函数的单调性和奇偶性教学案

...wd......wd......wd...2.3函数的单调性和奇偶性[教学目的]⒈使学生了解增函数、减函数的概念，掌握判断函数增减性的方法步骤；⒉使学生了解奇函数、偶函数的概念，掌握判断函数奇偶性的方法.[重点难点]重点：函数的单调性、奇偶性的有关概念；难点：证明或判断函数的单调性或奇偶性.[教学设想]1.教法:2.学法:3.课时:4课时§2.3.1函数的单调性[教学目的]使学生了解增函数、减函数的概念，掌握判断某些函数的增减性的方法；[重点难点]重点：函数单调性的有关概念；难点：证明或判断函数的单调性.一、复习引入⒈复习：我们在初中已经学习了函数图象的画法.为了研究函数的性质，我们按照列表、描点、连线等步骤先分别画函数y=x2和y=x3的图象.y=x2的图象如图1，y=x3的图象如图2.⒉引入：从函数y=x2的图象〔图1〕看到：图象在y轴的右侧局部是上升的，也就是说，当x在区间[0，+)上取值时，随着x的增大,相应的y值也随着增大，即如果取x1,x2∈[0，+)，得到y1=f(x1),y2=f(x2),那么当x1<x2时，有y1<y2.这时我们就说函数y=x2在[0,+)上是增函数.图象在y轴的左侧局部是下降的，也就是说，当x在区间〔-，0〕上取值时，随着x的增大，相应的y值反而随着减小，即如果取x1,x2∈〔-，0〕，得到y1=f(x1),y2=f(x2),那么当x1<x2时，有y1>y2.这时我们就说函数y=x2在(-,0)上是减函数.函数的这两个性质，就是今天我们要学习讨论的.二、学习、讲解新课⒈增函数与减函数定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2.⑴假设当x1<x2时，都有f(x1)<(fx2),那么说f(x)在这个区间上是增函数〔如图3〕；⑵假设当x1<x2时，都有f(x1)>(fx2),那么说f(x)在这个区间上是减函数〔如图4〕.说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数y=x2〔图1〕，当x∈[0,+)时是增函数，当x∈(-,0)时是减函数.⒉单调性与单调区间假设函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有〔严格的〕单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.说明：⑴函数的单调区间是其定义域的子集；⑵应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数〔或减函数〕，例如，图5中，在x1,x2那样的特定位置上，虽然使得f(x1)<(fx2)，但显然此图象表示的函数不是一个单调函数；⑶除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的“f(x1)<(fx2)或f(x1)>(fx2)〞改为“f(x1)(fx2)或f(x1)(fx2)〞即可；⑷定义的内涵与外延：内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况；外延：①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减.②几何特征：在自变量取值区间上，假设单调函数的图象上升，那么为增函数，图象下降那么为减函数.⒊例题评价例1图6是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，函数y=f(x)是增函数还是减函数.解：函数y=f(x)的单调区间有[-5，-2)，[-2，1)，[1，3)，[3，5]，其中y=f(x)在区间[-5，-2)，[1，3)上是减函数，在区间[-2，1)，[3，5]上是增函数.说明：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；另外，中学阶段研究的主要是连续函数或分段连续函数，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以；还要注意，对于在某些点上不连续的函数，单调区间不包括不连续点.