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文档简介
(时间60分钟,满分80分)一、选择题(共6个小题,每小题5分,满分30分)1.(·杭州模拟)若平面α、β的法向量分别为n1=(2,-3,5),n2=(-3,1,-4)则()A.α∥β B.α⊥βC.α、β相交但不垂直 D.以上均不正确解析:因为cos〈n1·n2〉=eq\f(n1·n2,|n1|·|n2|)≠0且cos〈n1,n2〉≠±1,所以α、β相交但不垂直.答案:C2.已知向量m,n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量,若cos〈m,n〉=-eq\f(1,2),则l与α所成的角为()A.30° B.60°C.120° D.150°解析:因为cos〈m,n〉=-eq\f(1,2),所以l与α所成角θ,满足sinθ=|cos〈m,n〉|=eq\f(1,2),又θ∈[0,eq\f(π,2)],所以θ=30°.答案:A3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E为A1C1中点,则直线A.AC B.BDC.A1D D.A1A解析:如图所示,易证BD⊥平面AA1C1C,又CE⊂平面ACC1A1,∴答案:B4.(·厦门模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别为棱AA1和BB1的中点,则sin〈,〉的值为()A.eq\f(1,9) B.eq\f(4,9)eq\r(5)C.eq\f(2,9)eq\r(5) D.eq\f(2,3)解析:设正方体棱长为2,以D为坐标原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直角坐标系,可知=(2,-2,1),=(2,2,-1),cos〈,〉=-eq\f(1,9),sin〈,〉=eq\f(4\r(5),9).答案:B5.如图所示,在三棱柱ABC—A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,点E、F分别是棱AB、BB1的中点,则直线EF和BC1A.45° B.60°C.90° D.120°解析:以B点为坐标原点,以BC、BA、BB1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系.设AB=BC=AA1=2,则B(0,0,0),C1(2,0,2),E(0,1,0),F(0,0,1),∴=(0,-1,1),=(2,0,2)∴cos〈,〉=eq\f(·,||||)=eq\f(2,\r(2)·\r(8))=eq\f(1,2).∴EF与BC1所成角为60°.答案:B6.如图,正方体ABCD—A1B1C1D1中,E,F分别在A1D,AC上,且A1E=eq\f(2,3)A1D,AF=eq\f(1,3)AC,则()A.EF至多与A1D,AC之一垂直B.EF⊥A1D,EF⊥ACC.EF与BD1相交D.EF与BD1异面解析:以D点为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建系,设正方体棱长为1,则A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E(eq\f(1,3),0,eq\f(1,3)),F(eq\f(2,3),eq\f(1,3),0),B(1,1,0),D1(0,0,1),=(-1,0,-1),=(-1,1,0),=(eq\f(1,3),eq\f(1,3),-eq\f(1,3)),=(-1,-1,1),=-eq\f(1,3),·=·=0,从而EF∥BD1,EF⊥A1D,EF⊥AC.答案:B二、填空题(共3小题,每小题5分,满分15分)7.(·南通模拟)设平面α与向量a=(-1,2,-4)垂直,平面β与向量b=(2,3,1)垂直,则平面α与β的位置关系是________.解析:由题知a,b分别平面α,β的法向量,又a·b=(-1)×2+2×3+(-4)×1=0,∴a⊥b,∴α⊥β.答案:垂直8.已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若⊥,=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则实数x,y,z分别为________.解析:由题知:⊥,⊥.所以:eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(·=0;,·=0;,·=0.))即:eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1×3+5×1+-2×z=0,,x-1+5y+-2×-3=0,3x-1+y-3z=0))解得:x=eq\f(40,7),y=-eq\f(15,7),z=4.答案:eq\f(40,7),-eq\f(15,7),49.正四棱锥S-ABCD中,O为顶点在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC所成的角是________.解析:如图,以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz.