高考数学总复习 第四章 三角函数与解三角形配套章末综合检测（含解析）新人教A

第四章章末综合检测(学生用书为活页试卷解析为教师用书独有)(检测范围：第四章)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知向量a，b且eq\o(AB,\s\up10(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up10(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up10(→))＝7a－2b，则一定共线的三点是 ()A．A，B，D B．A，B，CC．B，C，D D．A，C，D解析A由题意eq\o(BD,\s\up10(→))＝2a＋4b＝2eq\o(AB,\s\up10(→))，故A，B，D共线．2．设P是△ABC所在平面内的一点，eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(BA,\s\up10(→))＝2eq\o(BP,\s\up10(→))，则()A．eq\o(PA,\s\up10(→))＋eq\o(PB,\s\up10(→))＝0 B.eq\o(PC,\s\up10(→))＋eq\o(PA,\s\up10(→))＝0C．eq\o(PB,\s\up10(→))＋eq\o(PC,\s\up10(→))＝0 D.eq\o(PA,\s\up10(→))＋eq\o(PB,\s\up10(→))＋eq\o(PC,\s\up10(→))＝0解析B因为Beq\o(C,\s\up10(→))＋Beq\o(A,\s\up10(→))＝2eq\o(BP,\s\up10(→))，所以点P为线段AC的中点，故选B.3．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))＋eq\o(OC,\s\up10(→))＝0，那么()A.eq\o(AO,\s\up10(→))＝eq\o(OD,\s\up10(→)) B.eq\o(AO,\s\up10(→))＝2eq\o(OD,\s\up10(→))C.eq\o(AO,\s\up10(→))＝3eq\o(OD,\s\up10(→)) D.2eq\o(AO,\s\up10(→))＝eq\o(OD,\s\up10(→))解析A由2eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))＋eq\o(OC,\s\up10(→))＝0可知，O是底边BC上的中线AD的中点，故eq\o(AO,\s\up10(→))＝eq\o(OD,\s\up10(→)).4．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝eq\r(5).若(a＋b)·c＝eq\f(5,2)，则a与c的夹角为 ()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3) D.eq\f(5π,6)解析Ca＋b＝(－1，－2)＝－a，所以a与c的夹角即a＋b与c的夹角的补角．设a＋b与c的夹角为θ，则cosθ＝eq\f(a＋b·c,|a＋b||c|)＝eq\f(\f(5,2),\r(5)×\r(5))＝eq\f(1,2)，故θ＝eq\f(π,3)，则a与c的夹角为eq\f(2π,3).5．已知A(－3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，且∠AOC＝45°，设eq\o(OC,\s\up10(→))＝λeq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))(λ∈R)，则λ的值为 ()A．1 B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)解析A如图，过C作CE⊥x轴于点E，则|OE|＝|CE|＝2，所以eq\o(OC,\s\up10(→))＝eq\o(OE,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))＝λeq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))，即eq\o(OE,\s\up10(→))＝λeq\o(OA,\s\up10(→))，所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝eq\f(2,3).故选A.6．(·湖南十二校联考)平面上有四个互异的点A、B、C、D，满足(eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(BC,\s\up10(→)))·(eq\o(AD,\s\up10(→))－eq\o(CD,\s\up10(→)))＝0，则三角形ABC是 ()A．直角三角形 B.等腰三角形C．等腰直角三角形 D.