos2xPAGE59/PAGE59/ 6 A．关于点6,0对 B．关于直线x C．关于点3,0对 D．关于直线x12对 于点,0对称，那么的最小值 1（2023·

A．

B．

C．

2（2023· A．最小正周期是 1C．一条对称轴是x D．一个对称中心是, 823（2023·河南）f(xsin2x2sinxcosx3cos2x在区间0, 2(m,n)，则mn的值为 C．

y sincos

B．ysinC．ytan

D．ysin2xcos1（2020· A．ysin2xπ B．ycos2xπ 2 C．ysin2xπ

D．y

2sinxπ 4 4 PAGE60/PAGE60/2（2023· 2 3（2023· A．ysin

B．ycos

C．ysin

D．ycos 65-1（2023·江苏连云港·高三期中）f(x2sinx 6

fxcos2x2sinx,x

值为

1（2023· 6 2（2023·北京市第四十三中学高三期中）f(x22cosxsin(xf()f

f

在区间[0,上的最大值和最小值．PAGE61/PAGE61/3（2023·f(x)cos2x2sin2x 3 2 f(xx,f(x34【例6（2023·广东·红岭中学高三阶段练习多选）下图是函数fxsinx的部分图像.则fx（ A．cos2x B．cos52x 6

sin2x 3

1（2023·PAGE62/PAGE62/fx在0,上的单调递减区间 22（2023· ysin2xcos2x的图象平移得到；2丁：该函数图象的一个对称中心为30 3（2023· 2

6

6 7-2（2023·江苏·邵伯高级中学高三阶段练习）y2sinx 3

D．1（2023· 4 图象，则gx（ A．sin3x B．sin6x

12 C．sin3x

D．sin6x 4 4 PAGE64/PAGE64/2（2023·陕西蒲城·高三期中（理将函数y3sin2x 46 A．,

B．,

3（2023· 1（2023·

y 3（2023·浙江·温州中学）下列函数①ysin2x

sinx；③ycos2x ④ytan2x；⑤ytanx；⑥ysinx中最小正周期为的函数的个数为 4 B．4 C．5 D．64（2023· 3A．0,

12

5 D．,1212 625（2023· PAGE65/PAGE65/6（2023·吉林·长春市第二十九中学）f(xsin(2xππ A．函数g(x)的图象关于点(π,0)对 B．函数g(x)的最小正周期为C．函数g(x)的图象关于直线xπ对 D．函数g(x)在区间[π,2π]上单调递 7（2023· 6 B．yfx的图像关于直线x对

f C．yfx的图像关于点 9,0对 D．在0,6单调递 8（2023· 2

A．关于点,0对 B．关于点6,0对 C．关于直线x对 D．关于直线x对 9（2023· 3 10（2023· 11（2023· 12（2023· PAGE66/PAGE66/（1）f2

3 14（2023·fx2cos2x23sinxcosx，xR 3 3 fx在区间m上的最大值为2，求m 2cos3x2cos2x2cos21（2022·

2cos2

2f(x 2（2023· 2 f

f

7

的最小正周期为

的图像关于点 ,0对 PAGE67/PAGE67/C．函数f(x)的图像关于直线x7对 D．函数f(x)在3,上单调递3（2023·

0 f 5③的图象的一个对称中心是 0 f ④在 ，上是减函数123 4（2023· 5（2023·（

3cos2x2sinxcosx fx的最小正周期为yfxxfx在π2π

π63y2cos2xπyfx6（2023·（ 6 上平移2个单位长度，得到函数g(x)的图象，则以下结论正确的是 g(x xg(xPAGE68/PAGE68/0g(x 7（2023·单位长度，可得到函数yfx图象，则 A．fxsin2xπ B．fxsin2x 3 6 C．fxcos2x