练习：课本P60练习：1.答案：f(x)的单调区间有[-2,-1]，[-1,0]，[0,1]，[1,2]；f(x)在区间[-2,-1]，[0,1]上是增函数，在区间[-1,0]，[1,2]上是减函数.g(x)的单调区间有[-,-/2]，[-/2,/2]，[/2,]；g(x)在区间[-,-/2]，[/2，]上是减函数，在区间[-/2，/2]上是增函数.说明：要了解函数在某一区间是否具有单调性，从图象上进展观察是一种常用而又较为粗略的方法，严格地说，它需要根据增〔减〕函数的定义进展证明，下面举例说明.例2证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数.证明：设x1,x2是R上的任意两个实数，且x1<x2，那么f(x1)-f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2)=3(x1-x2),由x1<x2,得x1-x2<0,于是f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).∴f(x)=3x+2在R上是增函数.练习：判断函数f(x)=-3x+2在R上是增函数还是减函数并证明你的结论.解：设x1,x2∈R，且x1<x2，∵f(x1)-f(x2)=(-3x1+2)-(-3x2+2)=3(x2-x1),又x1<x2,∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).∴f(x)=-3x+2在R上是减函数.例3证明函数f(x)=1/x在(0,+)上是减函数.证明：设x1,x2是(0,+)上的任意两个实数，且x1<x2，那么f(x1)-f(x2)=(1/x1)-(1/x2)=(x2-x1)/x1x2,由x1,x2∈(0,+)，得x1x2>0,又由x1<x2,得x2-x1>0,于是f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).∴f(x)=1/x在(0,+)上是减函数.练习：判断函数f(x)=1/x在(-，0)上是增函数还是减函数并证明你的结论.解：设x1,x2∈(-，0)，且x1<x2，∵f(x1)-f(x2)=(1/x1)-(1/x2)=(x2-x1)/x1x2,由x1,x2∈(0,+)，得x1x2>0,又由x1<x2,得x2-x1>0,∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).∴f(x)=1/x在(-，0)上是减函数.能否说函数f(x)=1/x在(-，+)上是减函数答：不能.因为x=0不属于f(x)=1/x的定义域.说明：通过观察图象，对函数是否具有某种性质，作出一种猜测，然后通过推理的方法，证明这种猜测的正确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法.⒋目标检测⑴判断函数f(x)=kx+b在R上的单调性，并说明理由.⑵课本P60练习：4.解：⑴设x1,x2∈R，且x1<x2，那么f(x1)-f(x2)=(kx1+b)-(kx2+b)=k(x1-x2).假设k>0，又x1<x2,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).∴f(x)=kx+b在R上是增函数.假设k<0，又x1<x2,∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).∴f(x)=kx+b在R上是减函数.⑵设x1,x2∈(0,+)，且x1<x2，∵f(x1)-f(x2)=(x12+1)-(x22+1)=x12-x22=(x1+x2)(x1-x2).∵0<x1<x2,∴x1+x2>0，x1-x2<0，∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).∴f(x)=x2+1在(0,+)上是增函数.