设OD=SO=OA=OB=OC=a,则A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P(0,-eq\f(a,2),eq\f(a,2)),则=(2a,0,0)=(-a,-eq\f(a,2),eq\f(a,2)),=(a,a,0),设平面PAC的法向量为n,可求得n=(0,1,1),则cos〈,n〉=eq\f(·n,||·|n|)=eq\f(a,\r(2a2)·\r(2))=eq\f(1,2),∴〈,n〉=60°,∴直线BC与平面PAC所成的角为90°-60°=30°.答案:30°三、解答题10.如图,已知点P在正方体ABCD-A′B′C′D′的对角线BD′上,∠PDA=60°.(1)求DP与CC′所成角的大小;(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小.解:如图,以D为原点,DA为单位长建立空间直角坐标系D-xyz.则=(1,0,0),=(0,0,1).连结BD,B′D′.在平面BB′D′D中,延长DP交B′D′于H.设=(m,m,1)(m>0),由已知〈,〉=60°,由·=||||cos〈,〉,可得2m=eq\r(2m2+1).解得m=eq\f(\r(2),2),所以=(eq\f(\r(2),2),eq\f(\r(2),2),1).(1)因为cos〈,〉=eq\f(\f(\r(2),2)×0+\f(\r(2),2)×0+1×1,1×\r(2))=eq\f(\r(2),2),所以〈,〉=45°,即DP与CC′所成的角为45°.(2)平面AA′D′D的一个法向量是=(0,1,0).因为cos〈,〉=eq\f(\f(\r(2),2)×0+\f(\r(2),2)×1+1×0,1×\r(2))=eq\f(1,2),所以〈,〉=60°,可得DP与平面AA′D′D所成的角为30°.11.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,2AC=AA1=(1)若D为AA1的中点,求证:平面B1CD⊥平面B1C1D(2)若二面角B1-DC-C1的大小为60°,求AD的长.解:(1)证明:如图,以C为坐标原点,CA、CB、CC1所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(1,0,0),B1(0,2,2),C1(0,0,2),D(1,0,1).即=(0,2,0),=(-1,0,1),=(1,0,1),由·=(1,0,1)·(0,2,0)=0,得CD⊥C1B1.由·=(1,0,1)·(-1,0,1)=0,得CD⊥DC1.又DC1∩C1B1=C1,∴CD⊥平面B1C1D.又CD⊂平面B1CD,∴平面B1CD⊥平面B1C1D.(2)设AD=a,则D点坐标为(1,0,a),=(1,0,a),=(0,2,2),设平面B1CD的一个法向量为m=(x,y,z).则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m·=0,m·=0))⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2y+2z=0,x+az=0)),令z=-1,得m=(a,1,-1),又平面C1DC的一个法向量为n=(0,1,0),则由cos60°=eq\f(m·n,|m||n|),得eq\f(1,\r(a2+2))=eq\f(1,2),即a=eq\r(2),故AD=eq\r(2).12.(·海口模拟)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知BC=1,BB1=2,AB⊥平面BB1C(1)求直线C1B与底面ABC所成角的正切值;(2)在棱CC1(不包括端点C、C1)上确定一点E的位置,使EA⊥EB1(要求说明理由);(3)在(2)的条件下,若AB=eq\r(2),求二面角A-EB1-A1的大小.解:以B为坐标原点,BC、BB1、AB所在的直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则B(0,0,0),C1(1,2,0),B1(0,2,0).(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC的一个法向量为=(0,2,0),又=(1,2,0),设BC1与平面ABC所成的角为θ,则sinθ=|cos〈,〉|=eq\f(2\r(5),5),∴tanθ=2,即直线C1B与底面ABC所成角的正切值为2.(2)设E(1,y,0),A(0,0,z),则=(-1,2-y,0),=(-1,-y,z),∵EA⊥EB1,∴·=1-y(2-y)=0,∴y=1,即E(1,1,0),∴E为CC1的中点.(3)由题知A(0,0,eq\r(2)),则=(1,1,-eq\r(2)),=(1,-1,0),设平面AEB1的一个法向量为n=(x1,y1,z1),则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·=0,,n·=0,))∴eq\b
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