D．fxcos2x 6 3 8（2023·构成一个公差为f图象，则函数g(x)

g(x) 3,3,C．在,上是减函 D．在区间 42 39（2023· 3

4 在区间

32

10（2023·

11（2023·OO圆O:x2y21，下列说法正确的是()PAGE69/PAGE69/y1sinπxOykx3kxOk(22 12（2023· 2 6 PAGE70/PAGE70/13（2023·f(x2sinxcosx312sin2x(0的最小正周期是 2

14（2023

f(x图象的相邻两对称轴间的距离为f(x将函数f g(xgxm0在m12607a＝b＝c＝2RsinA sinB sinCsinA＝a，sinB＝b，sinC＝c a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；asinB＝bsinA，bsinC＝csinasinC＝csin cos cos S＝1a·ha(haa上的高S＝1absin 1acsin AAa＝bsinbsinPAGE72/PAGE72/1（1（2023·福建省大田县第一中学高三期中）在ABCA,B,C是abc，已知a2,b

6,B，则A

6（2（2023·边a的大小为

7CA．a

B．a

C．a

Da1或a1（2023·则c（

2（2023·西藏·拉萨那曲高级中学）设ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、bc，如果abcbcabc，则角A等于 3（2023·B60，C75，则b

4（2023·,,a26，b4，则角C 2（2023·宁夏·青铜峡市高级中学）在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、bc，已知abcosCcsinB，则B等于

D．PAGE73/PAGE73/1（2023·江西·贵溪市实验中学）在ABC中，已知sin2Bsin2Csin2A则角B的大小为

3sinAsinC2（2023·

63（2023·bsinA

3acosB0，a

6,b3，则C

【例3-1（2023·上海崇明·一模）在ABC中，已知a8,b5,c ，则ABC的面S 分别为a，b，c．已知b2，ca3，B2，则ABC的面积

1（2023·A60B45a

，则ABC的面积为

1 2（2023·福建省福州华侨中学高三期中在ABC中若b1，A60，ABC的面积为 则a（ 3（2023·则cosABC等于（

-

【例4-1（2023·天津二中高三期中）在△ABC中，若c2acosB，则三角形为 PAGE74/PAGE74/知cos2A2cosA30且满足a

1（2023·则ABC的形状为（ 2（2023·）abcabc3ac，2cosCsinB，则ABC为 sinA．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形3（2023·bcosAcsinBacosB，则ABC是（） 考点五三角形个数的判断则其中有二个解的是（）A．b10,A45∘,C B．a60,c48,BC．a5,b7,c1（2023·

D．a14,b16,A3，b3，A，则此三角形 2（2023· C．a=8，b82 3（2023·河南省实验中学（文在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知B45∘，a22，为使此三角形有两个，则b满足的条件是（ A．2b

B．0b

C．0b

D．b

或b4（2023· A．a8,b16,A30，有两 B．b18,c20,B60，有唯一C．a5,b2,A90，无 D．a30,b25,A150，有唯一2acosA=ccosB+bcosC．（2）若a

ABCS

3b+c1（2023·知csinAacosC 6 求角C若cosB

6c3，求ABC的面积2（2023·acosB(4cb)cosA求sinA若a2sinC

3（2023·且bsinA3acosB0若b ，ABC的面积为3，求ABC的周长1（2023· A．3A．3C．5D．62（2023·四川）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b ，csinC

3sinA，则sinA 2

D．3（2023·边分别为a,b,c，已知bcosCccosB2b，则a

4（2023·若ABC的面积等于1a2c2b2，则角B的大小为（ 5（2023· A．b10，A45，C B．a30，b25，AC．a7，b8，A D．a14，b16，A6（2023·c．若A，a ，b 7（2023·b2c2

8（2023·A120，则△ABC的面积 9（2023·依次成等差数列，且a

2,b ，则SABC 10（2023·BC 11（2023·a4b5c6，则sin2A12（2023·sinB2sinC，且a

14，A2，则c 13（2023·a2，b3，sinA2sinBcosC，则ABC的面积 14（2023·求A

3bcsinB

2，b 2条件②：cosB ，a 条件③：a1，b215（2023·c．已知a2b3c7C求sinA求sin2A 3 16（2023·为abc，且2asinB求角A