三、小结⒈讨论函数的单调性必须在定义域内进展,即函数的单调区间是其定义域的子集,因此讨论函数的单调性,必须先确定函数的定义域;⒉根据定义证明函数单调性的一般步骤是：⑴设x1,x2是给定区间内的任意两个值，且x1<x2；⑵作差f(x1)-f(x2)，并将此差式变形〔要注意变形的程度〕；⑶判断f(x1)-f(x2)的正负〔要注意说理的充分性〕；⑷根据f(x1)-f(x2)的符号确定其增减性.四、布置作业(一)复习：课本P58-60内容，熟悉稳固有关概念和方法.(二)书面：课本P64习题2.3：1—3做在课本上；4题做在作业本上.答案：⒈--⒊见下一节；⒋⑴f(x)=(x-5/2)2-1/4是以(5/2,-1/4)为顶点、对称轴平行于y轴、开口向上的抛物线〔如图〕;它的单调区间是(-,5/2]与[5/2,+);它在(-,5/2]上是减函数，在[5/2,+)上是增函数.证明：设x1<x25/2,那么f(x1)-f(x2)=x12-x22-5(x1-x2)=(x1-x2)(x1+x2-5).∵x1<x25/2,∴x1+x2<5，x1-x2<0，∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).∴f(x)=x2-5x+6在(-,5/2]上是减函数.类似地，可以证明f(x)在[5/2,+)上是增函数.⑵f(x)=-x2+9的图象是以(0,9)为顶点、y轴为对称轴、开口向下的一条抛物线〔如图〕；它的单调区间是(-,0]与[0,+)，它在(-,0]上是增函数，在[0,+)上是减函数.证明：设x1<x20,那么f(x1)-f(x2)=-x12+x22=(x1-x2)(x2-x1).∵x1<x20,∴x1+x2<0，x2-x1>0，∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).∴f(x)=9-x2在(-,0]上是增函数.类似地，可以证明f(x)在[0,+)上是减函数.(三)思考题：(四)预习：课本P64-65习题2.3:5，6.§2.3.2习题课[教学目的]使学生进一步稳固函数单调性的概念，熟练掌握证明函数单调性的方法和步骤；初步了解复合函数单调性的判断方法.[重点难点]重点：证明函数单调性的方法步骤.难点：复合函数单调性的判断方法.[教学过程]一、复习提问⒈什么叫做增函数什么叫做减函数什么叫做单调区间⒉检查上节布置的作业：P64习题1—3.答案：⒈⑴当m>0时，函数y=mx+b在(-，+)上是增函数；⑵当m<0时，函数y=mx+b在(-，+)上是减函数.⒉函数y=k/x(k0)y=kx(k0)k>0k<0k>0k<0单调区间{x|x0}{x|x0}(-，+)(-，+)单调性减函数增函数增函数减函数⒊⑴当a>0时，函数y=ax2在(0，+)上是增函数；⑵当a<0时，函数y=ax2在(0，+)上是减函数.二、学习、讲解新课⒈课堂练习：课本P64-65习题2.3:5，6.补充题：求函数f(x)=x2-2ax+3在(-2,2)内的单调性.⒉教师巡回辅导，根据学生中出现的共性问题，进展矫正讲解，重点放在证明函数单调性的方法步骤上.答案与提示：习题5：设x1<x2<0,那么f(x1)-f(x2)=(-x13+1)-(-x22+1)=(x23-x13)=(x2-x1)(x22+x1x2+x12).∵x1<x2<0,∴x2-x1>0，x22+x1x2+x12>0,∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).∴f(x)=-x3+1在(-,0)上是减函数.当x∈(0,+)时，f(x)=-x3+1也是减函数，证法同上.习题6：⑴设x1<x2<0,那么f(x1)-f(x2)=x12-x22=(x1-x2)(x1+x2).∵x1<x2<0,∴x1-x2<0，x1+x2<0，∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).∴f(x)=x2+1在(-,0)上是减函数.⑵设x1<x2<0,那么f(x1)-f(x2)=〔-1/x1〕+〔1/x2〕=(x1-x2)/x1x2.