高考数 第七章第五节 课下冲关作业 新人教A

(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是()A．m∥n，m⊥α⇒n⊥αB．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥nC．m⊥α，m⊥n⇒n∥αD．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β解析：易知A选项正确；对于B选项，m，n也可能异面；对于C选项；n也可能在α内；对于D选项α，β也可能相交，故选A.答案：A2．(·安徽十校联考)在下列关于直线l，m与平面α，β的命题中，真命题的是()A．若l⊂β且α⊥β，则l⊥αB.若l⊥β且α∥β，则l⊥αC．若l⊥β且α⊥β，则l∥αD．若α∩β＝m且l∥m，则l∥α解析：A显然不对，C、D中的直线l有可能在平面α内．故选B.答案：B3．(·西城模拟)若a、b是空间两条不同的直线，α、β是空间的两个不同的平面，则a⊥α的一个充分条件是()A．a∥β，α⊥β B．a⊂β，α⊥βC．a⊥b，b∥α D．a⊥β，α∥β解析：只有选项D，a⊥β，α∥β⇒a⊥α.答案：D4．下列命题中错误的是()A．若一直线垂直于一平面，则此直线必垂直于这平面上所有直线B．若一个平面通过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直C．若一直线垂直于一个平面的一条垂线，则此直线必平行于这个平面D．若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直解析：由线面垂直定义知，命题A正确；由面面垂直的判定定理知，命题B正确；一条直线垂直于一个平面的一条垂线时，此直线可能平行于这个平面，也可能在这个平面内，所以命题C是错误命题；由线面垂直判定定理知，命题D正确．答案：C5．(·西安模拟)在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则ADA．30° B．45°C．60° D．90°解析：如图，取BC中点E，连结DE、AE、AD，依题意知三棱柱为正三棱柱，易得AE⊥平面BB1C1C，故∠ADE为AD与平面BB1C1C所成的角．设各棱长为1，则AE＝eq\f(\r(3),2)，DE＝eq\f(1,2)，tan∠ADE＝eq\f(AE,DE)＝eq\f(\f(\r(3),2),\f(1,2))＝eq\r(3)，∴∠ADE＝60°.答案：C6．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，现在沿DE，DF及EF把△ADE，△CDF和△BEF折起，使A，B，C三点重合，重合后的点记作P，那么在四面体P－DEF中必有()A．DP⊥平面PEF B．DM⊥平面PEFC．PM⊥平面DEF D．PF⊥平面DEF解析：在正方形中，DA⊥EA，DC⊥FC，∴在折叠后的四面体P－DEF中有DP⊥EP，DP⊥FP，又EP∩FP＝P，∴DP⊥平面PEF.答案：A二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)7．(·扬州模拟)已知直线l，m，n，平面α，m⊂α，n⊂α，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一)解析：若l⊥α，则l垂直于平面α内的任意直线，故l⊥m且l⊥n，但若l⊥m且l⊥n，不能得出l⊥α.答案：充分不必要8．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足__________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：由三垂线定理可知，BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)9．已知二面角M－l－N的平面角是60°，直线a⊥M，则直线a与平面N所成角的大小为________．解析：如图，二面角M－l－N中a⊥M，垂足为A，交平面N于B，过A作AC⊥l垂足为C.连结BC.根据三垂线定理有BC⊥l.所以∠ACB为二面角M－l－N的平面角．∠ACB＝60°，∵eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(AB⊥M,AC⊂M))⇒∠BAC＝90°⇒∠ABC＝30°.过A作AE⊥BC，垂足为E.∵eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥平面ABC,AE⊂平面ABC))⇒AE⊥l，∴AE⊥平面N，∴∠ABC＝30°是直线a与平面N所成的角．答案：30°三、解答题10．(·济南模拟)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，AC⊥CD，E是AA1(1)求证：CD⊥平面AEC；(2)若平面CBE交DD1于点F，求证：EF∥AD.证明：(1)因为ABCD－A1B1C1D1为直四棱柱，所以AA1⊥平面ABCD因为CD⊂平面ABCD，所以AA1⊥CD，即AE⊥CD.因为AC⊥CD，AE⊂平面AEC，AC⊂平面AEC，AE∩AC＝A，所以CD⊥平面AEC.(2)因为AD∥BC，AD⊂平面ADD1A1BC⊄平面ADD1A1，所以BC∥平面ADD1A因为BC⊂平面BCE，平面BCE∩平面ADD1A1＝EF所以EF∥BC.因为AD∥BC，所以EF∥AD.11．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，过BD1的平面分别交棱AA1、CC1于E、F(1)求证：A1E＝CF；(2)若E、F分别是棱AA1、CC1的中点，求证：平面EBFD1⊥平面BB1D1D.证明：(1)由题知，平面EBFD1与平面BCC1B1交于BF、与平面ADD1A1交于ED1.又平面BCC1B1∥平面ADD1A∴D1E∥BF，同理BE∥D1F∴四边形EBFD1为平行四边形，∴D1E＝BF，∵A1D1＝CB，D1E＝BF，∠D1A1E＝∠BCF∴Rt△A1D1E≌Rt△CBF，∴A1E＝CF.(2)AE＝A1E＝FC＝FC1，AB＝BC，∴Rt△EAB≌Rt△FCB，∴BE＝BF，又四边形EBFD1是平行四边形，∴故四边形EBFD1为菱形．连接EF、BD1、A1C1∵四边形EBFD1为菱形，∴EF⊥BD1.在正方体ABCD－A1B1C1D1有B1D1⊥A1C1，B1D1⊥A1∴B1D1⊥平面A1ACC1.又EF⊂平面A1ACC1，∴EF⊥B1D1.又B1D1∩BD1＝D1，∴EF⊥平面BB1D1D.又EF⊂平面EBFD1，故平面EBFD1⊥平面BB1D1D.12．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点．(1)求证：A1E⊥BD；(2)当E恰为棱CC1的中点时，求证：平面A1BD⊥平面EBD；(3)在棱CC1上是否存在一个点E，可以使二面角A1－BD－E的大小为45°？如果存在，试确定点E在棱CC1上的位置；如果不存在，请说明理由．解：连接AC，设AC∩DB＝O，连接A1O、OE，(1)证明：因为AA1⊥底面ABCD，所以BD⊥A1A，又BD⊥AC，A1A∩AC＝A所以BD⊥平面ACEA1，因为A1E⊂平面ACEA1.所以A1E⊥BD.(2)证明：在等边三角形A1BD中，BD⊥A1O，∵BD⊥平面ACEA1，OE⊂平面ACEA1，∴BD⊥OE，所以∠A1OE为二面角A1－BD－E的平面角．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设棱长为2因为E为棱CC1的中点，由平面几何知识，得EO＝eq\r(3)a，A1O＝eq\r(6)a，A1E＝3a满足A1E2＝A1O2＋EO2，所以∠A1OE＝90°，即平面A1BD⊥平面EBD.(3)在正方体ABCD－A1B1C1D1假设棱CC1上存在点E，可以使二面角A1－BD－E的大小为45°，同(2)，有∠A1OE＝45°，设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2EC＝x，