若a6bc8，求ABC17（2023·bcosA3bsinAac求ÐB若b3ac3，求ABC18（2023·①A

②cosB

③a

④b求ABC19（2023·

3asinB，②3bcosBCasinBasinCccosA 6 △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已 （1）求A若a ，bc4，求△ABC的面积1（2022·③c2，b ，B60；④c12，b12，C120．其中满足上述条件的三角形有两 2（2023· 3（2023· （1）a8b16A30，有一个解（2）b18c20B60a5c2A90a30b25A150A（1（2） B（2（4）C（1（2（3） D（1（2（4）q:ABC中，cos2Acos2B则命题p是命题q的 5（2023·则ABC是 6（2023·－cos

＋1，则△ABC为 7（2023· 8（2023·

asin

sin

sin

，则ABC

cos tan

tan

tan

，则ABC，则ABCDabc，则ABC 9（2023·2bcosCa2ccosB，b

2c，则cosC= 10（2023·b，c，若a2，bsinA ，c3，则b 11（2023·aacosBsinBbccosCsinA，则这个三角形 12（2023·求A若a

3cosB4，求ABC的周长13（2023·14（2023·）已知b2c1．（1）B45，求cosC（2）若a ，D是BC的中点，求AD的长15（2023·c3,2bac,A120求ABCDBC上，且BDA60BD的长度16（2023·别为abc，且满足3b2cbcosAa2b2c2．求cosA如图，点D在边AB上，且DBDC2,AC ，求△DBC的面积17（2023·ADAB，CD1，sinBAC3若AD ，求ACBD2CD，求tanB18（2023·全国·模拟预测）如图，在ABCsinA1AB23，D，EACECEBEDBCDE1求cosC求△ABEPAGE84/PAGE84/acsinacsin

MsinBa＝c

Msin法一：①利用正弦定理sin

＝sin

＝sin

(cC已知)a，b(如C角)与余弦定理建立已求角的两边(a与b)的二元二次关系，并进行配方成(a＋b)2＋kab＝c2(k为常数，c为已知)．②根据均值不等式a＋b≥

a＋ba＋b>ca＋b＋c的最值(或范围)．滨的标志性建筑．1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为 M（BMD三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15和60，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（） C．20 D．301（2023·建筑沿袭清光绪六年(1880年)重建时的形制与格局.因北宋滕宗谅重修岳阳楼，邀好友范仲AC，如图，测得DAC30DBC45，AB14米，则岳阳楼的高度CD约为

1.414

1.732 A．18 B．19 C．20 D．21姓的心中具有重要地位.如图，宝塔山的坡度比为73（坡度比即坡面的垂直高度和水平宽度的比A处测得CAD15，从A处沿山坡往上前进66mBB处测得CBD30，则宝塔CD的高为（） 3（2023·摄､环保监测等领域．如图，有一个从地面APB,C的视角为BPC，且tanBPC1BCD共线，且ADB90oBCCDDA1km，则无人机P到地面受灾点D处的遥测距离PD的长度是 A．C．A．C．

asinB

3bcosA若a

，求ABC（2023·）1（2023·sinAsinA51 6

6 A2（2023·(2bc)cosAacosC0求角A若a ，求bc最大值3（2023·山东日照·高三阶段练习）2asinBbtanAbacosC

3csinAa2c2b222c22bccosA三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答问题：已知ABCA，B，Ca，b，c，且aA求ABC面积的最大值

PAGE89/PAGE89/ f(x)在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(A) ，b2，ABC33，求a1（2023·山东·高三专题练习）在ABCA,B,C的对边分别为abc.