∵x1<x2<0,∴x1-x2<0，x1x2>0，∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).∴f(x)=1-(1/x)在(-,0)上是增函数.补充题：∵f(x)=x2-2ax+3=(x-a)2+3-a2,∴假设a-2,那么f(x)在(-2,2)内是增函数；假设-1<x<2,那么f(x)在(-2,a]内是减函数，在[a,2)内是增函数；假设a2,那么f(x)在(-2,2)内是减函数.⒊举例例函数f(x)在R上是增函数，g(x)在[a,b]上是减函数，求证：f[g(x)]在[a,b]上是减函数.证明：设x1,x2∈[a,b],且x1<x2，∵g(x)在[a,b]上单调递减，∴g(x1)>g(x2),又f(x)在R上递增，而g(x1)∈R，g(x2)∈R，∴f[g(x1)]>f[g(x2)],∴f[g(x)]在[a,b]上是减函数.问：假设将上例中的条件“函数f(x)在R上是增函数〞换成“函数f(x)在R上是减函数〞，其他条件不变，那么f[g(x)]在[a,b]上的增减性又若何〔答：f[g(x)]在[a,b]上是增函数〕说明：讨论复合函数单调性的根据是：设y=f(u),u=g(x),x∈[a,b],u∈[m,n]都是单调函数，那么y=f[g(x)]在[a,b]上也是单调函数.⑴假设y=f(u)是[m,n]上的增函数，那么y=f[g(x)]的增减性与u=g(x)的增减性一样；⑵假设y=f(u)是[m,n]上的减函数，那么y=f[g(x)]的增减性与u=g(x)的增减性相反.复合函数单调性的规律见下表：y=f(u)增↑减↓u=g(x)增↑减↓增↑减↓y=f[g(x)]增↑减↓减↓增↑以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减〞或“同增异减〞.三、小结⒈证明函数的单调性，基本上都是利用定义，以同一种格式来进展，方法步骤就是前一节我们总结的四点：⑴设x1,x2是给定区间内的任意两个值，且x1<x2；⑵作差f(x1)-f(x2)，并将此差式变形〔要注意变形的程度〕；⑶判断f(x1)-f(x2)的正负〔要注意说理的充分性〕；⑷根据f(x1)-f(x2)的符号确定其增减性；简述为“设点，作差，判断正负，下结论〞.要防止证明过程中的似是而非、模糊不清的毛病.⒉讨论复合函数单调性的根据是：设y=f(u),u=g(x),x∈[a,b],u∈[m,n]都具有单调性，那么y=f[g(x)]在[a,b]上也既有单调性.⑴假设y=f(u)是[m,n]上的增函数，那么y=f[g(x)]的增减性与u=g(x)的增减性一样；⑵假设y=f(u)是[m,n]上的减函数，那么y=f[g(x)]的增减性与u=g(x)的增减性相反.四、布置作业(一)复习：课本和课堂上的有关内容，熟练掌握有关概念和方法.(二)书面：课本P65习题2.3：10.补充题：函数f(x)在区间(-,+)内是增函数，a,b∈R.⑴证明命题“如果a+b0,那么f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)〞;⑵判断⑴中的逆命题是否正确并证明你的结论.答案与提示：习题10：设-<x1<x2(-b/2a),那么f(x1)-f(x2)=ax12+bx1+c-(ax22+bx2+c)=a(x12-x22)+b(x1-x2)=(x1-x2)[a(x1+x2)+b].∵-<x1<x2-b/2a,∴-<x1+x2<-b/a，又a<0，∴a(x1+x2)+b>0，又x1-x2<0，∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).∴f(x)=ax2+bx+c(a<0)在(-,-b/2a]上是增函数.补充题：⑴证明：∵a+b0，∴a-b，又f(x)在(-,+)内是增函数，∴f(a)f(-b)，同理由b-a,得f(b)f(-a)，∴f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)，∴原命题得证.⑵⑴中命题的逆命题是正确的.