等边三角形解析B(eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(BC,\s\up10(→)))·(eq\o(AD,\s\up10(→))－eq\o(CD,\s\up10(→)))＝(eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(BC,\s\up10(→)))·(eq\o(AD,\s\up10(→))＋eq\o(DC,\s\up10(→)))＝(eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(BC,\s\up10(→)))·eq\o(AC,\s\up10(→))＝(eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(BC,\s\up10(→)))·(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→)))＝|eq\o(AB,\s\up10(→))|2－|eq\o(BC,\s\up10(→))|2＝0，故|eq\o(AB,\s\up10(→))|＝|eq\o(BC,\s\up10(→))|，即△ABC是等腰三角形．7．已知x，y∈R，i为虚数单位，且xi－y＝－1＋i，则(1＋i)x＋y的值为()A．2 B.－2iC．－4 D.2i解析D由xi－y＝－1＋i得x＝1，y＝1，所以(1＋i)x＋y＝(1＋i)2＝2i，故选D.8．如图所示，非零向量eq\o(OA,\s\up10(→))＝a，eq\o(OB,\s\up10(→))＝b，且BC⊥OA，C为垂足，若eq\o(OC,\s\up10(→))＝λa(λ≠0)，则λ＝ ()A.eq\f(a·b,|a|2) B.eq\f(a·b,|a||b|)C.eq\f(a·b,|b|2) D.eq\f(|a||b|,a·b)解析Aeq\o(BC,\s\up10(→))⊥eq\o(OA,\s\up10(→))，即eq\o(BC,\s\up10(→))⊥eq\o(OC,\s\up10(→))⇒(eq\o(OC,\s\up10(→))－eq\o(OB,\s\up10(→)))·eq\o(OC,\s\up10(→))＝0⇒|eq\o(OC,\s\up10(→))|2－eq\o(OB,\s\up10(→))·eq\o(OC,\s\up10(→))＝0，即λ2|a|2－λa·b＝0，解得λ＝eq\f(a·b,|a|2).9．(·济南模拟)设a是实数，且eq\f(a,1＋i)＋eq\f(1－i,2)是实数，则a＝ ()A.eq\f(1,2) B.－1C．1 D.2解析B因为eq\f(a,1＋i)＋eq\f(1－i,2)＝eq\f(a1－i,2)＋eq\f(1－i,2)＝eq\f(a＋1,2)－eq\f(a＋1,2)i是实数，所以a＝－1.10．已知点A(－2,0)、B(3,0)，动点P(x，y)满足eq\o(PA,\s\up10(→))·eq\o(PB,\s\up10(→))＝x2，则点P的轨迹是 ()A．圆 B.椭圆C．双曲线 D.抛物线解析D∵eq\o(PA,\s\up10(→))＝(－2－x，－y)，eq\o(PB,\s\up10(→))＝(3－x，－y)，eq\o(PA,\s\up10(→))·eq\o(PB,\s\up10(→))＝x2，∴(－2－x)(3－x)＋y2＝x2，化简得y2＝x＋6.11．已知向量a＝(1,1)，2a＋b＝(4,2)，则向量a，b的夹角为 A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3) D.eq\f(π,2)解析B由a＝(1,1)，2a＋b＝(4,2)，得b＝(4,2)－2(1,1)＝(2,0)．设向量a，b的夹角为θ，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(2,2\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，θ＝eq\f(π,4).12．已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上，满足2eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(AC,\s\up10(→))＝0(其中O为坐标原点)，又|eq\o(AB,\s\up10(→))|＝|eq\o(OA,\s\up10(→))|，则向量eq\o(BA,\s\up10(→))在向量eq\o(BC,\s\up10(→))方向上的投影为 ()A．1 B.－1C.eq\f(1,2) D.－eq\f(1,2)解析C由2eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(AC,\s\up10(→))＝(eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→)))＋(eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(AC,\s\up10(→)))＝eq\o(OB,\s\up10(→))＋eq\o(OC,\s\up10(→))＝0，得eq\o(OB,\s\up10(→))＝－eq\o(OC,\s\up10(→))，即O，B，C三点共线．又|eq\o(AB,\s\up10(→))|＝|eq\o(OA,\s\up10(→))|＝1，故向量eq\o(BA,\s\up10(→))在向量eq\o(BC,\s\up10(→))方向上的投影为|eq\o(BA,\s\up10(→))|coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2).二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上)13．