→ asinA61，向量b1cosA，且ab2 求角A若b4c5，求sin2B的值2（2023· 6

26PAGE92/PAGE92/区间,内的最大值 43 求m2在锐角ABCgC2

3，求tanAtanB的取值范围3（2023·大值为2fx的最小正周期为

设ABC的内角AB、C的对应边分别为a、b、cDAC的中点，若amBD

37，fB0，求ABC的面积 2

4（2023·江西f(x23sinxcosx2cos2x1x的对边分别为a、b、c，且 23a2 f(x)f(C)1abc

BCD90，ADB90，sinABD求sinACD求△ABE

5BD2ACBDE1（2023·cosADCAC求sinBAD的值2（2023·全国·高考真题）记ABC是内角ABC的对边分别为abc.已知b2ac，DACBDsinABCasinC.BDbAD2DC，求cosABC3（2023·ABBD，BD2若CD ，求△BCD的面积求21的取值范围 1（2023·

2（2023·高为30 鹤楼的高度CD 3（2023·c，且满足c2a2bccosA1ab求角C若c3ab的取值范围4（2023·sinA:sinB:sinC2a求cosC

，b 求sin2C 6 5（2023·在锐角ABC中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若fB0,b 3sinA2sinC0，求ABC的面积6（2023·求ÐBBC边上中线的长．c

条件②：ABC的周长为4 ABC337（2023· ABC的面积为33ACAD

ACBACD，求tanACD骣

f 求函数在区间,上的值域42在ABC中，角A，B，C，所对的边分别是a，b，c，若角C为锐角，fC 且c2，求ABC面积的最大值．9（2023·c，面积Sc2sinB(cosCcosB

若c1ABC的周长l的取值范围10（2023·且cosC2bc．求角A若ABC的周长为6，求ABC面积SPAGE96/PAGE96/1（2023·60°，则塔的高度CD约为（）m 2（2023·c，若1bsinCcosAsinAcosCa

3（2023·②sin2Asin2Bsin2C

3sinBcosAcosC0已知锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足 （1）B（2）若a1，求bc的取值范围4（2023·

f（A）3，a=2，求△ABC周长的取值范围PAGE98/PAGE98/ 1 5（2023· cos2x,n(f(x),1)，且mn2 已知ABCAB,CabcfA 12 BC ，求ABC面积的最大值f（x）=Asin（ωx＋φ（A＞0，ω＞0，x∈R都有 =2成立（6若锐角△ABCBf（B）=1，且∠Bb=1，求△ABCl的取值7（2023·重庆·临江中学高三阶段练习）已知m(123sinxn(2sin2x1cosx，fxmn其中01f4xfx. 在锐角ABCAB,C所对边分别为abcfB1且c1，求ABC8（2023·f(x)

f(x

3，fA 6 6

，求9（2023·

7，sinABD

21若BADBCD180BCCD的取值范围10（2023·asinBbsinA2ccosC 若sinA3，求cosB若ABC

，求边长c的最小值ca2若2sinC3sinA，求ABC是否存在正整数a，使得ABC为钝角三角形?a的值；若不存在，说明·=12（2023·ÐBACD若c2a△ABD6，求ABC若ABC2πBD4，求ABC13（2023·广东·珠海市第二中学模拟预测）f(xcos(xsinx利用“五点法”f(x在5 3abc分别是锐角ABC中角ABC的对边.若a

3，f(A)

PAGE100/PAGE100/14（2023· 4 设ABC的内角是A，B，CfA2A，ABCBDDBDCDADDC15（2023·

323

若ABC的外接圆的直径为23，且锐角A满足fA1 16（2023·ADCD2若△ACD的面积 ，求AB的值17（2023· 2 f(x)2在ABC中，角A､B､C的对边分别为a､b､cfA2a2，求2 18（2023·fx1cos4xsinxcosx1sin4x 2在ABCABCabcfA2

求b2c2PAGE102/PAGE102/19（2023·

csinBasinACBbsinBC0这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c （1）B（2）DACAD2DCBD2，求ABCPAGE103/PAGE103/09（三．数乘：求实数λ与向量a的积的运算1.数乘：|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当＝0时，λa＝0 向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.如果e1e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1e2叫做表示这一平面内所