即“如果f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)，那么a+b0〞是真命题.证明：假设a+b<0，那么a<-b，由f(x)在(-,+)内递增可得：f(a)<f(-b),同理可得f(b)<f(-a),即f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),这与f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)矛盾，故假设不成立，命题得证.(三)思考题：讨论函数f(x)=ax/(x2-1)(-1<x<1)的单调性.(练习册P27A组：三，1)解：设-1<x1<x2<1,那么f(x1)-f(x2)=ax1/(x2-1)-ax2/(x2-1)=[a(x1x2+1)(x2-x1)]/[(x12-1)(x22-1)].∵x12-1<0,x22-1<0,x1x2+1>0，x2-x1>0,∴[(x1x2+1)(x2-x1)]/[(x12-1)(x22-1)]>0，∴当a>0时，f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2)，∴函数f(x)在(-1,1)上为减函数；当a<0时，f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2)，∴函数f(x)在(-1,1)上为增函数；当a=0时，f(x)=0(-1<x<1)，∴函数f(x)在(-1,1)上为常量函数.(四)预习：课本P60-62函数的奇偶性.§2.3.3函数的奇偶性[教学目的]使学生理解函数奇偶性的定义，能判断一些较简单函数的奇偶性.[重点难点]重点：函数奇偶性的概念；难点：判断函数的奇偶性.[教学过程]一、复习引入⒈函数y=f(x)=x2(x∈R)的单减区间是(-∞,0]，单增区间是[0,+∞)；它的图象关于y轴对称；当自变量取一对相反数时，对应的函数值相等，即f(-x)=f(x).⒉函数y=f(x)=x3(x∈R)的单增区间是(-∞,+∞)；它的图象关于原点对称；当自变量取一对相反数时，对应的函数值互为相反数，即f(-x)=-f(x).⒊由上述问题知：函数y=f(x)=x2(x∈R)具有“f(-x)=f(x)〞的特性，函数y=f(x)=x3(x∈R)那么具有“f(-x)=-f(x)〞的特性.我们把具有特性f(-x)=f(x)的函数叫做偶函数；把具有特性f(-x)=-f(x)的函数叫做奇函数.二、学习、讲解新课⒈偶函数与奇函数定义：对于函数f(x)的定义域内任意一个值x，⑴假设f(-x)=f(x)恒成立，那么函数y=f(x)就叫做偶函数；⑵假设f(-x)=-f(x)恒成立，那么函数y=f(x)就叫做奇函数.例如，函数f(x)=x2+1，f(x)=|x|，f(x)=x4-4等都是偶函数；函数f(x)=x，f(x)=1/x等都是奇函数.假设函数f(x)是奇函数或偶函数，那么说函数f(x)具有奇偶性.说明：⑴定义中的等式f(-x)=f(x)〔或f(-x)=-f(x)〕对定义域里的任意x都要成立，假设只对个别x值成立，那么不能说这函数是偶函数〔或奇函数〕；⑵等式f(-x)=f(x)〔或f(-x)=-f(x)〕成立，除了说明函数值相等〔或互为相反数〕外，首先说明对定义域中的任意x来说，-x也应在定义域之中，否那么f(-x)无意义；⑶奇函数和偶函数的定义域必定是关于原点对称的，由此得结论：但凡定义域不关于原点对称的函数一定是非奇、非偶的函数.⒉函数奇偶性的判断方法例1〔P61例4〕判断以下函数是否具有奇偶性：⑴f(x)=x3+2x；⑵f(x)=2x4+3x2；⑶f(x)=x3+x2.解：⑴∵f(-x)=(-x)3+2(-x)=-x3-2x=-(x3+2x)，即f(-x)=-f(x)，∴函数f(x)=x3+2x是奇函数；⑵∵f(-x)=2(-x)4+3(-x)2=2x4+3x2,即f(-x)=f(x),∴函数f(x)=2x4+3x2是偶函数；⑶∵f(-x)=(-x)3+(-x)2=-x3+x2,∴f(-x)≠f(x)，f(-x)≠-f(x)，∴函数f(x)=x3+x2既不是奇函数，也不是偶函数，称为非奇非偶函数.