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文档简介
(时间60分钟,满分80分)一、选择题(共6个小题,每小题5分,满分30分)1.设P是△ABC所在平面内的一点,+=2,则()A.+=0 B.+=0C.+=0 D.++=0解析:如图,根据向量加法的几何意义,+=2⇔P是AC的中点,故+=0.答案:B2.(·惠州模拟)在△ABC中,已知D是AB边上一点,若=2,=λ+μ,则eq\f(μ,λ)的值为()A.1 B.eq\f(1,2)C.2 D.eq\f(1,3)解析:=+=+eq\f(2,3)=+eq\f(2,3)(-)=eq\f(1,3)+eq\f(2,3)∴λ=eq\f(1,3),μ=eq\f(2,3)∴eq\f(μ,λ)=2.答案:C3.(·杭州模拟)已知P是△ABC所在平面内一点,若=λ+(λ∈R),则点P一定在()A.△ABC的内部 B.AC边所在直线上C.AB边所在直线上 D.BC边所在直线上解析:∵=λ+∴-=λ+∴=-λ∴P、A、C三点共线,即P在AC边所在的直线上.答案:B4.已知a,b是不共线的向量,若=λ1a+b,=a+λ2b(λ1,λ2∈R),则A、B、C三点共线的充要条件为()A.λ1=λ2=-1 B.λ1=λ2=1C.λ1λ2-1=0 D.λ1λ2+1=1解析:A、B、C三点共线⇔∥⇔λ1λ2-1×1=0⇔λ1λ2=1.答案:C5.O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+λ(+),λ∈[0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的()A.重心 B.垂心C.内心 D.外心解析:由题意得,=λ(+),令+=,则AD与BC互相平分,又=λ,即P点在直线AD上,而AD在BC边的中线上,所以P点的轨迹必经过△ABC的重心.答案:A6.已知△ABC中,点D是BC的中点,过点D的直线分别交直线AB、AC于E、F两点,若=λ(λ>0),=μ(μ>0),则eq\f(1,λ)+eq\f(4,μ)的最小值是()A.9 B.eq\f(7,2)C.5 D.eq\f(9,2)解析:由题意得,+=2=λ+μ⇔=eq\f(λ,2)+eq\f(μ,2),又D、E、F在同一条直线上,可得eq\f(λ,2)+eq\f(μ,2)=1.所以eq\f(1,λ)+eq\f(4,μ)=(eq\f(λ,2)+eq\f(μ,2))(eq\f(1,λ)+eq\f(4,μ))=eq\f(5,2)+eq\f(2λ,μ)+eq\f(μ,2λ)≥eq\f(5,2)+2=eq\f(9,2),当且仅当2λ=μ时取等号.答案:D二、填空题(共3小题,每小题5分,满分15分)7.已知平面上不共线的四点O,A,B,C,若-3+2=0,则||=________.解析:由-3+2=0,得-=2(-),即=2,于是||=2.答案:28.已知O是正三角形ABC内部的一点,+2+3=0,则△OAB的面积与△OAC的面积之比是________.解析:分别延长OB到B1,OC到C1,使=2,=3,故++=0,所以O为△AB1C1的重心,则=,eq\f(S△OAB,S△OAC)==eq\f(3,2).答案:eq\f(3,2)9.在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点.若=λ+μ,其中,λ,μ∈R,则λ+μ=________.解析:如图,∵ABCD为▱,且E、F分别为CD、BC中点.∴=+=(-)+(-)=(+)-eq\f(1,2)(+)=(+)-eq\f(1,2),∴=eq\f(2,3)(+),∴λ=μ=eq\f(2,3),∴λ+μ=eq\f(4,3).答案:eq\f(4,3)三、解答题10.已知=λ+μ(λ、μ为实数),若A、B、C三点共线,求证λ+μ=1.证明:∵=λ+μ∴=-=(λ-1)+μ=-=λ+(μ-1)又∵A、B、C三点共线∴=k即eq\f(λ-1,λ)=eq\f(μ,μ-1)=k∴λ+μ=1.11.如图所示,若四边形ABCD是一个等腰梯形,AB∥DC,M、N分别是DC、AB的中点,已知=a,=b,=c,试用a、b、c表示,,+.解:=++=-a+b+c,∵=++,∴=-eq\f(1,2)=-eq\f(1,2)c,=-=-b,=eq\f(1,2)=eq\f(1,2)a,∴=eq\f(1,2)a-b-eq\f(1,2)c.+=+++=2=a-2b-c.12.如图,在△ABC中,在AC上取点N,使得AN=eq\f(1,3)AC,在AB上取点M,使得AM=eq\f(1,3)AB,在BN的延长线上取点P,使得NP=eq\f(1,2)BN,在CM的延长线上取点Q,使得MQ=λCM时,=,试确定λ的值.解:∵=-=eq\
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