是与a1（2023·全国·高三专题练习）设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a|a|a0；②若a与a0平行，则a|a|a0；③若a与a0平行且|a|1，则aa0，1（2023· ②若||＝||，则＝或＝ ③若a

2（2023·全国·高三专题练习）下列命题中正确的是 A．若ab，则a C．若a//b，b//c，则 D．若ab，bc，则a3（2023· → → → A．若a//b且b//c，则a/ B．abcacbrrrrrC．若abac，且a0，则b

D．abcab考点二 1 1 ①a5e1，b7e1；②a2e13e2，b3e12e2 ③ae1e2，b3e13e2 1（2023·e1e2 A．e1e2，e2C．2e2e1，2e2

B．e1e2，e1D．2e1e2，4e12（2023·全国）设e1e2是不共线的两个向量，则下列四组向量不能构成基底的是 Ae1与e1Ce12e2与4e2

Be12e2与e2De1e2与e13（2023· A．e1和e1 B．e12e2和e2C．e1e2和e1 D．e12e2和4e24（2023· A．a0，be1B．a3e13e2，be1C．ae12e2，be1D．ae12e2，b2e1则CB（ 3CD

1

1CD

3

1CD

3

3CD

1CA 【例3-2（2023·山东临沂·高三期中）如图，等腰梯形ABCD中，ABBCCD3AD，点E为线段CD上靠近D的三等分点，点F为线段BC的中点，则FE（ AB AB

54AC

13AB11AB

111AC 【例3-3（2023·安徽·合肥一中高三阶段练习（理在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，若AExAByAD，则xy（

1（2023· A．DEAB

AC

B．DE

ABPAGE107/PAGE107/ C．DEAB

3

D．DE

ABAC2（2023·为BC的中点，则AE（ 2AB

1

1AB

2

2AB

1

1AB

2AD 3（2023·

AE2

FABBE与CFOAO

AByAC，则

y

4（2023·ACM，N两点（NC不重合xABAMyACAN11 4-1（2023·全国·高三专题练习）已知向量abABa2b,BC5a6b,CD7a2b，则一定共线的三点是

2023·a，bm4a5

n2a

1（2023·CBe13e2，CD2e1e2，若A，B，D三点共线，则k PAGE108/PAGE108/2（2023·的方向相反，则实数k 3（2023·江苏镇江·高三期中）已知非零向量 不共线，若AB→b，BC

→3b

a, →kb，且A，C，D三点共线，则k 4（2023·全国·高三专题练习）设两个非零向量a与b ABabBC2a8bCD3ab，求证：A，B，D

bkbAM

1AB

1AC，则ABM与BCM的面积之比为（）

1（2023·满足5AMAB3AC，则ABC与ABM的面积之比为（

2（2023·OA2OB3OC0，则OAC的面积与OAB的面积之比是

1（2023· DC4e2

等于 PAGE109/PAGE109/

2（2023· 3（2023·安徽·）如图，在ABCAD2DB，P为CD APmAC

1AB(mR)，则m的值为（

4（2023·

ABak CB2a

，若A,B,D三点共线，则实数k的值等于 CD3a CD3a 25（2023·河南信阳）在ABC中，AE3EC，D是BE上的点，若ADxAB3AC，则实数x的值为（

6（2023·BCBA2BP，则 PAGE110/PAGE110/A．PAPBC．PCPA

B．PBPCD．PAPBPC7（2023·CB2BE，则DE AB

ABAB

3

AB

38（2023·CE 1 1a

1 2a 1a

1 5a 9（2023· a//b,b/所有单位向量都相 B．若a//b,b/C．存在两个不能成为基底的单位向 D．若→bb→，则a10（2023·ABBCCD3ADE为线段CD上靠近CFBCFE AB