说明：⑴判断一个函数是奇函数，或者是偶函数，或者既不是奇函数也不是偶函数，叫做判断函数的奇偶性，判断的根据是定义.⑵函数中有的是奇函数，有的是偶函数，有的是非奇非偶函数，还有的既是奇函数又是偶函数，例如常数函数f(x)=a(x∈R)，当a≠0时是偶函数，当a=0时，它既是奇函数又是偶函数.⑶判断函数的奇偶性，有时也可根据下面的式子来判断：对于f(x)定义域内任意一个x，①假设有f(x)-f(-x)=0成立，那么f(x)为偶函数；②假设有f(x)+f(-x)=0成立，那么f(x)为奇函数.例2〔P62例5〕函数y=f(x)在R上是奇函数，而且在(0,+∞)上是增函数，证明y=f(x)在(-∞,0)上也是增函数.证明：设x1，x2∈(-∞,0)，且x1<x2.∵f(x)是奇函数,∴f(-x1)=-f(x1)---①,f(-x2)=-f(x2)---②,又∵x1，x2∈(-∞,0)，∴-x1，-x2∈(0,+∞)，且-x1>-x2,又f(x)在(0,+∞)上是增函数，∴有f(-x1)>f(-x2)---③,将①②式代入③式，得-f(x1)>-f(x2)，即f(x1)<f(x2).∴函数y=f(x)在(-∞,0)上是增函数.⒊目标检测：课本P63练习：1，2.答案：⒈⑴偶函数；⑵奇函数；⑶奇函数；⑷偶函数.⒉设0<x1<x2<+∞,∵f(x)是偶函数,∴f(-x1)=f(x1),f(-x2)=f(x2)，由0<x1<x2<+∞知，-x1<0，-x2<0，且-x1>-x2，又f(x)在(-∞，0)上是增函数，∴f(-x1)>f(-x2)，即f(x1)>f(x2).∴函数y=f(x)在(0,+∞)上是减函数.三、小结⒈要正确理解奇、偶函数的定义，一对实数x与-x必须同时在定义域内，f(x)与f(-x)才能都有意义，奇、偶函数的定义才有意义，所以判断函数的奇偶性，必须先考虑定义域是否关于原点对称；⒉奇偶函数的定义公式是判断奇偶函数的依据，有时需将原式变形，化为等价形式：f(-x)=-f(x)f(-x)+f(x)=0f(-x)/f(x)=-1(f(x)≠0)；f(-x)=f(x)f(-x)-f(x)=0f(-x)/f(x)=1(f(x)≠0).四、布置作业(一)复习：课本内容，熟悉稳固有关概念和方法.(二)书面：课本P65习题2.3：7，8.答案与提示：7.⑴非奇非偶；⑵奇函数；⑶偶函数；⑷非奇非偶；⑸偶函数；⑹奇函数.8.f(x)在(-∞,0)上是增函数.证明：设x1<x2<0,∵f(x)是偶函数,∴f(-x1)=f(x1),f(-x2)=f(x2)，由x1<x2<0知，-x1>0，-x2>0，且-x1>-x2，又f(x)在(0,+∞)上是减函数，∴f(-x1)<f(-x2)，即f(x1)<f(x2).∴函数y=f(x)在(-∞,0)上是增函数.(三)思考题：设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数，f(x+2)=-f(x)，当0≤x≤1时，f(x)=x，求f(7.5).解：f(7.5)=f(5.5+2)=-f(5.5)=-f(3.5+2)=f(3.5)=f(1.5+2)=-f(1.5)=-f(-0.5+2)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5.(四)预习：课本P62-64奇偶函数图象的性质.§2.3.4奇偶函数图象的性质[教学目的]使学生掌握奇偶函数的性质定理，熟练解决函数单调性、奇偶性综合问题.[重点难点]重点：奇偶函数图象的性质；难点：熟练解决函数单调性、奇偶性综合问题.[教学过程]一、复习引入⒈复习：⑴什么叫奇函数什么叫偶函数⑵什么叫中心对称图形什么叫轴对称图形答：⑴〔略〕⑵假设绕着一点旋转1800后，两个图形〔或一个图形的两局部〕中的每一个，能和另一个的原来位置相互重合，那么这两个图形叫做以这点为对称中心的对称图形〔或叫中心对称图形〕，这点叫做对称中心；假设一个图形沿一条直线翻折后，直线两旁的图形能完全重合，那么这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.