在边长为1的等边△ABC中，D为BC边上一动点，则eq\o(AB,\s\up10(→))·eq\o(AD,\s\up10(→))的取值范围是________．解析因为D在BC上，所以设BD＝x,0≤x≤1，则eq\o(BD,\s\up10(→))＝xeq\o(BC,\s\up10(→)).所以eq\o(AB,\s\up10(→))·eq\o(AD,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))·(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BD,\s\up10(→)))＝eq\o(AB,\s\up10(→))2＋eq\o(AB,\s\up10(→))·eq\o(BD,\s\up10(→))＝1＋xcos120°＝1－eq\f(1,2)x，因为0≤x≤1，所以eq\f(1,2)≤1－eq\f(1,2)x≤1，即eq\o(AB,\s\up10(→))·eq\o(AD,\s\up10(→))的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))14．如果复数z＝eq\f(2－bi,1＋i)(b∈R)的实部和虚部互为相反数，则b的值等于________．解析z＝eq\f(2－bi1－i,1＋i1－i)＝eq\f(2－b,2)－eq\f(2＋b,2)i，由eq\f(2－b,2)＝eq\f(2＋b,2)，得b＝0.【答案】015．(·洛阳质检)已知向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8，\f(x,2)))，b＝(x,1)，其中x>0，若(a－2b)∥(2a＋b)，则x＝________.解析a－2b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8－2x，\f(x,2)－2))，2a＋b＝(16＋x，x＋1)，由题意得(8－2x)·(x＋1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－2))·(16＋x)，整理得x2＝16，又x>0，所以x＝4.【答案】416．对于n个向量a1，a2，…，an，若存在n个不全为零的实数k1，k2，…，kn，使得k1a1＋k2a2＋…＋knan＝0成立，则称向量a1，a2，…，an是线性相关的．按此规定，能使向量a1＝(1,0)，a2＝(1，－1)，a3＝(2,2)是线性相关的实数k1，k2，k解析根据线性相关的定义，得k1(1,0)＋k2(1，－1)＋k3(2,2)＝0⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k1＋k2＋2k3＝0，,－k2＋2k3＝0，))令k3＝1，则k2＝2，k1＝－4，∴k1，k2，k3的一组值为－4,2,1.【答案】－4,2,1三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)如图，在任意四边形ABCD中，E为AD的中点，F为BC的中点，证明：eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(DC,\s\up10(→))＝2eq\o(EF,\s\up10(→)).解析因为F为BC的中点，所以eq\o(BF,\s\up10(→))＋eq\o(CF,\s\up10(→))＝0，连接AF，DF，则有eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(DC,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(DC,\s\up10(→))＋eq\o(BF,\s\up10(→))＋eq\o(CF,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BF,\s\up10(→))＋eq\o(DC,\s\up10(→))＋eq\o(CF,\s\up10(→))＝eq\o(AF,\s\up10(→))＋eq\o(DF,\s\up10(→)).而eq\o(AF,\s\up10(→))＝eq\o(AE,\s\up10(→))＋eq\o(EF,\s\up10(→))，eq\o(DF,\s\up10(→))＝eq\o(DE,\s\up10(→))＋eq\o(EF,\s\up10(→))，又E为AD的中点，所以eq\o(AE,\s\up10(→))＋eq\o(DE,\s\up10(→))＝0.所以eq\o(AF,\s\up10(→))＋eq\o(DF,\s\up10(→))＝eq\o(AE,\s\up10(→))＋eq\o(EF,\s\up10(→))＋eq\o(DE,\s\up10(→))＋eq\o(EF,\s\up10(→))＝2eq\o(EF,\s\up10(→))，所以eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(DC,\s\up10(→))＝2eq\o(EF,\s\up10(→)).18．(12分)计算下列各式的值：(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2i,1＋i)))2；(2)eq\f(2＋4i,1＋i2)；(3)eq\f(1＋i,1－i)＋i3.