5

11AB

11AC AB

4AC

1AB

5 11（2023· PAGE111/PAGE111/ABBCC．ABBCCDDA

ABACD．ABDCAC12（2023· ，

DE

AB

AC

DC3

AE2 b

a C．a

D．b 13（2023· A．QCQP C．ABPCBA

B．ABPAD．PAAB

214（2023·数x的值为 1（2023·河南）在ABC中，BC7，AC8，M为AB的中点，CQ2QA，BQ交CM于N，则CNAB（ PAGE112/PAGE112/

2（2023·

BC，AE

ACADBEP

3．2023· ACb，AFxayb，则12的最小值为

C．6

4（2023· C．边AB D．边AC5（2023· ABADABAD0，则这个四边形是 6（2023·满足OAOB(1)OC0，若OAC的面积与OAB的面积比值为1:4，则的值为 7（2023·

ACab(，R)，那么A，B，三点共线的充要条件为

PAGE113/PAGE113/ 8（2023· → 9（2023· PDEAPxAByAC

xy的值可以是

11（2023·（

|a||b

aB．若 ，且 ，则 abb

a

b CabbcaD．若 ，则 a

|ab||ab12（2023·含端点若ADmABnAC，则41的最小值 13（2023·BDAE

ABmAC，则实数m的值为 14（2023· 1 ADC60E是CD的中点，CF

CB，GEFAG

PAGE115/PAGE115/10设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x＋x，y＋y)，a－b＝(x－x，y－y)，λa＝(λx，λy)，|a|＝A(x1，y1)，B(x2，y2)，则→＝(x2－x1，y2－y1)→＝

设a＝(x1，y1)b＝(x2，y2)，其中a≠0ab共线⇔x1y2－x2y1＝0. 已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向

记作a·|a|cosθa在b|b|cosθb在a数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·caba＝λb⇔x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)b＝(x2，y2)aaba·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，其中a＝(x1，y1)b＝(x2，y2)ab为cosθ＝a·b(θ为向量a，b的夹角)，其中ab|a|＝a2＝x2＋y2，其中a＝(x，y)a①消去律，即a·b＝a·c⇏b＝②结合律，即a·b)·c⇏a·b·ca·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能aa·b＝a·ca≠0)不能推出b＝c 若ab，则

3

→ A．m

B．ab,

C．c

D．bc 1（2023·福建龙岩·高三期中）已知向量a0,4，b2,6，cx,2，若a2b//c，则x（

2（2023·广东·红岭中学高三阶段练习）xR，向量a2x，b32，且→ ab

3（2023·PAGE117/PAGE117/则x（

4（2023·重庆巴蜀中学高三阶段练习多选）→4,2),b2,t) Abt

a/B．当 时，ta/Ca与bt的取值范围为(4

D．当t2时，a在b2-1（2023·江西·景德镇一中）己知向量aba则a与b的夹角

3b2，且a(abCEEB，则AEBD 1（2023·山西吕梁）已知非零向ab满足|a2b||ab|，且ab3，则向量b

2（2023·陕西·长安一中高三阶段练习（理a3b3，且(2aba4b)|2ab|的值为

3（2023·

则a2b 4（2023·陕西·西安中学已知向量m,n满足|m|4,|n|2,|m2n|4则向量m在向量n方

=点D为斜边BC的三等分点，且AM2AD，则MCMB P为线段AB上一点，则|PBPC|的最小值 1（2023·

Q，则OAOQOP PAGE118/PAGE118/

B．

C．

D．2（2023·，轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，APBD的最大值为（

C．6 →

12 →3（2023·→则ac的最小值为 3

7

),f(x)f(x)( 1（2023·,( 若|OAOB||AB|，则 A．

B．

C．

2（2023·广东·执信中学高三期中（多选）已知向量a Ab，则B．若b在a上的投影为1，则向量a与b

| |aDb3（2023·江苏海安·高三期中）设向量m(cosx,sinx),n(3,4)，若x时，mn取得最小值，则tan 4（2023·上海闵行·一模）xRm2cosx23sinxn(cosxcosxf(x)mnyfx设△ABC的三个内角A､B､C的对边分别为a､b､c，当xA时，man，且c2 求△ABC的面积.1（2