以上定义可改为如下表达：假设图形C上的任意一点P关于O点的对称点P，仍在C上，那么图形C就叫做关于O点成中心对称图形；假设图形C上的任意一点P关于直线l的对称点P，仍在C上，那么图形C就叫做关于直线l成轴对称图形.⒉引入：我们已经知道，偶函数y=x2的图象关于y轴对称；奇函数y=x3的图象关于原点对称.那么，这个结论对于一般的偶函数和奇函数是否仍然成立呢我们说仍然成立.这就是今天我们要学习的内容.二、学习、讲解新课⒈关于奇偶函数图象的性质定理由奇函数的图象〔如图1〕和偶函数的图象〔如图2〕，可得定理：⑴奇函数的图象关于原点对称，反过来，假设一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；⑵偶函数的图象关于y轴对称，反过来，假设一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数.说明：①作为定理应通过严格的证明，由于教材不作要求，这里从略；同学们可根据初中学过的“平面内任意一点P(x,y)与点P，(-x,-y)关于原点对称；点P(x,y)与点P，(-x,y)关于y轴对称〞的知识，自己试证一下.*证明：⑴设f(x)是奇函数，那么f(-x)=-f(x)，如图1，在f(x)的图象上任取一点P(a,f(a))，那么P关于原点的对称点是点P，(-a,-f(a))，即P，(-a,f(-a))，而点P，(-a,f(-a))是f(x)的图象上的点，这就是说，函数f(x)图象上任意一点关于原点的对称点都在f(x)的图象上，所以f(x)的图象关于原点对称.设f(x)的图象关于原点对称，在f(x)的图象上任取一点P(a,f(a))，那么P关于原点的对称点P，(-a,-f(a))也在f(x)的图象上，因为x=-a时，f(x)=f(-a)，而函数值是唯一的〔即每一个原象只有一个象〕，即有f(-a)=-f(a)，但x取值是任意的，于是在f(x)的整个定义域内都有f(-x)=-f(x)成立，从而f(x)是奇函数.⑵设f(x)是偶函数，那么f(-x)=f(x)，如图2，在f(x)的图象上任取一点P(a,f(a))，那么P关于y轴的对称点是点P，(-a,f(a))，即P，(-a,f(-a))，而点P，(-a,f(-a))是f(x)的图象上的点，这就是说，函数f(x)图象上任意一点关于y轴的对称点都在f(x)的图象上，所以f(x)的图象关于y轴对称.反过来，设f(x)的图象关于y轴对称，在f(x)的图象上任取一点P(a,f(a))，那么P关于y轴的对称点P，(-a,f(a))也在f(x)的图象上，因为x=-a时，f(x)=f(-a)，而函数值是唯一的〔即每一个原象只有一个象〕，即有f(-a)=f(a)，但x取值是任意的，于是在f(x)的整个定义域内都有f(-x)=f(x)成立，从而f(x)是偶函数.②利用奇偶函数图象的上述对称性，可以简化函数图象的画法和简捷地解决一些函数单调性和奇偶性的综合问题.⒉奇偶函数图象性质定理的应用⑴简化函数图象的画法例1(P63例6)函数y=f(x)是偶函数，它在y轴的右边的图象如图3①所示，画出函数y=f(x)在y轴左边的图象.解：因为偶函数的图象关于y轴成轴对称图形，所以画法如下：⑴如图3②，在y轴右边的图象上取几个点，例如取点A1，A2，A3，A4，A5〔这些点一般应包括图象的最低点、最高点等〕；⑵画出这些点关于y轴的对称点A1，，A2，，A3，，A4，，A5，(如图3③)；⑶用一条平滑曲线把⑵中画出的点连结起来，就得到函数y=f(x)在y轴左边的图象(如图3③).⑵简捷解决函数单调性和奇偶性综合题例2〔补充〕奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数，且最小值是5，那么f(x)在区间[-7,-3]上是()A.增函数且最小值是-5；B.增函数且最大值是-5；C.减函数且最小值是-5；D.减函数且最大值是-5.解：∵区间[3,7]与[-7,-3]关于原点对称，根据奇函数的图象关于原点对称，可知f(x)在区间[3,7]与[-7,-3]上单调性一样，即f(x)在区间[-7,-3]上也是增函数；∵f(x)在[3,7]上是增函数