解析(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2i,1＋i)))2＝eq\f(4i2,1＋i2)＝eq\f(－4,2i)＝2i.(2)eq\f(2＋4i,1＋i2)＝eq\f(2＋4i,2i)＝2－i.(3)eq\f(1＋i,1－i)＋i3＝eq\f(1＋i2,1－i1＋i)＋i3＝eq\f(2i,2)＋i3＝i－i＝0.19．(12分)已知向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(3,2)x，sin\f(3,2)x))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(x,2)，－sin\f(x,2)))，且x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,4))).(1)求a·b及|a＋b|；(2)若f(x)＝a·b－|a＋b|，求f(x)的最大值和最小值．解析(1)a·b＝coseq\f(3,2)xcoseq\f(x,2)－sineq\f(3,2)xsineq\f(x,2)＝cos2x，|a＋b|＝eq\r(2＋2cos2x)＝2|cosx|，∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,4)))，∴cosx>0.∴|a＋b|＝2cosx.(2)f(x)＝cos2x－2cosx＝2cos2x－2cosx－1＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosx－\f(1,2)))2－eq\f(3,2).∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,4)))，∴eq\f(1,2)≤cosx≤1.∴当cosx＝eq\f(1,2)时，f(x)取得最小值－eq\f(3,2)；当cosx＝1时，f(x)取得最大值－1.20．(12分)如图所示，eq\o(AB,\s\up10(→))＝(6,1)，eq\o(BC,\s\up10(→))＝(x，y)，eq\o(CD,\s\up10(→))＝(－2，－3)．(1)若eq\o(BC,\s\up10(→))∥eq\o(DA,\s\up10(→))，求x与y之间的关系式；(2)在(1)条件下，若eq\o(AC,\s\up10(→))⊥eq\o(BD,\s\up10(→))，求x，y的值及四边形ABCD的面积．解析(1)∵eq\o(AD,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＝(x＋4，y－2)，eq\o(DA,\s\up10(→))＝－eq\o(AD,\s\up10(→))＝(－x－4,2－y)．又eq\o(BC,\s\up10(→))∥eq\o(DA,\s\up10(→))且eq\o(BC,\s\up10(→))＝(x，y)，∴x(2－y)－y(－x－4)＝0，即x＋2y＝0. ①(2)由于eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝(x＋6，y＋1)，eq\o(BD,\s\up10(→))＝eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＝(x－2，y－3)，又eq\o(AC,\s\up10(→))⊥eq\o(BD,\s\up10(→))，∴eq\o(AC,\s\up10(→))·eq\o(BD,\s\up10(→))＝0.即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0， ②联立①②化简，得y2－2y－3＝0，∴y＝3或y＝－1.故当y＝3时，x＝－6，此时eq\o(AC,\s\up10(→))＝(0,4)，eq\o(BD,\s\up10(→))＝(－8,0)，∴SABCD＝eq\f(1,2)|eq\o(AC,\s\up10(→))|·|eq\o(BD,\s\up10(→))|＝16；当y＝－1时，x＝2，此时eq\o(AC,\s\up10(→))＝(8,0)，eq\o(BD,\s\up10(→))＝(0，－4)，∴SABCD＝eq\f(1,2)|eq\o(AC,\s\up10(→))|·|eq\o(BD,\s\up10(→))|＝16.21．(12分)如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示：0,3＋2i，－2＋4i，试求：(1)eq\o(AO,\s\up10(→))、eq\o(BC,\s\up10(→))所表示的复数；(2)对角线eq\o(CA,\s\up10(→))所表示的复数；(3)求B点对应的复数．解析(1)eq\o(AO,\s\up10(→))＝－eq\o(OA,\s\up10(→))，∴eq\o(AO,\s\up10(→))所表示的复数为－3－2i.∵eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(AO,\s\up10(→))，∴eq\o(BC,\s\up10(→))所表示的复数为－3－2i.(2)eq\o(CA,\s\up10(→))＝eq\o(OA,\s\up10(→))－eq\o(OC,\s\up10(→))，∴eq\o(CA,\s\up10(→))所表示